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Definición de lugar geométrico
Ejemplos de lugares geométricos

Definición de lugar geométrico

Se denomina lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

Es usual que la propiedad geométrica que caracteriza al lugar geométrico se presente también de forma algebraica.

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Ejemplos de lugares geométricos

Mediatrices

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos. Gráficamente, la mediatriz es una recta perpendicular a un segmento que lo divide en dos partes iguales.

La mediatriz CP divide el segmento AB en dos partes iguales

Como podemos observar en la imagen anteriormente presentada CD divide al segmento AB en dos partes iguales. Esta relación se puede expresar algebraicamente de la siguiente forma:

$\begin{equation*} d(A,C)=d(B,C)\end{equation*}$

Así tendremos dos triangulos con las mismas longitudes por lo cual también tendremos la siguiente relación:

$\begin{equation*} d(A,P)=d(B,P)\end{equation*}$

En general, cualquier punto ubicado sobre la recta formada por los puntos P y C serán equidistantes al punto A y B respectivamente.

Utilizando la fórmula de distancia en el plano cartesiando y considerando que $P=(x,y)$ , $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2)$ , esta relación puede reescribirse de la siguiente forma:

(1) $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}&=&\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}\end{eqnarray*}$

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento con extremos en A(2 , 5) y B(4, -7).

Para encontrar la ecuación de la recta de la mediatriz, usaremos la ecuación (1), es decir sabemos que la recta debe satisfacer que

$\begin{eqnarray*} d(A,P)&=&d(B,P)\end{eqnarray*}$

Sustituyendo con los valores dados tenemos:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}&=&\sqrt{(x-4)^2+(y+7)^2}\end{eqnarray*}$

Elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación y desarrollando los binomios tenemos:

$\begin{eqnarray*} x^2-4x+4+y^2-10y+25&=&x^2-8x+16+y^2+14y+49\end{eqnarray*}$

Cancelando términos y simplificando la expresión tenemos:

(2) $\begin{eqnarray*} x-6y-9=0\end{eqnarray*}$

Es decir, cualquier pareja $P=(x,y)$ que satisfaga la ecuación (2) hará que la longitud entre $d(A, P)$ y $d(B, P)$ sea la misma (equidistantes).

Bisectrices

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo. Gráficamente, una bisectriz divide un ángulo en dos partes iguales. Por ejemplo, en la siguiente gráfica notemos como las rectas $g$ y $f$ tienen dos bisectrices: la recta $h$ y la recta $i$ , ambas perpendiculares entre sí.

De esta construcción se desprenden un conjunto de resultados, por ejemplo si trazamos un segmento perpendicular a la rectas $g$ y $f$ , que pase por un punto ubicado sobre la recta $h$ , la distancia será la misma. De hecho, es suficiente que el ángulo formado por el segmento GF y la recta f y el segmento FH con la recta g midan el mismo ángulo para que la distancia a F sea la misma.

Puntos de la bisectriz equidistan de las rectas que forman el ángulo

Algebraicamente, esta relación satisface que:

$\begin{eqnarray*} d(G,F)&=&d(F,H)\end{eqnarray*}$

Además, si la recta $g$ es de la forma:

$\begin{eqnarray*} g=A_1x+B_1y+C_1=0\end{eqnarray*}$

y la recta $f$ es de la forma:

$\begin{eqnarray*} f=A_2x+B_2y+C_2=0\end{eqnarray*}$

Se satisface que

(3) $\begin{eqnarray*} \frac{|A_1x+B_1y+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{|A_2x+B_2y+C_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\end{eqnarray*}$

Ejemplo 1

Encontrar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas $\textbf{\textit{3x - 4y + 5 = 0}}$ y $\textbf{\textit{6x + 8y + 1 = 0}}$ .

Retomamos la ecuación (3) y sustituimos

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|6x+8y+1|}{\sqrt{6^2+8^2}}\end{eqnarray*}$

Desarrollando tenemos:

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+5|}{5}=\frac{|6x+8y+1|}{10}\end{eqnarray*}$

Es decir,

$\begin{eqnarray*} 10|3x-4y+5|=5|6x+8y+1|\end{eqnarray*}$

Como tenemos una igualdad de valores absolutos, existen dos casos en los que la igualdad se satisface, el primero

$\begin{eqnarray*} 10(3x-4y+5)=5(6x+8y+1)\end{eqnarray*}$

y el segundo

(4) $\begin{eqnarray*} 10(3x-4y+5)=-5(6x+8y+1)\end{eqnarray*}$

Para resolver la ecuación (4) dividimos ambos lados de la igualdad por 5 y luego desarrollamos:

$\begin{eqnarray*} 2(3x-4y+5)=(6x+8y+1)\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x-8y+10=6x+8y+1\end{eqnarray*}$

(5) $\begin{eqnarray*} -16y+9=0\end{eqnarray*}$

Para resolver la ecuación (5) dividimos ambos lados de la igualdad por -5 y luego desarrollamos:

$\begin{eqnarray*} -2(3x-4y+5)=(6x+8y+1)\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6x+8y-10=6x+8y+1\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -12x-11=0\end{eqnarray*}$

(6) $\begin{eqnarray*} 12x+11=0\end{eqnarray*}$

Así las ecuaciones (5) y (6) son las bisectrices de las rectas $3x - 4y + 5 = 0$ y $6x + 8y + 1 = 0$ .

Ejemplo 2

Calcular las bisectrices de los ángulos que la recta 3x - 4y + 3 = 0 forma con los ejes coordenados

Este problema consta de dos partes la primera: calcular las bisectrices de la recta $3x - 4y + 3 = 0$ con la recta $y=0$ y la segunda, calcular las bisectrices de la recta $3x - 4y + 3 = 0$ con la recta $x=0$ .

Para calcular las bisectrices de la recta $\textbf{\textit{3x - 4y + 3 = 0}}$ con la recta $\textbf{\textit{y=0}}$ sustituimos, utilizando la ecuación (5)

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|y|}{\sqrt{0^2+1^2}}\end{eqnarray*}$

Desarrollando tenemos:

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{\sqrt{25}}=\frac{|y|}{\sqrt{1}}\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{5}=\frac{|y|}{1}\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |3x-4y+3|=5|y|\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-4y+3=\pm 5y\end{eqnarray*}$

Calculamos la ecuación de la primera recta bisectriz:

$\begin{eqnarray*}3x-4y+3= 5y\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}3x-9y+3=0\end{eqnarray*}$

Calculamos la ecuación de la segunda recta bisectriz

$\begin{eqnarray*}3x-4y+3= -5y\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}3x+y+3=0\end{eqnarray*}$

Para calcular las bisectrices de la recta $\textbf{\textit{3x - 4y + 3 = 0}}$ con la recta $\textbf{\textit{x=0}}$ sustituimos, utilizando la ecuación (5)

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\end{eqnarray*}$

Desarrollando tenemos:

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{\sqrt{25}}=\frac{|x|}{\sqrt{1}}\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-4y+3|}{5}=\frac{|x|}{1}\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |3x-4y+3|=5|x|\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-4y+3=\pm 5x\end{eqnarray*}$

Calculamos la ecuación de la primera recta bisectriz:

$\begin{eqnarray*}3x-4y+3= 5x\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}-2x-4y+3=0\end{eqnarray*}$

Calculamos la ecuación de la segunda recta bisectriz

$\begin{eqnarray*}3x-4y+3= -5x\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}8x-4y+3=0\end{eqnarray*}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Resumen de Ecuaciones de la recta

Resumen de Ecuacion de la recta II

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Ecuacion canonica

Ecuaciones parametricas de la recta

Ecuaciones punto-pendiente de una recta

Ecuacion de la recta en forma explicita

Angulo que forman dos rectas

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La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

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Definición de puntos y vectores coplanarios

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Ecuacion normal de la recta. Cosenos directores

Bisectrices de un triangulo

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lupillo aleman quesada

Febrero 2022

te apapacho nostros somos los favoritos de los capos

Norfelino Pacheco

Febrero 2022

Muy interesante, gracia por este aporte a lugares geométricos. Le agradecería si tiene mas material acerca de otros lugares geométricos(circunferencia, recta, parábola ....) Muchas gracia por la información.

Diego

Julio 2021

Investiga sobre lugares geométricos y sus funciones y relaciona con un objeto físico ayuda

andres

Mayo 2021

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A ( 2 , 3) y B ( 4, -3) y determina a qué tipo de gráfica pertenece.

Roberto Tufiño

Enero 2021

Muchas gracias, me gustaría mucho aprender más

diana waldorf

Noviembre 2020

Ayúdenme por favor: para la ecuación: y=x3 Complete para diferentes valores de “x” y “y” la siguiente tabla Construye la gráfica de la ecuación basándose en la tabulación de los valores hechos en el inciso anterior. a) X f(x)=y=x3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 Concluye y escribe si la ecuación es o no una función y porqué

Patty

Septiembre 2020

exelente explicación y muy breve, me quedo clarisimo muchas gracias!!

Superprof

Octubre 2020

Gracias por tu comentario Patty :)