Name: Problemas de rectas
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Marta

10 febrero 2020

Temas

Hallar la ecuación de la recta
Hallar los puntos en la recta

Hallar la ecuación de la recta

1 Obtener la ecuación continua de la recta que contiene al punto $P(0, 1, -1)$ y que es paralela a la recta parametrizada dada por

$\left\{\begin{matrix} x=3\lambda\\ y=\lambda\\ z=2\lambda+2 \end{matrix}\right.$

De la parametrización obtenemos que un vector director es $\overrightarrow{u}=(3,1,2)$

Al contener al punto $P(0, 1, −1)$

, la ecuación continua de la recta es

$\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}$

2 Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(2, 0, 0)$ y es paralela a los planos $\left\{\begin{matrix} x + y = 0\\ x + z = 0 \end{matrix}\right.$

Obtenemos los vectores normales a los planos

$\overrightarrow{n_1}=(1,1,0)$ y $\overrightarrow{n_2}=(1,0,1)$

El vector director de la recta debe ser perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 &1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\textbf{i}-\textbf{k}-\textbf{j}$

Y así, teniendo un vector director $\overrightarrow{u}=(1,-1,-1)$ y el punto P(2, 0, 0) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

$\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}$

3 Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto $P(8, 2, 3)$ y lleva la dirección del vector $\overrightarrow{v}=(0,1,0)$ .

Teniendo un punto por el que pasa y el vector director, se obtiene de manera directa la ecuación paramétrica de la recta

$x=8+0\cdot\lambda \hspace{1cm} y=2+1\cdot\lambda \hspace{1cm} z=3+0\cdot\lambda$

Simplificando llegamos a:

$\left\{\begin{matrix} x=8\\ y=2+\lambda\\ z=3 \end{matrix}\right.$

4 Hallar una ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(2, −1, 5)$ y paralela a los planos:

$\left\{\begin{matrix} x - 3y + z = 0 \\ 2x - y + 3z - 5 = 0 \end{matrix}\right.$

Obtenemos los vectores normales a los planos,

$\overrightarrow{n_1}=(1,-3,1)$ y $\overrightarrow{n_2}=(2,-1,3)$

El vector director de la recta es perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\1&-3&1\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}=-9\textbf{i}+2\textbf{j}-\textbf{k}+6\textbf{k}-3\textbf{j}+\textbf{i}=-8\textbf{i}-\textbf{j}+5\textbf{k}$

Y así, teniendo el vector director $\overrightarrow{u}=(-8,-1,5)$ y el punto P(2, -1, 5) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

$\displaystyle \frac{x-2}{-8}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-5}{5}$

5 Determinar la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto $A(1, -1, 0)$ y corta a las rectas:

$\displaystyle r\equiv\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ $\displaystyle s\equiv \frac{x}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}$

Para obtener la ecuación de la recta notaremos que ésta es la intersección de los dos planos que pasan por $A$ y contienen a las rectas $r$ y $s$ .

1 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a $A$ y $r$ .

Un vector generador de este plano será el vector director de la recta $r$ .

Resolviendo $\displaystyle 0=\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ obtenemos que $B(2,0,1)$ es un punto sobre $r$ . Entonces el otro vector generador está dado por

$\overrightarrow{AB}=(2-1,0+1,1-0)=(1,1,1)$

Un punto en el plano es: $A(1,-1,0)$

Los vectores generadores son:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}=(3,2,1)\\ \overrightarrow{AB}=(1,1,1) \end{matrix}\right.$

Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

$\begin{vmatrix} x-1 & 3 & 1\\ y+1 & 2 & 1\\ z & 1 & 1 \end{vmatrix}=0$ $\Longrightarrow \hspace{1cm} x-2y+z-3=0$

2 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a $A$ y $s$ .

Un vector generador de este plano será el vector director de la recta $s$ .

Resolviendo $\displaystyle 0=\frac{x}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}$ obtenemos que $C(0,2,0)$ es un punto sobre $s$ . Entonces el otro vector generador está dado por

$\overrightarrow{AC}=(0-1,2+1,0-0)=(-1,3,0)$

Un punto en el plano es: $C(0,2,0)$

Los vectores generadores son:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{v}=(-1,1,-2)\\ \overrightarrow{AC}=(-1,3,0) \end{matrix}\right.$

Por lo tanto la ecuación del plano está dada por el siguiente determinante

$\begin{vmatrix} x & -1 & -1\\ y-2 & 1 & 3\\ z & -2 & 0 \end{vmatrix}=0$ $\Longrightarrow \hspace{1cm} \begin{matrix} 6x+2y-2z-4=0\\ 3x+y-z-2=0 \end{matrix}$

3 Obtenemos la ecuación implícita de la recta

Usamos las ecuaciones de los planos anteriormente obtenidas,

$t\equiv \left\{\begin{matrix} x-2y+z-3=0\\ 3x+y-z-2=0 \end{matrix}\right.$

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Hallar los puntos en la recta

6 Dados los puntos $A(2, 6, -3)$ y $B(3, 3, -2)$ , hallar los puntos de la recta $AB$ que tienen al menos una coordenada nula.

1 Obtenemos la ecuación de la recta $AB$

Al conocer $2$

puntos en la recta, calculamos la diferencia para encontrar un vector director

$\overrightarrow{AB}=(3-2, 3-6, -2+3)=(1,-3,1)$

Con el vector director y tomando uno de los puntos que están sobre la recta (en este caso tomaremos $A$ ), su ecuación parametrizada es

$\left\{\begin{matrix} x=2+\lambda\\ y=6-3\lambda\\ z=-3+\lambda \end{matrix}\right.$

2 Igualar a 0 cada coordenada de la ecuación de la recta

Si la primera coordenada es cero,

$0=2+\lambda$

entonces $\lambda=-2$

Y el punto resultante es $(2+(-2),6-3(-2),-3+(-2))=(0,12,-5)$

Si la segunda coordenada es cero,

$0=6-3\lambda$

entonces $\lambda=2$

Y el punto resultante es $(2+2,6-3(2),-3+2)=(4,0,-1)$

Si la tercera coordenada es cero,

$0=-3+\lambda$

entonces $\lambda=3$

Y el punto resultante es $(2+3,6-3(3),-3+(3))=(5,-3,0)$

Finalmente, pudimos encontrar $3$ puntos donde al menos una de las coordenadas era nula: $(0,12,-5), (4,0,-1)$ y $(5,-3,0)$ .

7 Hallar las coordenadas del punto en común del plano $x+2y-z-2=0$ y la recta determinada por el punto $P(1,-3,2)$ y el vector $\overrightarrow{u}=(2,4,1)$

1 Obtenemos la ecuación de la recta descrita

$\left\{\begin{matrix} x=1+2\lambda\\ y=-3+4\lambda\\ z=2+\lambda \end{matrix}\right.$

2 Sustituimos en la ecuación del plano

Usando las coordenadas paramétricas de la recta sustituiremos en la ecuación del plano

$(1+2\lambda)+2(-3+4\lambda)-(2+\lambda)-2=0$

Desarrollamos

$1+2\lambda-6+8\lambda-2-\lambda-2=0$

Sumamos términos similares y despejamos

$\displaystyle 9\lambda-9=0 \hspace{.5cm} \Longrightarrow \hspace{.5cm} \lambda=\frac{9}{9}=1$

3 Calculamos las coordenadas usando el valor de $\lambda$

$\left\{\begin{matrix} x=1+2\cdot 1\\ y=-3+4\cdot 1\\ z=2+ 1 \end{matrix}\right.$

Las coordenadas del punto en común son $(3,1,3)$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Franco

Octubre

Pasa por el punto (3;5) y es paralela a la recta q pasa por los puntos (0;5)y (3;0)

Superprof

Mayo

Hola Franco, sabiendo que las rectas son paralelas podemos encontrar la pendiente. La pendiente es la misma para las dos rectas.

m = (y2 – y1)/(x2 – x1)
m = (0 – 5)/(3 – 0) = -5/3

Sabemos que la ecuación explícita de la recta es:

y = mx + b

Vamos a encontrar b sustituyendo todos los valores conocidos:

5 = (-5/3)(3) + b
5 = – 5 + b
b = 10

La ecuación explícita de la recta es:

y = -5/3 x + 10

¡Un saludo!

Cruz

Junio

Hola, me podrían ayudar con este problema
Mauricio y Andrea se están mirando, el uno al
otro, a través de un espejo situado sobre una
recta de ecuación y= x+ 2. Andrea se
encuentra en el punto (-9, -1) y Mauricio en (-4,3)
¿Qué ecuaciones tienen las rectas que
intersecan al punto P al que miran?

Luis Ernesto Sanchez Perez

Agosto

Buen día

El eje de reflexión es normal a la recta

y = x + 2

con pendiente m = 1 = tan(45º)

Por lo tanto, la pendiente del eje de reflexión es

mn = -1/m = -1 = tan(135º)

Llamamos al punto de reflexión

po = (xo , yo) = (xo , xo + 2)

Las recta pasantes por los puntos dados y por el punto de reflexión tienen ángulos iguales con la recta normal a la recta dada

a1 = 135º – a
a2 = 135º + a

con pendientes

m1 = tan(135º – a) = (tan(135º) – tan(a))/(1 + tan(135º) tan(a))
m1 = (-1 – tan(a))/(1 + (-1) tan(a))
m1 = (tan(a) + 1)/(tan(a) – 1)

m2 = tan(135º + a) = (tan(135º) + tan(a))/(1 – tan(135º) tan(a))
m2 = (-1 + tan(a))/(1 – (-1) tan(a))
m2 = (tan(a) – 1)/(tan(a) + 1)

Reconocemos que, para pendientes m1 , m2 cuya bisectriz es 135º
(*) m2 * m1 = 1

1) Punto1 (-4,3)

Pendiente, recta pasante por (xo,yo) y punto1

m1 = (yo – (3))/(xo – (-4))
m1 = (xo + 2 – 3) / (xo + 4)
m1 = (xo – 1)/(xo + 4)

Punto2 (-9,-1)

Pendiente, recta pasante por (xo,yo) y punto2

m2 = (yo – (-1))/(xo – (-9))
m2 = (xo + 2 + 1) / (xo + 9)
m2 = (xo + 3)/(xo + 9)

Usamos (*)

((xo – 1)/(xo + 4)) ((xo + 3)/(xo + 9)) = 1
(xo – 1)(xo + 3) = (xo + 4) (xo + 9)
xo^2 + 3 xo – 1 xo – 3 = xo^2 + 4 xo + 9 xo + 36
13 xo – (2) xo = -3 – 36
xo = -39/11

yo = xo + 2 = (-39/11) + (22/11)
yo = -17/11

Pendientes

Punto1 (-4,3)

m1 = (yo – (3))/(xo – (-4))
m1 = ((-17/11) – 3)/((-39/11) + 4)
m1 = ((-17/11) – (33/11))/((-39/11) + (44/11))
m1 = -50/-5
m1 = tan(a1) = -10

a1 = 180º – 84.29º = 95.71º = 135º – 39.29º

Recta proyectante al punto 1
y = 3 + (-10)(x + 4)

Punto2 (-9,-1)

m2 = (yo – (-1))/(xo – (-9))
m2 = ((-17/11) + 1)/((-39/11) + 9)
m2 = ((-17/11) + (11/11))/((-39/11) + (99/11))
m2 = -6/60
m2 = tan(a2) = -1/10

a2 = 180º – 5.71º = 174.29º = 135º + 39.29º

Recta proyectante al punto 2

y = -1 + (-1/10)(x + 9)

Saludos

sofia

Noviembre

Determina una perpendicular y una paralela a la recta dada en el punto dado. La recta es (-5,-8) y el punto dado es (6,9), el punto por donde pasa la recta es ((0,5) *

Rodriguez

Julio

Hallar la ecuación explicita de una recta que tiene una inclinación de 45° y pasa por el punto P (5;3)

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, sabemos que la pendiente m y el ángulo de inclinación α de la recta están relacionados

m = Tan(α)

como el ángulo es de 45ª, la pendiente es

m = Tan(45º) = 1

Usamos la fórmula de la ecuación de la recta punto-pendiente

y – 3 = 1(x-5)

y = x-5+3

y = x – 2

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

evelyna

Agosto

y=-1/3x-2

a) Paralela a la recta de la ecuación dada y que pase por el punto P = (0;−2).

Julio Cesar Alcaraz Siqueiros

Septiembre

¡Hola, que tal!
Recordemos dos maneras de representar una función lineal:

1.- Forma «pendiente-intersección» la cual es:

$y=mx+b$

donde los parámetros $m \text{ y } b$ representan la pendiente y la intersección con el eje vertical (o intercepto), respectivamente.

2.- Forma «punto-pendiente» la cual es:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

donde el parámetro $m\text{ }$ representa la pendiente y $\text{ }(x_{0},y_{0})\text{ }$ es un punto que pasa por la recta.

Ahora, el que dos rectas sean paralelas significa que no existe ningún punto de intersección entre ellas, y en términos de funciones lineales, dos rectas son paralelas siempre y cuando tengan la misma pendiente.

Para que la recta que buscamos sea paralela a la recta $\text{ }y=-\frac{1}{3}x-2\text{ }$ , necesitamos conocer la pendiente de la recta dada, y eso lo podemos ver directamente de la recta ya que se encuentra en la forma «pendiente-intersección», es decir, tenemos:

$y=-\frac{1}{3}x-2$

Y de aquí podemos ver que la pendiente de la recta es $\text{ }m=-\frac{1}{3}$ .

Ahora, para obtener la recta que nos pide el inciso a), tenemos que esta debe tener pendiente $\text{ }m=-\frac{1}{3}\text{ }$ y pasar por el punto $\text{ }(0,-2)$ , entonces usaremos la fórmula «punto-pendiente».

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

sustituyendo $\text{ }m=-\frac{1}{3}\text{ y }(x_{0},y_{0})=(0,-2)\text{ }$ tenemos:

$y-(-2)=-\frac{1}{3}(x-0)$

$y+2=-\frac{1}{3}x$

$y=-\frac{1}{3}x-2$

Entonces la solución es:

$\text{Forma canónica: }y=-\frac{1}{3}x-2$ .

Espero esta respuesta haya sido de tu ayuda, no olvides consultarnos en caso de que tengas alguna otra duda.
¡Saludos!

jonathan jaimes

Septiembre

Obtener la ecuación de la recta que, siendo paralela la recta dada
por x = 3λ, y = λ, z = 2λ + 2, contiene al punto P(0, 1, −1).

Felipe Noguera Rodríguez

Octubre

Hola Jonathan.

Simplemente tienes que recorrer la recta que ya tienes para que pase por el punto que quieres.

$x = 3\lambda, y = \lambda + 1, z = 2\lambda - 1$ .

Saludos.

Agustina

Diciembre

𝑟ଵ:൜
𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
𝑧 − 𝑦 + 1 = 0 𝑟ଶ:𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 (3, −1, −4) 𝑦 (3,4,6)
a) Determine el punto de intersección entre ambas me ayudarían

Rebollar Mirian

Enero

ME PODRIA DAR LA RESPUESTA DE ESTE R(3.2 )Y 5 (1.0)

MARCELA PATRICIA ALVARADO

Septiembre

Dado los tres puntos A,B y C hallar:
La ecuación de la recta (AB) ⃡.
La ecuación de la recta perpendicular a la recta (AB) ⃡ pasando por C.
La distancia d entre el punto C y un punto D que intersecta la recta (AB) ⃡ y la recta que es perpendicular a (AB) ⃡ y pasa por el punto C.
Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados.
A = (-3,1) B = (-1,2) C = (-2,5) me pueden ayudar con este ejercicio por favor

Mario

Octubre

Si existe, determine la ecuación paramétrica de la recta perpendicular a aquella que pasa por el punto A en dirección a v, donde:
A=(2,1,2) y v= (0,1,1)

Laura

Octubre

Cual es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,6) y es paralela a la recta x-5y+6=0

jesus

Octubre

hola me podrían ayudar con este problema por favor se los agradecería mucho

Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos dados.
S_1:2x-5y+z=0
S_2: y=0

Alexander

Noviembre

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,2,3) y es paralela a la recta :

r: (2x+3-z=-1
( x-y+3z= 4
(No puedo poner llaves)

Me podrían ayudar con ese problema

Dianela

Diciembre

Hola me podrian ayudar?

Halla la ecuación de la recta que pase por el punto 𝑃0 y sea paralela o perpendicular a la recta dada:

P0: (2; -1)
Recta: y= x-3 (paralela)

DINA TORRES

Marzo

A = (1,-1) B = (7,-4) C = (6,1)

Dado los tres puntos A,B y C hallar:
_ La ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta (AB) ⃡
_ La distancia d entre los puntos A y B.

Se los agradeceria mucho

Ifael

Marzo

Dado los tres puntos A, B y C hallar:
La ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta □(↔┬AB ).
La distancia d entre los puntos A y B.

A = (-6,2) B = (2,3) C = (-2,6)

Estefany Estévez

Abril

Hola me podrían ayudar, el problema es el siguiente : Halla un recta que pase por el punto (-2,-3) a la recta que pasa por los puntos (1,2);(-4,-3).

Estefany Estévez

Abril

Hola me podrían ayudar, el problema es el siguiente : Halla un recta perpendicular que pase por el punto (-2,-3) a la recta que pasa por los puntos (1,2);(-4,-3).

Manuel Oliveros Herna´ndez

Abril

K² x + (k+a) y+b=0
sea a) perpendicular a
cx-dyte=0
B) paralelas
Sea (1.2) y (4.4) encontrar los otros dos puntos para formar un cuadrado
Por favor ayúdemen

estefania

Abril

Hola, me ayudarian a resolver estos problemas
3) Obtengan la ecuación de la recta en cada caso: Luego,
representen las rectas en un sistema de ejes cartesiano.
a) Recta que pasa por el punto A= (-2;3) y su ordenada al origen
es -5
b) Recta que pasa por el punto B= (3;6) y tiene raíz en x=-1
c) Recta que pasa por el punto C=(-3;2) y por el origen de
coordenadas
d) Recta que pasa por el punto D=(-3;-5) y su raíz es x=3
4) Resuelvan
a) Hallen la recta S que pasa por (-3;-1) y (1;5)
b) Hallen la recta P, perpendicular a S, que pase por (1;2)
c) Obtengan la recta Q, paralela a S, y que su ordenada al
origen sea -6
d) Grafiquen las rectas.

5) Encuentren la ecuación de cada recta teniendo en cuenta los
datos y grafíquenlas.
a) La recta R, que pasa por los puntos (-5;-3) y (1;4)
b) La recta R que es perpendicular a la recta y=3/2x-1 y pasa por
el punto (9;-2)
c) La recta R, es paralela a la recta que pasa por los puntos (-
3;1) y (1;6), y pasa por el origen de coordenadas.

Jimena

Abril

hola me podrían ayudar por favor
Halle la ecuación de la recta que contenga el punto (2, 1) y que sea paralela a la recta que pasa por los puntos (2, – 6) y (4,1)

Ejercicios sobre rectas

Hallar la ecuación de la recta

Hallar los puntos en la recta

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Resumen

Resumen de Ecuaciones de la recta

Resumen de Ecuación de la recta II

Teoría

Ecuacion canonica

Ecuación continua de la recta

Ecuación explícita de la recta

Ecuaciones parametricas de la recta

Ecuaciones punto-pendiente de una recta

Ecuacion de la recta en forma explicita

Angulo que forman dos rectas

Incidencia de un punto y una recta

Calculo de la distancia de un punto a una recta

Ecuación de la mediatriz

Ecuaciones de la recta en el espacio

¿Cuales son las ecuaciones del plano?

Puntos en el espacio

Posicion relativa de dos planos

Haz de planos

Ecuacion general de la recta

Rectas perpendiculares y paralelas

Rectas paralelas

Posicion relativa de dos rectas II

La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

¿Cuales son las posiciones relativas de dos rectas?

Ecuacion vectorial de la recta

Rectas paralelas a los ejes

Ecuaciones de las bisectrices

Posiciones relativas de una recta y un plano

Ejercicios de rectas paralelas a los ejes de coordenadas

Posicion relativa de tres planos

Fórmulas

Paralelismo de rectas

Incidencia de puntos y rectas

Punto medio

Lugares geométricos

Circuncentro

Ecuación de los ejes coordenados

Bisectrices de un triángulo

Haz de rectas

Coordenadas del baricentro de un triangulo

Puntos alineados

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Distancia y ángulo entre rectas

Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

Ortocentro

Ecuaciones de las medianas y del baricentro de un triangulo

Rectas perpendiculares

Area de un triangulo

Ecuacion de la recta

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¿Qué es el vector normal?

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Problemas interactivos: ecuacion de la recta

Problemas interactivos de la ecuación de la recta I

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