Name: Problemas de rectas
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Hallar la ecuación de la recta
Hallar los puntos en la recta

Hallar la ecuación de la recta

1 Obtener la ecuación continua de la recta que contiene al punto $P(0, 1, -1)$ y que es paralela a la recta parametrizada dada por

$\left\{\begin{matrix} x=3\lambda\\ y=\lambda\\ z=2\lambda+2 \end{matrix}\right.$

De la parametrización obtenemos que un vector director es $\overrightarrow{u}=(3,1,2)$ .

Al contener al punto $P(0, 1, −1)$ , la ecuación continua de la recta es

$\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}$

2 Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(2, 0, 0)$ y es paralela a los planos $\left\{\begin{matrix} x + y = 0\\ x + z = 0 \end{matrix}\right.$

Obtenemos los vectores normales a los planos

$\overrightarrow{n_1}=(1,1,0)$ y $\overrightarrow{n_2}=(1,0,1)$

El vector director de la recta debe ser perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 &1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\textbf{i}-\textbf{k}-\textbf{j}$

Y así, teniendo un vector director $\overrightarrow{u}=(1,-1,-1)$ y el punto P(2, 0, 0) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

$\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}$

3 Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto $P(8, 2, 3)$ y lleva la dirección del vector $\overrightarrow{v}=(0,1,0)$ .

Teniendo un punto por el que pasa y el vector director, se obtiene de manera directa la ecuación paramétrica de la recta

$x=8+0\cdot\lambda \hspace{1cm} y=2+1\cdot\lambda \hspace{1cm} z=3+0\cdot\lambda$

Simplificando llegamos a:

$\left\{\begin{matrix} x=8\\ y=2+\lambda\\ z=3 \end{matrix}\right.$

4 Hallar una ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(2, −1, 5)$ y paralela a los planos:

$\left\{\begin{matrix} x - 3y + z = 0 \\ 2x - y + 3z - 5 = 0 \end{matrix}\right.$

Obtenemos los vectores normales a los planos,

$\overrightarrow{n_1}=(1,-3,1)$ y $\overrightarrow{n_2}=(2,-1,3)$

El vector director de la recta es perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\1&-3&1\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}=-9\textbf{i}+2\textbf{j}-\textbf{k}+6\textbf{k}-3\textbf{j}+\textbf{i}=-8\textbf{i}-\textbf{j}+5\textbf{k}$

Y así, teniendo el vector director $\overrightarrow{u}=(-8,-1,5)$ y el punto P(2, -1, 5) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

$\displaystyle \frac{x-2}{-8}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-5}{5}$

5 Determinar la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto $A(1, -1, 0)$ y corta a las rectas:

$\displaystyle r\equiv\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ $\displaystyle s\equiv \frac{x}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}$

Para obtener la ecuación de la recta notaremos que ésta es la intersección de los dos planos que pasan por $A$ y contienen a las rectas $r$ y $s$ .

1 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a $A$ y $r$ .

Un vector generador de este plano será el vector director de la recta $r$ .

Resolviendo $\displaystyle 0=\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ obtenemos que $B(2,0,1)$ es un punto sobre $r$ . Entonces el otro vector generador está dado por

$\overrightarrow{AB}=(2-1,0+1,1-0)=(1,1,1)$

Un punto en el plano es: $A(1,-1,0)$

Los vectores generadores son:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}=(3,2,1)\\ \overrightarrow{AB}=(1,1,1) \end{matrix}\right.$

Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

$\begin{vmatrix} x-1 & 3 & 1\\ y+1 & 2 & 1\\ z & 1 & 1 \end{vmatrix}=0$ $\Longrightarrow \hspace{1cm} x-2y+z-3=0$

2 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a $A$ y $s$ .

Un vector generador de este plano será el vector director de la recta $s$ .

Resolviendo $\displaystyle 0=\frac{x}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}$ obtenemos que $C(0,2,0)$ es un punto sobre $s$ . Entonces el otro vector generador está dado por

$\overrightarrow{AC}=(0-1,2+1,0-0)=(-1,3,0)$

Un punto en el plano es: $C(0,2,0)$

Los vectores generadores son:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{v}=(-1,1,-2)\\ \overrightarrow{AC}=(-1,3,0) \end{matrix}\right.$

Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

$\begin{vmatrix} x & -1 & -1\\ y-2 & 1 & 3\\ z & -2 & 0 \end{vmatrix}=0$ $\Longrightarrow \hspace{1cm} \begin{matrix} 6x+2y-2z-4=0\\ 3x+y-z-2=0 \end{matrix}$

3 Obtenemos la ecuación implícita de la recta

Usamos las ecuaciones de los planos anteriormente obtenidas,

$t\equiv \left\{\begin{matrix} x-2y+z-3=0\\ 3x+y-z-2=0 \end{matrix}\right.$

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Hallar los puntos en la recta

6 Dados los puntos $A(2, 6, -3)$ y $B(3, 3, -2)$ , hallar los puntos de la recta $AB$ que tienen al menos una coordenada nula.

1 Obtenemos la ecuación de la recta $AB$ Al conocer $2$ puntos en la recta, calculamos la diferencia para encontrar un vector director

$\overrightarrow{AB}=(3-2, 3-6, -2+3)=(1,-3,1)$

Con el vector director y tomando uno de los puntos que están sobre la recta (en este caso tomaremos $A$ ), su ecuación parametrizada es

$\left\{\begin{matrix} x=2+\lambda\\ y=6-3\lambda\\ z=-3+\lambda \end{matrix}\right.$

2 Igualar a 0 cada coordenada de la ecuación de la recta

Si la primera coordenada es cero,

$0=2+\lambda$ entonces $\lambda=-2$ Y el punto resultante es $(2+(-2),6-3(-2),-3+(-2))=(0,12,-5)$

Si la segunda coordenada es cero,

$0=6-3\lambda$ entonces $\lambda=2$ Y el punto resultante es $(2+2,6-3(2),-3+2)=(4,0,-1)$

Si la tercera coordenada es cero,

$0=-3+\lambda$ entonces $\lambda=3$ Y el punto resultante es $(2+3,6-3(3),-3+(3))=(5,-3,0)$

Finalmente, pudimos encontrar $3$ puntos donde al menos una de las coordenadas era nula: $(0,12,-5), (4,0,-1)$ y $(5,-3,0)$ .

7 Hallar las coordenadas del punto en común del plano $x+2y-z-2=0$ y la recta determinada por el punto $P(1,-3,2)$ y el vector $\overrightarrow{u}=(2,4,1)$

1 Obtenemos la ecuación de la recta descrita

$\left\{\begin{matrix} x=1+2\lambda\\ y=-3+4\lambda\\ z=2+\lambda \end{matrix}\right.$

2 Sustituimos en la ecuación del plano

Usando las coordenadas paramétricas de la recta sustituiremos en la ecuación del plano

$(1+2\lambda)+2(-3+4\lambda)-(2+\lambda)-2=0$

Desarrollamos

$1+2\lambda-6+8\lambda-2-\lambda-2=0$

Sumamos términos similares y despejamos

$\displaystyle 9\lambda-9=0 \hspace{.5cm} \Longrightarrow \hspace{.5cm} \lambda=\frac{9}{9}=1$

3 Calculamos las coordenadas usando el valor de $\lambda$

$\left\{\begin{matrix} x=1+2\cdot 1\\ y=-3+4\cdot 1\\ z=2+ 1 \end{matrix}\right.$

Las coordenadas del punto en común son $(3,1,3)$

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Marta

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Franco
Invité

21 Oct.

Pasa por el punto (3;5) y es paralela a la recta q pasa por los puntos (0;5)y (3;0)

Superprof
Administrateur

25 May.

Hola Franco, sabiendo que las rectas son paralelas podemos encontrar la pendiente. La pendiente es la misma para las dos rectas.

m = (y2 – y1)/(x2 – x1)
m = (0 – 5)/(3 – 0) = -5/3

Sabemos que la ecuación explícita de la recta es:

y = mx + b

Vamos a encontrar b sustituyendo todos los valores conocidos:

5 = (-5/3)(3) + b
5 = – 5 + b
b = 10

La ecuación explícita de la recta es:

y = -5/3 x + 10

¡Un saludo!

Rodriguez
Invité

1 Jul.

Hallar la ecuación explicita de una recta que tiene una inclinación de 45° y pasa por el punto P (5;3)

Karla Paulette Flores Silva
Editor

22 Jul.

Hola, sabemos que la pendiente m y el ángulo de inclinación α de la recta están relacionados

m = Tan(α)

como el ángulo es de 45ª, la pendiente es

m = Tan(45º) = 1

Usamos la fórmula de la ecuación de la recta punto-pendiente

y – 3 = 1(x-5)

y = x-5+3

y = x – 2

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Ejercicios sobre rectas

Hallar la ecuación de la recta

Hallar los puntos en la recta

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