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Condiciones para que dos rectas sean paralelas
Ejemplos para determinar si dos rectas son paralelas

Condiciones para que dos rectas sean paralelas

1 Dos rectas en $\mathbb{R}^2$ son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

Es decir, si consideramos las rectas:

$\begin{equation*}s\equiv (u_1,u_2)t+(w_1,w_2)\end{equation*}$

$\begin{equation*}r\equiv (v_1,v_2)t+(y_1,y_2)\end{equation*}$

Los vectores directores satisfacen:

$\begin{equation*}(u_1,u_2)=k(v_1,v_2)\end{equation*}$

$\begin{equation*}\frac{u_1}{u_2}=\frac{v_1}{v_2}\end{equation*}$

2 Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes o vectores directores iguales.

Es decir, dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación.

Algebraicamente, si consideramos dos rectas expresadas en su ecuación pendiente-ordenada al origen:

$\begin{equation*}y_1=m_1x+b_1\end{equation*}$

$\begin{equation*}y_2=m_2x+b_2\end{equation*}$

Son paralelas si y solo si se satisface:

$\begin{equation*}m_1=m_2\end{equation*}$

3 Dos rectas son paralelas si los coeficientes de las variables $y$ y $x$ de la ecuación general de la recta son proporcionales.

Es decir, si consideramos dos rectas expresadas en su ecuación general al origen:

$\begin{equation*}A_{1}x+B_{1}y+C_1=0\end{equation*}$

$\begin{equation*}A_{2}x+B_{2}y+C_2=0\end{equation*}$

Son paralelas si satisfacen que:

$\begin{equation*}\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}\end{equation*}$

4Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de $0$ °.

Es decir, si medimos si trasladamos una de las rectas de tal forma que se intersequen el ángulo formado es de $0$ .

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Ejemplos para determinar si dos rectas son paralelas

1 Calcula $k$ para que las rectas $r\equiv x+2y-3=0$ y $s\equiv x-ky+4=0$ , sean paralelas.

Recordemos que dos rectas expresadas en su forma general, son paralelas si lo coeficientes de las variables $y$ y $x$ son proporcionales:

$\begin{equation*}\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\frac{1}{2}=\frac{1}{-k}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\Rightarrow k=-2 \end{equation*}$

2 Calcular una recta paralela $s$ a $r \equiv x + 2 y + 3 = 0$ , que pase por el punto $A(3,5)$ .

Para que dos rectas sean paralelas se debe satisfacer que ambas tengan la misma pendiente, podemos reescribir $r$ , en la forma pendiente-ordenada en el origen, despejando $y$ :

$\begin{equation*}x + 2 y + 3 = 0\end{equation*}$

$\begin{equation*}y =-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}\end{equation*}$

Por lo anterior, la pendiente de la recta $r$ es $-\frac{1}{2}$ . Es decir:

$\begin{equation*}m_r=-\frac{1}{2}\end{equation*}$

Ahora, podemos utilizar la fórmula de punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta $s$ :

$\begin{equation*}y-y_o=m(x-x_0)\end{equation*}$

$\begin{equation*}y-5=-\frac{1}{2}(x-3)\end{equation*}$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $2$ :

$\begin{equation*}2(y-5)=2\left(-\frac{1}{2}(x-3)\right)\end{equation*}$

$\begin{equation*}2y-10=-x+3\end{equation*}$

$\begin{equation*}x+2y-13=0\end{equation*}$

3 Hallar la ecuación de la recta $s$ paralela a $r \equiv 3x + 2y − 4 = 0$ , que pasa por el punto $A(2,3)$ .

Para que dos rectas sean paralelas se debe satisfacer que ambas tengan la misma pendiente, podemos reescribir $r$ , en la forma pendiente-ordenada en el origen, despejando $y$ :

$\begin{equation*}3x + 2y − 4 = 0\end{equation*}$

$\begin{equation*}y =-\frac{3x}{2}+\frac{4}{2}\end{equation*}$

Por lo anterior, la pendiente de la recta $r$ es $-\frac{3}{2}$ . Es decir:

$\begin{equation*}m_r=-\frac{3}{2}\end{equation*}$

Ahora, podemos utilizar la fórmula de punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta $s$ :

$\begin{equation*}y-y_o=m(x-x_0)\end{equation*}$

$\begin{equation*}y-3=-\frac{3}{2}(x-2)\end{equation*}$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $2$ :

$\begin{equation*}2(y-3)=2\left(-\frac{3}{2}(x-2)\right)\end{equation*}$

$\begin{equation*}2y-6=-3x+6\end{equation*}$

Finalmente, simplificamos y obtenemos la ecuación de la recta:

$\begin{equation*}3x+2y-12=0\end{equation*}$

4 La recta $r \equiv 3x + ny - 7 = 0$ pasa por el punto $A(3,2)$ y es paralela a la recta $s \equiv mx + 2y - 13 = 0$ . Calcula $m$ y $n$ .

Primero, notemos que la recta $r \equiv 3x + ny - 7 = 0$ pasa por el punto $A(3,2)$ . Esto es:

$\begin{equation*}3(3)+ n(2) - 7 = 0\Rightarrow 9+2n-7=0\Rightarrow n=-1\end{equation*}$

Después, recordemos que dos rectas expresadas en su forma general, son paralelas si lo coeficientes de las variables $y$ y $x$ son proporcionales:

$\begin{equation*}\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\frac{3}{n}=\frac{m}{2}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\frac{3}{-1}=\frac{m}{2}\end{equation*}$

Desarrollando y despejando la ecuación anterior tenemos que $m=-6$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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