Problemas de posiciones relativas

1 Obtenemos un punto genérico de la recta igualando las expresiones con

Entonces se obtiene

2Obtenemos un punto genérico de la recta igualando las expresiones con .

Entonces se obtiene

3Calculamos la ecuación de la recta que pasa por y .

4Como la recta pasa por el punto , tendremos:

Igualando la primera expresión con la segunda y la segunda con la tercera se obtiene el sistema de ecuaciones

del cual obtenemos

5Sustituimos estos dos valores en la ecuación de la recta:

6Operamos y simplificamos para obtener la recta solicitada

1La matriz de coeficientes y la matriz extendida son

2En el determinante de la matriz de los coeficientes sumamos a la primera fila las otras dos y posteriormente sacamos factor común.

Restamos a cada fila la primera:

3Si y , entonces y se tiene que los tres planos se cortan en un punto.

4Si , entonces las tres ecuaciones son idénticas y se tiene que los tres planos son coincidentes.

5Si , entonces y por lo que no hay ningún par de planos paralelos, luego los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.

1Con el plano y la recta formamos el siguiente sistema

2La matriz de coeficientes y la matriz extendida son

3Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes

4Igualando el determinante a cero obtenemos

5Si y , entonces y la recta corta al plano en un solo punto.

6Si , entonces y la recta está contenida en el plano.

7Si , entonces y por lo que la recta es paralela al plano.

1Las ecuaciones continuas de la recta se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman un sistema

2La solución es el punto de intersección

3El plano viene determinado por el el punto de intersección y los vectores directores de las rectas paralelas al plano

4Calculamos el determinante

5La ecuación del plano se obtiene igualando el determinante a cero