Definición de lugar geométrico

Se denomina lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

Es usual que la propiedad geométrica que caracteriza al lugar geométrico se presente también de forma algebraica.

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Vamos

Ejemplos de lugares geométricos

Mediatrices

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos. Gráficamente, la mediatriz es una recta perpendicular a un segmento que lo divide en dos partes iguales.

La mediatriz CP divide el segmento AB en dos partes iguales
La mediatriz CP divide el segmento AB en dos partes iguales

Como podemos observar en la imagen anteriormente presentada CD divide al segmento AB en dos partes iguales. Esta relación se puede expresar algebraicamente de la siguiente forma:

     \begin{equation*} d(A,C)=d(B,C)\end{equation*}

Así tendremos dos triangulos con las mismas longitudes por lo cual también tendremos la siguiente relación:

     \begin{equation*} d(A,P)=d(B,P)\end{equation*}

En general, cualquier punto ubicado sobre la recta formada por los puntos P y C serán equidistantes al punto A y B respectivamente.

Utilizando la fórmula de distancia en el plano cartesiando y considerando  que P=(x,y), A=(x_1,y_1) y B=(x_2,y_2), esta relación puede reescribirse de la siguiente forma:

(1)    \begin{eqnarray*} \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}&=&\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}\end{eqnarray*}

 

Ejemplo 

Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento con extremos en A(2 , 5) y B(4, -7).

Para encontrar la ecuación de la recta de la mediatriz, usaremos la ecuación (1), es decir sabemos que la recta debe satisfacer que

     \begin{eqnarray*} d(A,P)&=&d(B,P)\end{eqnarray*}

Sustituyendo con los valores dados tenemos:

     \begin{eqnarray*} \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}&=&\sqrt{(x-4)^2+(y+7)^2}\end{eqnarray*}

Elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación y desarrollando los binomios tenemos:

     \begin{eqnarray*} x^2-4x+4+y^2-10y+25&=&x^2-8x+16+y^2+14y+49\end{eqnarray*}

Cancelando términos y simplificando la expresión tenemos:

(2)    \begin{eqnarray*} x-6y-9=0\end{eqnarray*}

Es decir, cualquier pareja  P=(x,y) que satisfaga la ecuación (2) hará que la longitud entre d(A, P) y d(B, P) sea la misma (equidistantes).

Bisectrices

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo. Gráficamente, una bisectriz divide un ángulo en dos partes iguales.  Por ejemplo, en la siguiente gráfica notemos como las rectas gf tienen dos bisectrices: la recta h y la recta i, ambas perpendiculares entre sí.

Bisectrices de dos rectas
Bisectrices de dos rectas

De esta construcción se desprenden un conjunto de resultados, por ejemplo si trazamos un segmento perpendicular a la rectas gf, que pase por un punto ubicado sobre la recta h, la distancia será la misma. De hecho, es suficiente que el ángulo formado por el segmento GF y la recta f y el segmento FH con la recta g midan el mismo ángulo para que la distancia a F sea la misma.

Puntos de la bisectriz equidistan de las rectas que forman el ángulo

Algebraicamente, esta relación satisface que:

     \begin{eqnarray*} d(G,F)&=&d(F,H)\end{eqnarray*}

Además, si la recta g es de la forma:

     \begin{eqnarray*} g=A_1x+B_1y+C_1=0\end{eqnarray*}

y la recta f es de la forma:

     \begin{eqnarray*} f=A_2x+B_2y+C_2=0\end{eqnarray*}

Se satisface que

(3)    \begin{eqnarray*} \frac{|A_1x+B_1y+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{|A_2x+B_2y+C_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\end{eqnarray*}

 

Ejemplo 1

Encontrar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas \textbf{\textit{3x - 4y + 5 = 0}} y   \textbf{\textit{6x + 8y + 1 = 0}}.

Retomamos la ecuación (3) y sustituimos

     \begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|6x+8y+1|}{\sqrt{6^2+8^2}}\end{eqnarray*}

Desarrollando tenemos:

    \begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+5|}{5}=\frac{|6x+8y+1|}{10}\end{eqnarray*}

Es decir,

    \begin{eqnarray*} 10|3x-4y+5|=5|6x+8y+1|\end{eqnarray*}

Como tenemos una igualdad de valores absolutos, existen dos casos en los que la igualdad se satisface, el primero

    \begin{eqnarray*} 10(3x-4y+5)=5(6x+8y+1)\end{eqnarray*}

y el segundo

(4)   \begin{eqnarray*} 10(3x-4y+5)=-5(6x+8y+1)\end{eqnarray*}

Para resolver la ecuación (4) dividimos ambos lados de la igualdad por 5 y luego desarrollamos:

    \begin{eqnarray*} 2(3x-4y+5)=(6x+8y+1)\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} 6x-8y+10=6x+8y+1\end{eqnarray*}

(5)   \begin{eqnarray*} -16y+9=0\end{eqnarray*}

Para resolver la ecuación (5) dividimos ambos lados de la igualdad por -5 y luego desarrollamos:

    \begin{eqnarray*} -2(3x-4y+5)=(6x+8y+1)\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} -6x+8y-10=6x+8y+1\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} -12x-11=0\end{eqnarray*}

(6)   \begin{eqnarray*} 12x+11=0\end{eqnarray*}

Así las ecuaciones (5) y (6) son las bisectrices de las rectas 3x - 4y + 5 = 0 y  6x + 8y + 1 = 0.

 

Ejemplo 2

Calcular las bisectrices de los ángulos que la recta 3x - 4y + 3 = 0 forma con los ejes coordenados

Este problema consta de dos partes la primera: calcular las bisectrices de la recta 3x - 4y + 3 = 0 con la recta y=0 y la segunda, calcular las bisectrices de la recta 3x - 4y + 3 = 0 con la recta x=0 .

Para calcular las bisectrices de la recta \textbf{\textit{3x - 4y + 3 = 0}} con la recta \textbf{\textit{y=0}} sustituimos, utilizando la ecuación (5)

     \begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|y|}{\sqrt{0^2+1^2}}\end{eqnarray*}

Desarrollando tenemos:

     \begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{\sqrt{25}}=\frac{|y|}{\sqrt{1}}\end{eqnarray*}

     \begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{5}=\frac{|y|}{1}\end{eqnarray*}

     \begin{eqnarray*} |3x-4y+3|=5|y|\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} 3x-4y+3=\pm 5y\end{eqnarray*}

Calculamos la ecuación de la primera recta bisectriz:

    \begin{eqnarray*}3x-4y+3= 5y\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}3x-9y+3=0\end{eqnarray*}

Calculamos la ecuación de la segunda recta bisectriz

    \begin{eqnarray*}3x-4y+3= -5y\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}3x+y+3=0\end{eqnarray*}

Para calcular las bisectrices de la recta \textbf{\textit{3x - 4y + 3 = 0}} con la recta \textbf{\textit{x=0}} sustituimos, utilizando la ecuación (5)

     \begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\end{eqnarray*}

Desarrollando tenemos:

     \begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{\sqrt{25}}=\frac{|x|}{\sqrt{1}}\end{eqnarray*}

     \begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{5}=\frac{|x|}{1}\end{eqnarray*}

     \begin{eqnarray*} |3x-4y+3|=5|x|\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} 3x-4y+3=\pm 5x\end{eqnarray*}

Calculamos la ecuación de la primera recta bisectriz:

    \begin{eqnarray*}3x-4y+3= 5x\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}-2x-4y+3=0\end{eqnarray*}

Calculamos la ecuación de la segunda recta bisectriz

    \begin{eqnarray*}3x-4y+3= -5x\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}8x-4y+3=0\end{eqnarray*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗