Dados los planos:

 

\pi _(1) es equivalente al plano Ax+By+Cz+D=0

 

\pi _(2) es equivalente al plano A'x+B'y+C'z+D'=0

 

Y sean:

 

r = rango de la matriz de los coeficientes.

 

r'= rango de la matriz ampliada.

 

Las posicones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

 

Posición r r'
Secantes 2 2 A/A' distinta de B/B' distinta de C/C'
Paralelos 1 2 A/A' = B/B' = C/C' distinto de D/D'
Coincidentes 1 1 A/A' = B/B' = C/C' = D/D'

 

 

Secantes , Paralelos ; Coincidentes

 

 

Ejemplos

 

1 Estudiar la posición de los siguientes planos:

 

{(x+y-5z=-4),(3x-1y+15z=1):}

 

M=[[1,1,-5],[3,-1,15]] ; M=[[1,1,-5,-4],[3,-1,15,1]]

 

como [[1,1],[3,-1]] es distinto de cero, entonces r=2 y r'=2

 

Como él sistema es compatible indeterminado, los dos planos son secantes, es decir, se cortan en la recta:

 

{(x+y=-4+5z),(3x-1y=1-15z):}

 

4x=-3+10\lambda ; -4y=13+30\lambda

 

x=(-3+10\lambda )/(4) ; y=(-13+30\lambda )/(4) ; z=\lambda

 

2 Estudiar la posición de los siguientes planos:

 

{(x+y-5z+4=0),(-3x-3y+15z-1=0):}

 

(1/-3)=(1/-3)=(-5/15) distinto de (4/-1)

 

Los dos planos son paralelos.

 

3 Estudiar la posición de los siguientes planos:

 

{(x+y-5z+4=0),(-3x-3y+15z-12=0):}

 

(1/-3)=(1/-3)=(-5/15)=(4/-12)

 

Los dos planos son coincidentes.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗