Recordatorio

Un punto P(p_{1},p_{2}) pertenece a una recta de ecuación Ax+By+C=0, cuando las coordenadas del punto satisfacen la igualdad:

Ap_{1}+Bp_{2}+C=0

Cuando un punto P pertenece a una recta r se dice que r incide en P o que r pasa por P.

 

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Ejercicios propuestos

 

1 Determina si el punto P(-2,5) incide con la recta r\equiv 2x+3y-11=0

 

Determina si el punto P(-2,5) incide con la recta r\equiv 2x+3y-11=0

 

1 Sustituimos el punto P en la ecuación de la recta r y verificamos si se cumple la igualdad

 

r\equiv 2x+3y-11=0

 

2(-2)+3(5)-11=0

 

-4+15-11=0

 

0=0

2 Como la igualdad se cumple, el punto P incide con la recta r

2 Determina si el punto P(0,-7) incide con la recta r\equiv 5x-2y+5=0

 

Determina si el punto P(0,-7) incide con la recta r\equiv 5x-2y+5=0

 

1 Sustituimos el punto P en la ecuación de la recta r y verificamos si se cumple la igualdad

 

r\equiv 5x-2y+5=0

 

5(0)-2(-7)+5=0

 

0+14+5=0

 

19\neq 0

 

2 Como la igualdad no se cumple, el punto P no incide con la recta r

3Encuentra el punto en que las rectas r_{1}\equiv 2x+5y-19=0 y r_{2}\equiv 3x-4y+6=0 inciden

 

Encuentra el punto en que las rectas r_{1}\equiv 2x+5y-19=0 y r_{2}\equiv 3x-4y+6=0 inciden

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones con las rectas r_{1} y r_{2}

 

\left\{\begin{matrix} 2x+5y-19=0\\ \\ 3x-4y+6=0 \end{matrix}\right.

 

2 Resolveremos el sistema por el método de Reducción. Para ello, multiplicamos por 4 a r_{1} y por 5 a r_{2}

 

\left\{\begin{matrix} 4(2x+5y-19)=0(4)\\ \\ 5(3x-4y+6)=0(5) \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} 8x+20y-76)=0\\ \\ 15x-20y+30)=0 \end{matrix}\right.

 

3 Sumamos ambas ecuaciones

 

23x-46=0

 

4 Despejamos a 'x'

 

x=\cfrac{46}{23}=2

 

5 Sustituimos el valor de 'x' en cualquiera de las ecuaciones, en este caso lo sustituiremos en r_{1}, y despejamos a 'y'

 

2(2)+5y-19=0

 

4+5y-19=0

 

y=\cfrac{15}{5}=3

 

Las rectas r_{1} y r_{2} inciden en el punto P(2,3)

4Encuentra el punto en que las rectas r_{1}\equiv x+6y-10=0 y r_{2}\equiv -3x-18y+30=0 inciden

 

Encuentra el punto en que las rectas r_{1}\equiv x+6y-10=0 y r_{2}\equiv -3x-18y+30=0 inciden

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones con las rectas r_{1} y r_{2}

 

\left\{\begin{matrix} x+6y-10=0\\ \\ -3x-18y+30=0 \end{matrix}\right.

 

2 Resolveremos el sistema por el método de Reducción. Para ello, multiplicamos por 3 a r_{1}

 

\left\{\begin{matrix} 3(x+6y-10)=0(3)\\ \\ -3x-18y+30=0 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} -3x-18y+30=0\\ \\ -3x-18y+30=0 \end{matrix}\right.

 

3 Sumamos ambas ecuaciones

 

0=0

 

4 Como todos los términos se cancelan significa que las rectas tienen una infinidad de puntos de incidencia. Para encontrar al menos 1 de ellos le podemos asignar un valor a una de las variables y despejar la otra, de cualquier ecuación. Por ejemplo, sustituyamos x=2 en r_{1}

 

2+6y-10=0

 

y=\cfrac{8}{6}=\cfrac{4}{3}

 

Uno de los puntos de incidencia de las rectas r_{1} y r_{2} es P\left (2,\frac{4}{3} \right )

5Encuentra el punto en que las rectas r_{1}\equiv 3x-2y-5=0 y r_{2}\equiv 3x-2y+30=0 inciden

 

Encuentra el punto en que las rectas r_{1}\equiv 3x-2y-5=0 y r_{2}\equiv 3x-2y+30=0 inciden

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones con las rectas r_{1} y r_{2}

 

\left\{\begin{matrix} 3x-2y-5=0\\ \\ 3x-2y+30=0 \end{matrix}\right.

 

2 Resolveremos el sistema por el método de Reducción. Para ello, multiplicamos por -1 a r_{1}

 

\left\{\begin{matrix} -1(3x-2y-5)=0(-1)\\ \\ 3x-2y+30=0 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} -3x+2y+5=0\\ \\ 3x-2y+30=0 \end{matrix}\right.

 

3 Sumamos ambas ecuaciones

 

35=0

 

Como llegamos a una inconsistencia, las rectas r_{1} y r_{2} no tienen puntos de incidencia.

6Calcula el valor de 'a' para que la recta r_{1}\equiv ax-3y-9=0 incida con el punto P(-3,-5)

 

Calcula el valor de 'a' para que la recta r_{1}\equiv ax-3y-9=0 incida con el punto P(-3,-5)

 

1 Sustituimos el punto P(-3,-5) en r_{1}

 

a(-3)-3(-5)-9=0

 

2 Despejamos a 'a'

 

-3a+15-9=0

 

-3a=-6

 

a=\frac{-6}{-3}=2

7Calcula el valor de 'a' para que la recta r_{1}\equiv ax-3y-9=0 incida con el punto P(-3,-5)

 

Calcula los valores de 'a' y 'b' para que las rectas r_{1}\equiv ax-by+7=0 incida con la recta r_{2}\equiv bx+ay+11=0 en el punto P(-2,-1)

 

1 Sustituimos el punto P(-2,-1)
en r_{1} y r_{2} y planteamos un sistema de ecuaciones

 

\left\{\begin{matrix} ax-by+7=0\\ \\ bx+ay+11=0 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} -2a+b+7=0\\ \\ -2b-a+11=0 \end{matrix}\right.

 

2 Multiplicamos por -2 la segunda ecuación

 

\left\{\begin{matrix} -2a+b+7=0\\ \\ (-2)(-2b-a+11)=0(-2) \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} -2a+b+7=0\\ \\ 4b+2a-22=0 \end{matrix}\right.

 

3 Sumamos las dos ecuaciones y despejamos a 'b'

 

5b-15=0

 

b=3

 

4 Sustituimos b=3 en la primer ecuación y despejamos a 'a'

 

-2a+3+7=0

 

a=5

8 En una granja se tienen 19 animales entre gallinas y caballos. El número de patas entre las dos especies de animales es 52. ¿Cuántos animales hay de cada tipo?

 

En una granja se tienen 19 animales entre gallinas y caballos. El número de patas entre las dos especies de animales es 52. ¿Cuántos animales hay de cada tipo?

 

1 Si 'x' es el número de gallinas y 'y' el número de caballos, podemos plantear un sistema de ecuaciones:

 

\left\{\begin{matrix} r_{1}\equiv x+y-19=0\\ \\ r_{2}\equiv 2x+4y-52=0 \end{matrix}\right.

 

2 El punto de incidencia entre r_{1} y r_{2} corresponde a la solución del problema, por lo que resolveremos el sistema por el método de reducción, multiplicamos a r_{1} por -2

 

\left\{\begin{matrix} -2(x+y-19)=0(-2)\\ \\ 2x+4y-52=0 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} -2x-2y+38)=0\\ \\ 2x+4y-52=0 \end{matrix}\right.

 

3 Sumamos ambas ecuaciones y despejamos 'y'

 

2y=14

 

y=7

 

4 Sustituimos y=7 en r_{1} y despejamos a 'x'

 

x+7-19=0

 

x=12

 

5 Las rectas r_{1} y r_{2} inciden en el punto P(12,7) por lo que hay 12 gallinas y 7 caballos

9Encuentra el valor de 'a' para que la recta r\equiv 5x-6y+9=0 incida con el punto P(-3,10)

 

Encuentra el valor de 'a' para que la recta r\equiv 5x-ay+9=0 incida con el punto P(-3,10)

 

1 Sustituimos el punto P en la recta r

 

5(-3)-a(10)+9=0

 

2 Despejamos a 'a'

 

-15-10a+9=0

 

-10a=4

 

a=\cfrac{4}{-10}=-\cfrac{2}{5}

10Encuentra el valor de 'a' para que la recta r\equiv ax+4y-11=0 incida con el punto P(0,0)

 

Encuentra el valor de 'a' para que la recta r\equiv ax+4y-11=0 incida con el punto P(0,0)

 

1 Sustituimos el punto P en la recta r

 

a(0)+4(0)-11=0

 

-11=0

 

2 Como llegamos a una inconsistencia, la recta 'r' no incide con el origen de coordenadas

 

11Encuentra el valor de 'a' para que la recta r\equiv ax+8y-10=0 incida con el punto P(-3,0)

 

Encuentra el valor de 'a' para que la recta r\equiv ax+8y-10=0 incida con el punto P(-3,0)

 

1 Sustituimos el punto P en la recta r y despejamos 'a'

 

a(-3)+8(0)-10=0

 

-3a-10=0

 

a=-\cfrac{10}{3}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗