Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud de un segmento que partiendo del punto del plano, sea perpendicular a la recta. Para que la longitud de ese segmento sea la mínima, el segmento y la recta deben de ser perpendiculares.

Sabiendo las coordenadas del punto P(p_1,p_2) y la ecuación general de la recta digamos r = Ax + By + C, la distancia se obtiene por la fórmula:

 

     \[ d(P, r) = | \frac{Ap_1 + Bp_2 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} |\]

 

Distancia punto-recta

Ejemplo

Hallar la distancia del punto P(2,-1) a la recta r \equiv 3 x+4 y=0.

 

    \[ d(P, r)=\frac{|3 \cdot 2+4 \cdot(-1)|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{2}{5} \]

 

Distancia al origen

La distancia al origen es considerando que nuestro punto P es el origen O(0,0), por tanto

 

     \[ D(O,r) = |\frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}}| \]

 

Ejemplos

1 Hallar la distancia al origen de la recta r \equiv 3 x-4 y-25=0.

 

     \[ d(O, r)=\frac{|-25|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{25}{5}=5 \]

 

2 Una recta "s" es paralela a la que tiene por ecuación r \equiv 5x+8 y-12=0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

Tenemos que la recta "s" es paralela a "r" por tanto

 

     \[ s \equiv 5 x+8 y+D=0 \]

 

También tenemos que dista 6 unidades del origen, por lo que

 

     \[ d(O, s) = 6 \quad \Rightarrow \quad \frac{D}{\sqrt{5^{2}+8^{2}}}=6 \quad \Rightarrow \quad D=\pm 6 \sqrt{89} \]

 

entonces

 

     \[ s = 5 x+8 y \pm 6 \sqrt{89}=0 \]

 

3 Una recta "s" es perpendicular a la que tiene por ecuación r \equiv 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

Puesto que "s" es perpendicular a "r" se tiene que

 

     \[ s \equiv 7 x+5 y+D=0 \]

 

y ya que dista 4 unidades del origen tendremos

 

     \[ d(O, s)= 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{D}{\sqrt{7^{2}+5^{2}}}=4 \quad \Rightarrow \quad D =\pm 4 \sqrt{74} \]

 

entonces

 

     \[ 7 x+5 y \pm 4 \sqrt{74}=0 \]

 

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Distancia entre rectas paralelas

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

distancia rectas paralelas

entonces

    \[ d(r,s) = d (P, s) \]

 

Ejemplo

Hallar la distancia entre las rectas: r \equiv 3 x - 4 y + 4 = 0 y s \equiv 9 x - 12 y - 4 = 0.

Tenemos que las rectas son paralelas por lo que ahora lo que hacemos es tomar un punto de la recta "r", considerando x = 0 obtenemos que

 

     \[ 3(0) - 4y + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad y= 1 \]

 

entonces el punto P(0,1) \in r . Y la distancia entre las rectas seria

 

     \[ d(P, s)=\frac{|9 \cdot 0-12 \cdot 1-4|}{\sqrt{9^{2}+12^{2}}}=\frac{16}{15} \]

 

Angulo entre dos rectas

Se llama ángulo entre dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:

Angulo entre dos rectas

1 Sus vectores directores

 \cos \alpha =\frac{\left|u_{1} \cdot v_{1}+u_{2} \cdot v_{2}\right|}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}} \cdot \sqrt{V_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}

2 Sus pendientes

 \operatorname{tg} \alpha=\left|\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{2} \cdot m_{1}}\right|

 

Ejemplo

Hallar el ángulo que forman las rectas "r" y "s", si sus vectores directores son: \vec{u}=(-2,1) y \vec{v}=(2,-3).

    \[ \begin{aligned} &\cos \alpha=\frac{(-2,1) \cdot(2,-3) \mid}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}}=\frac{|-7|}{\sqrt{65}}=0.868 \\ &\alpha=29^{\circ} 44^{\prime} \end{aligned}\]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗