1Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1, 0, 2) y se apoya en las rectas:

 

r \equiv \cfrac{x}{3} = \cfrac{y + 2}{1} = \cfrac{z}{1}, \ \ \ \ \ s \equiv \cfrac{x + 1}{6} = \cfrac{y}{-2} = \cfrac{z}{1}

1 Obtenemos un punto genérico de la recta r igualando las expresiones con \lambda

 

\cfrac{x}{3} = \cfrac{y + 2}{1} = \cfrac{z}{1} = \lambda \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left \{ \begin{array}{l} x = 3 \lambda \\ y = -2 + \lambda \\ z = \lambda \end{array} \right.

 

Entonces se obtiene P(3 \lambda, -2 + \lambda, \lambda)

 

2Obtenemos un punto genérico de la recta s igualando las expresiones con \mu.

 

\cfrac{x + 1}{6} = \cfrac{y}{-2} = \cfrac{z}{1} = \mu \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left \{ \begin{array}{l} x = -1 +6 \mu \\ y = -2 \mu \\ z = \mu \end{array} \right.

 

Entonces se obtiene Q(-1 + 6 \mu, -2 \mu, \mu)

 

3Calculamos la ecuación de la recta que pasa por P y Q.

 

\cfrac{x - 3\lambda}{-1 + 6 \mu - 3 \lambda} = \cfrac{y + 2 - \lambda}{-2 \mu + 2 - \lambda} = \cfrac{z - \lambda}{\mu - \lambda}

 

4Como la recta pasa por el punto (1, 0, 2), tendremos:

 

\cfrac{1 - 3\lambda}{-1 + 6 \mu - 3 \lambda} = \cfrac{2 - \lambda}{-2 \mu + 2 - \lambda} = \cfrac{2 - \lambda}{\mu - \lambda}

 

Igualando la primera expresión con la segunda y la segunda con la tercera se obtiene el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{l} 3 \lambda \mu - 11 \mu + 4 \lambda + 2 = 0 \\ 3 \mu - 2 = 0 \end{array} \right.

 

del cual obtenemos

 

\lambda = \cfrac{8}{9}, \ \ \ \ \ \mu = \cfrac{2}{3}

 

5Sustituimos estos dos valores en la ecuación de la recta:

 

\cfrac{x - 3 \cdot \cfrac{8}{9}}{-1 + 6 \cdot \cfrac{2}{3} - 3 \cdot \cfrac{8}{9}} = \cfrac{y + 2 - \cfrac{8}{9}}{-2 \cdot \cfrac{2}{3} + 2 - \cfrac{8}{9}} = \cfrac{z - \cfrac{8}{9}}{\cfrac{2}{3} - \cfrac{8}{9}}

 

6Operamos y simplificamos para obtener la recta solicitada

 

\cfrac{9x - 24}{3} = \cfrac{9y + 10}{-2} = \cfrac{9z - 8}{-2}

 

2Estudiar para los diferentes valores de a, la posición relativa de los siguientes planos:

 

\begin{array}{l} \pi_1 \equiv ax + y + z = 1 \\ \pi_2 \equiv x + ay + z = 1  \\ \pi_3 \equiv x + y + az = 1  \end{array}

1La matriz de coeficientes y la matriz extendida son

 

M = \left ( \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array} \right ), \ \ \ \ \ M' = \left ( \begin{array}{cccc} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \end{array} \right )

 

2En el determinante de la matriz de los coeficientes sumamos a la primera fila las otras dos y posteriormente sacamos factor común.

 

\left | \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array} \right |  = \left | \begin{array}{ccc} a + 2 & a + 2 & a + 2 \\ 1 & a & 1  \\ 1 & 1 & a \end{array} \right | = (a + 2) \left | \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array} \right |

 

Restamos a cada fila la primera:

 

(a + 2) \left | \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array} \right | = (a + 2)(a - 1)^2

 

3Si a \neq -2 y a \neq 1, entonces r(M) = r(M') = 3 y se tiene que los tres planos se cortan en un punto.

 

4Si a = 1, entonces las tres ecuaciones son idénticas y se tiene que los tres planos son coincidentes.

 

5Si a = -2, entonces r(M) = 2 y  r(M') = 3 por lo que no hay ningún par de planos paralelos, luego los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.

 

3Estudiar las posiciones relativas del plano \pi \equiv x + ay - z = 1 y la recta r \equiv \left \{ \begin{array}{l} 2x + y - az = 2 \\ x - y - z = a - 1 \end{array} \right. según los valores del parámetro a.

1Con el plano y la recta formamos el siguiente sistema

 

\left \{ \begin{array}{l} x + ay - z = 1 \\ 2x + y - az = 2 \\ x - y - z = a - 1 \end{array} \right.

 

2La matriz de coeficientes y la matriz extendida son

 

M = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & -a \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right ), \ \ \ \ \ M' = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & a & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -a & 2 \\ 1 & -1 & -1 & a - 1 \end{array} \right )

 

3Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes

 

\left | \begin{array}{ccc} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & -a \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right | = -a^2 + a + 2

 

4Igualando el determinante a cero obtenemos

 

-a^2 + a + 2 = (-a + 2)(a + 1) = 0

 

5Si a \neq 2 y a \neq -1, entonces r(M) = r(M') = 3 y la recta corta al plano en un solo punto.

 

6Si a = 2, entonces r(M) = r(M') = 2 y la recta está contenida en el plano.

 

7Si a = -1, entonces r(M) = 2 y  r(M') = 3 por lo que la recta es paralela al plano.

 

4Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta r \equiv \cfrac{x + 1}{2} = \cfrac{y}{1} = \cfrac{z - 1}{-1} con el plano \pi \equiv x - 2y + 5z + 1 = 0 y es paralelo a las rectas:

 

s \equiv \cfrac{x - 1}{-1} = \cfrac{y - 1}{2} = \cfrac{z + 1}{1},  \ \ \ \ \  t \equiv \cfrac{x}{1} = \cfrac{y - 2}{1} = \cfrac{z + 4}{-2}

1Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman un sistema

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 2y + 1 = 0 \\ -x - 2z + 1 = 0  \\  x - 2y + 5z + 1 = 0 \end{array} \right.

 

2La solución es el punto de intersección

 

x = 1, \ \ \ y = 1, \ \ \ z = 0

 

3El plano viene determinado por el el punto de intersección y los vectores directores de las rectas paralelas al plano

 

A(1, 1, 0), \ \ \ \vec{u} = (-1, 2, 1), \ \ \ \vec{v} = (1, 1, -2)

 

4Calculamos el determinante

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & -1 & 1 \\ y -1 & 2 & 1 \\ z & 1 & -2 \end{array} \right | = -5x - y - 3z + 6

 

5La ecuación del plano se obtiene igualando el determinante a cero

 

-5x - y - 3z + 6 = 0

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗