Condiciones para que dos rectas sean paralelas

1 Dos rectas en \mathbb{R}^2 son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

Rectas paralelas

Es decir, si consideramos las rectas:

    \begin{equation*}s\equiv (u_1,u_2)t+(w_1,w_2)\end{equation*}

    \begin{equation*}r\equiv (v_1,v_2)t+(y_1,y_2)\end{equation*}

Los vectores directores satisfacen:

    \begin{equation*}(u_1,u_2)=k(v_1,v_2)\end{equation*}

    \begin{equation*}\frac{u_1}{u_2}=\frac{v_1}{v_2}\end{equation*}

.

2 Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes o vectores directores iguales.

Es decir, dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación.

Algebraicamente, si consideramos dos rectas expresadas en su ecuación pendiente-ordenada al origen:

    \begin{equation*}y_1=m_1x+b_1\end{equation*}

    \begin{equation*}y_2=m_2x+b_2\end{equation*}

Son paralelas si y solo si se satisface:

    \begin{equation*}m_1=m_2\end{equation*}

.

 

3 Dos rectas son paralelas si los coeficientes de las variables y y x de la ecuación general de la recta son proporcionales.

Es decir, si consideramos dos rectas expresadas en su ecuación general al origen:

    \begin{equation*}A_{1}x+B_{1}y+C_1=0\end{equation*}

    \begin{equation*}A_{2}x+B_{2}y+C_2=0\end{equation*}

Son paralelas si satisfacen que:

    \begin{equation*}\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}\end{equation*}

.

 

4Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0°.

Es decir, si medimos si trasladamos una de las rectas de tal forma que se intersequen el ángulo formado es de 0.

 

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Vamos

Ejemplos para determinar si dos rectas son paralelas

1 Calcula k para que las rectas r\equiv x+2y-3=0 y s\equiv x-ky+4=0, sean paralelas.

Recordemos que dos rectas expresadas en su forma general, son paralelas si lo coeficientes de las variables y y x son proporcionales:

    \begin{equation*}\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}\end{equation*}

    \begin{equation*}\frac{1}{2}=\frac{1}{-k}\end{equation*}

    \begin{equation*}\Rightarrow k=-2 \end{equation*}

 

2 Calcular una recta paralela s a r \equiv x + 2 y + 3 = 0, que pase por el punto A(3,5).

  • Para que dos rectas sean paralelas se debe satisfacer que ambas tengan la misma pendiente, podemos reescribir r, en la forma pendiente-ordenada en el origen, despejando y:

    \begin{equation*}x + 2 y + 3 = 0\end{equation*}

    \begin{equation*}y =-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}\end{equation*}

.

  • Por lo anterior, la pendiente de la recta r es -\frac{1}{2}. Es decir:

    \begin{equation*}m_r=-\frac{1}{2}\end{equation*}

  • Ahora, podemos utilizar la fórmula de punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta s:

    \begin{equation*}y-y_o=m(x-x_0)\end{equation*}

    \begin{equation*}y-5=-\frac{1}{2}(x-3)\end{equation*}

  • Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2:

    \begin{equation*}2(y-5)=2\left(-\frac{1}{2}(x-3)\right)\end{equation*}

    \begin{equation*}2y-10=-x+3\end{equation*}

    \begin{equation*}x+2y-13=0\end{equation*}

 

3 Hallar la ecuación de la recta s paralela a r \equiv 3x + 2y − 4 = 0, que pasa por el punto A(2,3).

  • Para que dos rectas sean paralelas se debe satisfacer que ambas tengan la misma pendiente, podemos reescribir r, en la forma pendiente-ordenada en el origen, despejando y:

    \begin{equation*}3x + 2y − 4 = 0\end{equation*}

    \begin{equation*}y =-\frac{3x}{2}+\frac{4}{2}\end{equation*}

.

  • Por lo anterior, la pendiente de la recta r es -\frac{3}{2}. Es decir:

    \begin{equation*}m_r=-\frac{3}{2}\end{equation*}

  • Ahora, podemos utilizar la fórmula de punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta s:

    \begin{equation*}y-y_o=m(x-x_0)\end{equation*}

    \begin{equation*}y-3=-\frac{3}{2}(x-2)\end{equation*}

  • Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2:

    \begin{equation*}2(y-3)=2\left(-\frac{3}{2}(x-2)\right)\end{equation*}

    \begin{equation*}2y-6=-3x+6\end{equation*}

  • Finalmente, simplificamos y obtenemos la ecuación de la recta:

    \begin{equation*}3x+2y-12=0\end{equation*}

 

4 La recta r \equiv 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s \equiv mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.

  • Primero, notemos que la recta r \equiv 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2). Esto es:

    \begin{equation*}3(3)+ n(2) - 7 = 0\Rightarrow 9+2n-7=0\Rightarrow n=-1\end{equation*}

  • Después, recordemos que dos rectas expresadas en su forma general, son paralelas si lo coeficientes de las variables y y x son proporcionales:

    \begin{equation*}\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}\end{equation*}

    \begin{equation*}\frac{3}{n}=\frac{m}{2}\end{equation*}

    \begin{equation*}\frac{3}{-1}=\frac{m}{2}\end{equation*}

  • Desarrollando y despejando la ecuación anterior tenemos que m=-6.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗