Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a cada ángulo del triángulo en dos ángulos iguales.

Incentro de un triángulo

Imagen para mostrar las bisectrices e incentro del triangulo
  • El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices.
  • El incentro se expresa con la letra I.
  • El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
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Vamos

Ejercicio para calcular las ecuaciones de las bisectrices e incentro

Hallar las ecuaciones de las bisectrices y el incentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1)  y  C(-3, -2).

Triangulo del ejercicio

En primer lugar hallamos las ecuaciones de los lados del triángulo: para esto utilizaremos la forma punto-pendiente de la recta.

Recta formada por A-B:
Calculamos la pendiente de la recta formada por los puntos A y B

     \[ m_{AB} = \frac{1-0}{0-2} = -\frac{1}{2} \]

utilizando esta pendiente y el punto A, obtenemos que la ecuación de la recta es

    \[ y - 0 = -\frac{1}{2}(x-2) \quad \Rightarrow \quad x + 2y -2 = 0. \]

Recta formada por B-C:
Pendiente de la recta formada por los puntos B-C

     \[ m_{BC} = \frac{-2-1}{-3-0} = \frac{-3}{-3} = 1 \]

con la pendiente y el punto B obtenemos la recta

     \[ y-1 = x-0 \quad \Rightarrow \quad x - y + 1 = 0. \]

Recta formada por C-A:
Tenemos que la pendiente de la recta formada por los puntos C y A es

     \[ m_{CA} = \frac{-2-0}{-3-2} = \frac{2}{5} \]

con la pendiente y el punto C, tenemos que la ecuación de la recta es

    \[ y +2 = \frac{2}{5}(x+3) \quad \Rightarrow \quad 2x - 5y -4 = 0. \]

Cálculo de la bisectriz que pasa por A.

La teoría para el calculo de la ecuación de la bisectriz la puede encontrar aquí.

Para encontrar la ecuación de la bisectriz que pasa por A, consideramos las dos rectas que forman el ángulo

    \begin{equation*} x + 2y -2 = 0 \\ 2x - 5y -4 = 0 \end{equation*}

y (x,y) un punto sobre la bisectriz. Puesto que queremos que la distancia del punto a las rectas sea igual en ambos caso, debemos tener que

     \begin{eqnarray*} \frac{x+2y-2}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \pm \frac{2x - 5y -4}{\sqrt{2^2 + 5^2}}\\ \frac{x+2y-2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2x - 5y -4}{\sqrt{29}} \end{eqnarray*}

es decir, tendremos dos ecuaciones (una considerando el signo positivo y otra el signo negativo).

Primera ecuación:

     \begin{align*} \frac{x+2y-2}{\sqrt{5}} &= \frac{2x - 5y -4}{\sqrt{29}}\\ \sqrt{29}(x+2y-2) &= \sqrt{5}(2x - 5y -4)\\ \sqrt{29}x + 2\sqrt{29}y - 2\sqrt{29} &= 2\sqrt{5}x - 5\sqrt{5}y - 4\sqrt{5} \end{align*}

entonces

    \[(\sqrt{29}- 2\sqrt{5})x + (2\sqrt{29}+5\sqrt{5})y - 2\sqrt{29} + 4\sqrt{5} &= 0. \]

Si no se quiere trabajar con radicales se podría escribir una aproximación con números decimales, en este caso tendríamos

     \[0.913x + 21.95y-1.826= 0.\]

Segunda ecuación:

     \begin{align*} \frac{x+2y-2}{\sqrt{5}} &= -\frac{2x - 5y -4}{\sqrt{29}}\\ \sqrt{29}(x+2y-2) &= -\sqrt{5}(2x - 5y -4)\\ \sqrt{29}x + 2\sqrt{29}y - 2\sqrt{29} &= -2\sqrt{5}x +5\sqrt{5}y +4\sqrt{5} ​ \end{align*}

entonces

     \[(\sqrt{29}+2\sqrt{5})x +(2\sqrt{29}-5\sqrt{5})y-2\sqrt{29}-4\sqrt{5}=0.\]

Con decimales seria aproximadamente

    \[ 9.857x-0.410y-19.714=0\]

Bisectrices de A

Cálculo de la bisectriz que pasa por B.

En este caso consideramos las ecuaciones de las dos rectas que pasan por B

    \begin{equation*} x + 2y -2 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{equation*}

y (x,y) un punto sobre la bisectriz. En este caso debemos tener que

     \begin{eqnarray*} \frac{x+2y-2}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \pm \frac{x - y + 1 }{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\ \frac{x+2y-2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{x - y + 1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}

Primera ecuación:

     \begin{align*} \frac{x+2y-2}{\sqrt{5}} &= \frac{x - y + 1}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{2}(x+2y-2) &= \sqrt{5}(x - y +1) \\ \sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y - 2\sqrt{2} &= \sqrt{5}x - \sqrt{5}y + \sqrt{5}. \end{align*}

Entonces

    \[(\sqrt{2}- \sqrt{5})x + (2\sqrt{2}+\sqrt{5})y - 2\sqrt{2} -\sqrt{5} &= 0 .\]

Con números decimales,

     \[0.822x - 5.064y+5.064= 0\]

Segunda ecuación:

     \begin{align*} \frac{x+2y-2}{\sqrt{5}} &= -\frac{x - y + 1}{\sqrt{2}},\\ \sqrt{2}(x+2y-2) &= -\sqrt{5}(x - y +1),\\ \sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y - 2\sqrt{2} &= -\sqrt{5}x + \sqrt{5}y - \sqrt{5}. \end{align*}

Entonces

    \[(\sqrt{2}+ \sqrt{5})x + (2\sqrt{2}-\sqrt{5})y - 2\sqrt{2} +\sqrt{5} &= 0 \]

con decimales sería aproximadamente

    \[ 3.650x+0.592y-0.592=0\]

Bisectrices de B

Cálculo de la bisectriz que pasa por C.

Para encontrar la ecuación de la bisectriz que pasa por C, consideramos las dos rectas que forman el ángulo

    \begin{equation*} x - y + 1 = 0\\ 2x - 5y -4 = 0 \\ \end{equation*}

y (x,y) un punto sobre la bisectriz. Ahora bien

    \begin{equation*} \frac{x - y + 1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{2x - 5y -4}{\sqrt{29}} \end{equation*}

y las dos ecuaciones
Primera ecuación:

     \begin{align*} \frac{x - y + 1}{\sqrt{2}} &= \frac{2x - 5y -4}{\sqrt{29}},\\ \sqrt{29}(x - y + 1) &= \sqrt{2}(2x - 5y -4),\\ \sqrt{29}x - \sqrt{29}y +\sqrt{29} &= 2\sqrt{2}x - 5\sqrt{2}y - 4\sqrt{2}, \end{align*}

entonces

    \[ (\sqrt{29} - 2\sqrt{2})x + ( 5\sqrt{2} - \sqrt{29})y + \sqrt{29} + 4\sqrt{2} = 0 .\]

Con decimales

    \[ 2.557x+1.685y+11.041=0\]

Segunda ecuación:

    \begin{align*} \frac{x - y + 1}{\sqrt{2}} &= -\frac{2x - 5y -4}{\sqrt{29}},\\ \sqrt{29}(x - y + 1) &= -\sqrt{2}(2x - 5y -4),\\ \sqrt{29}x - \sqrt{29}y +\sqrt{29} &= -2\sqrt{2}x + 5\sqrt{2}y + 4\sqrt{2}, \end{align*}

entonces

    \[ (\sqrt{29} + 2\sqrt{2})x - (\sqrt{29} + 5\sqrt{2})y + \sqrt{29} - 4\sqrt{2} = 0 .\]

Escribiéndolo en su forma decimal

    \[ 8.213x-12.455y-0.271=0\]

Bisectrices del angulo C

Calculo del incentro

El Incentro es el punto de corte de las tres bisectrices interiores. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

\left\lbrace\begin{array}{c} 3.650x+0.592y-0.592=0\\ 8.213x-12.455y-0.271=0 \end{array}\right

Resolviendo el sistema de ecuaciones con 2 incógnitas obtenemos que el incentro es

     \[ I = (0.15, 0.08) \]

Incentro del triangulo

Área de la circunferencia inscrita

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, es decir, la circunferencia es tangente a los tres lados del triángulo. Por tanto, el radio de la circunferencia es la distancia del incentro a cualquiera de los lados.

Para calcular el área de la circunferencia debemos encontrar primero el radio, en este caso para encontrar el radio calcularemos la distancia de I al lado B-C del triangulo

    \begin{eqnarray*} r= \frac{|0.15- 0.08 +1|}{\sqrt{2}} = \frac{|1.07|}{\sqrt{2}}= \frac{1.07}{\sqrt{2}} \approx 0.76 \end{eqnarray*}

Por lo tanto tenemos que el área es

    \begin{eqnarray*} A = \pi r^2 = \pi (0.76)^2 \approx 1.81 \end{eqnarray*}

Circunferencia inscrita en el triangulo

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗