Tres o más puntos están alineados si están en una misma recta, es decir, sus coordenadas son proporcionales, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.

A continuación veremos algunos ejemplos de ejercicios donde consideraremos puntos alineados.

Comprobar si los puntos están alineados.

Comprobar si los puntos  A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y  C(2, 1, 2) están alineados.

Para que los puntos estén alineados se requiere que el rango de los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC} sea 1, es decir, los vectores deben ser proporcionales.

     \[ \overrightarrow{AB} = (5-2,4-3,3-1) = (3,1,2) \]

     \[ \overrightarrow{AC} = (2-2,1-3,2-1) = (0,-2,1) \]

Por inspección de los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC} podemos conjeturar que estos no parecen ser proporcionales. Esto se comprueba calculando el módulo del producto vectorial entre \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC} y verificar que es distinto de cero. Esto es,

     \begin{eqnarray*} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|&=& \begin{vmatrix} i & j & k\\ 3&1&2\\ 0&-2&1 \end{vmatrix}\\ &=&i\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 1\\ \end{matrix}\right| -j\left|\begin{matrix} 3 & 2 \\ 0 & 1\\ \end{matrix}\right| +k\left|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & -2\\ \end{matrix}\right|. \end{eqnarray*}

Calculamos los determinantes,

     \[ \left|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & -2\\ \end{matrix}\right| \neq 0, \quad \quad \left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 1\\ \end{matrix}\right| \neq 0, \quad \quad \left|\begin{matrix} 3 & 2 \\ 0 & 1\\ \end{matrix}\right| \neq 0 . \]

Dado que todos los determinantes resultaron distinto de cero, el vector resultante  \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} es distinto de cero, por lo que se concluye que

     \begin{equation*} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = |(3,1,2) \times (0,-2,1)| \neq 0. \end{equation*}

Entonces  rang(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 y los puntos no están alineados.

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Hallar la ecuación de la recta

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos  A(2, 3, 4) y  B(8, −2, 3). Estudiar si el punto C(2, 1, 3) está alineado con A y B.

Hallaremos la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A y B utilizando el vector \overrightarrow{AB} y el punto A(2,3,4).

La ecuación en general de la recta continua es

    \[ \frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3} \]

donde

  •  (v_1,v_2,v_3) es su vector director y
  •  (x_0,y_0,z_0) un punto de la recta.

En este caso,  \overrightarrow{AB} es el vector director y A(2,3,4) el punto de la recta. Puesto que

    \[ \overrightarrow{AB} = (8-2,-2-3,3-4) = (6, -5 , -1) \]

se tiene que la ecuación de la recta es

    \[ \frac{x-2}{6} = \frac{y-3}{-5} = \frac{z-4}{-1}. \]

Para que el punto C este alineado con A y B, debe pertenecer a la recta que pasa por A y B. Sustituyendo C en la ecuación anterior obtenemos

    \[ \frac{2-2}{6} \neq \frac{1-3}{-5} \neq \frac{3-4}{-1}, \]

por lo que C no satisface la ecuación de la recta y no está alineado con A y B.

Determinar valores de m

Determinar los valores de m para que los puntos A(m, 2, −3), B(2, m, 1) y C(5, 3, −2) estén alineados y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.

Para que los puntos estén alineados se requiere que el rango de los vectores \overrightarrow{AC} y \overrightarrow{BC} sea 1,

     \[ \overrightarrow{AC} = (5-m,3-2,-2+3) = (5-m,1,1), \]

     \[ \overrightarrow{BC} = (5-2,3-m,-2-1) = (3,3-m,-3). \]

Es decir, necesitamos que el módulo del producto vectorial entre \overrightarrow{AC} y \overrightarrow{BC} sea cero, el cual se reduce a calcular los siguientes determinantes (ver ejemplo 1)

1

     \[ \left|\begin{matrix} 5-m & 1 \\ 3 & 3-m\\ \end{matrix}\right| = (5-m)(3-m) - 3 = 12-8m + m^2 = 0, \]

2

     \[ \left|\begin{matrix} 1 & 1 \\ 3-m & -3\\ \end{matrix}\right| = -3-3 + m = m-6 = 0 \quad \textmn{y} \]

3

     \[ \left|\begin{matrix} 5-m & 1 \\ 3 & -3\\ \end{matrix}\right| = -3(5-m) - 3 = 3m-18 = 0. \]

De la primera ecuación tenemos que

     \begin{equation*} 0=12-8m + m^2 = (m-2)(m-6) \end{equation*}

lo cual implica que  m= 2 o  m=6 . De la segunda ecuación obtenemos directamente que  m=6 y de la tercera ecuación obtenemos que

     \begin{eqnarray*} 3m-18 &=& 0,\\ 3m&=& 18,\\ m&=&\frac{18}{3},\\ m&=&6. \end{eqnarray*}

Por lo tanto, para que los puntos estén alineados, se debe tener que  m=6 .

Ahora bien, considerando \overrightarrow{AC} y el punto B, tendremos que la ecuación de la recta que los contiene es

    \[ \frac{x-2}{-1} = \frac{y-6}{1} = \frac{z-1}{1} \]

Si tienes dudas puedes consultar la teoría.

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 5,00 (3 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗