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Hallar la ecuación de la recta

 

1 Obtener la ecuación continua de la recta que contiene al punto P(0, 1, −1) y que es paralela a la recta parametrizada dada por

\left\{\begin{matrix} x=3\lambda\\ y=\lambda\\ z=2\lambda+2 \end{matrix}\right.

 
De la parametrización obtenemos que un vector director es \overrightarrow{u}=(3,1,2).
Al contener al punto P(0, 1, −1), la ecuación continua de la recta es
\frac{x}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}

 

2  Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(2, 0, 0) y es paralela a los planos \left\{\begin{matrix} x + y = 0\\ x + z = 0 \end{matrix}\right.

 

Obtenemos los vectores normales a los planos

\overrightarrow{n_1}=(1,1,0)      y      \overrightarrow{n_2}=(1,0,1)

El vector director de la recta debe ser perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 &1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\textbf{i}-\textbf{k}-\textbf{j}

Y así, teniendo un vector director  \overrightarrow{u}=(1,-1,-1)  y el punto P(2, 0, 0) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}

 

3  Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P(8, 2, 3) y lleva la dirección del vector \overrightarrow{v}=(0,1,0).

 
Teniendo un punto por el que pasa y el vector director, se obtiene de manera directa la ecuación paramétrica de la recta

x=8+0\cdot\lambda \hspace{1cm} y=2+1\cdot\lambda \hspace{1cm} z=3+0\cdot\lambda

Simplificando llegamos a:

\left\{\begin{matrix} x=8\\ y=2+\lambda\\ z=3 \end{matrix}\right.

 

4  Hallar una ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(2, −1, 5) y paralela a los planos:

\left\{\begin{matrix} x - 3y + z = 0 \\ 2x - y + 3z - 5 = 0 \end{matrix}\right.

 

Obtenemos los vectores normales a los planos,

\overrightarrow{n_1}=(1,-3,1)      y      \overrightarrow{n_2}=(2,-1,3)

El vector director de la recta es perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\1&-3&1\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}=-9\textbf{i}+2\textbf{j}-\textbf{k}+6\textbf{k}-3\textbf{j}+\textbf{i}=-8\textbf{i}-\textbf{j}+5\textbf{k}

Y así, teniendo el vector director  \overrightarrow{u}=(-8,-1,5)  y el punto P(2, -1, 5) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

\frac{x-2}{-8}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-5}{5}

 

5  Determinar la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto A(1, −1, 0) y corta a las rectas:

r\equiv\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}                s\equiv \frac{x}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}

 

Para obtener la ecuación de la recta notaremos que ésta es la intersección de los dos planos que pasan por A y contienen a las rectas r y s.

 

1 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a A y r.

 

Un vector generador de este plano será el vector director de la recta r.
Resolviendo  0=\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}   obtenemos que B(2,0,1) es un punto sobre r. Entonces el otro vector generador está dado por

\overrightarrow{AB}=(2-1,0+1,1-0)=(1,1,1)

 

Un punto en el plano es: A(1,-1,0)
Los vectores generadores son: \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}=(3,2,1)\\ \overrightarrow{AB}=(1,1,1) \end{matrix}\right.

 

Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x-1 & 3 & 1\\ y+1 & 2 & 1\\ z & 1 & 1 \end{vmatrix}=0            \Longrightarrow \hspace{1cm} x-2y+z-3=0

 
2 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a A y s.
 
Un vector generador de este plano será el vector director de la recta s.
Resolviendo  0=\frac{x}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}   obtenemos que C(0,2,0) es un punto sobre s. Entonces el otro vector generador está dado por

\overrightarrow{AC}=(0-1,2+1,0-0)=(-1,3,0)

 

Un punto en el plano es: C(0,2,0)
Los vectores generadores son: \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{v}=(-1,1,-2)\\ \overrightarrow{AC}=(-1,3,0) \end{matrix}\right.
 

Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

\begin{vmatrix} x & -1 & -1\\ y-2 & 1 & 3\\ z & -2 & 0 \end{vmatrix}=0           \Longrightarrow \hspace{1cm} \begin{matrix} 6x+2y-2z-4=0\\ 3x+y-z-2=0 \end{matrix}

 

3 Obtenemos la ecuación implícita de la recta
 
Usamos las ecuaciones de los planos anteriormente obtenidas,

t\equiv \left\{\begin{matrix} x-2y+z-3=0\\ 3x+y-z-2=0 \end{matrix}\right.

 


Hallar los puntos en la recta

 

6  Dados los puntos A(2, 6, −3) y B(3, 3, −2), hallar los puntos de la recta AB que tienen al menos una coordenada nula.

 

1 Obtenemos la ecuación de la recta AB
 
Al conocer 2 puntos en la recta, calculamos la diferencia para encontrar un vector director

\overrightarrow{AB}=(3-2, 3-6, -2+3)=(1,-3,1)

Con el vector director y tomando uno de los puntos que están sobre la recta (en este caso tomaremos A), su ecuación parametrizada es

\left\{\begin{matrix} x=2+\lambda\\ y=6-3\lambda\\ z=-3+\lambda \end{matrix}\right.

 
2 Igualar a 0 cada coordenada de la ecuación de la recta
 

  • Si la primera coordenada es cero,

0=2+\lambda      entonces      \lambda=-2
Y el punto resultante es (2+(-2),6-3(-2),-3+(-2))=(0,12,-5)

 

  • Si la segunda coordenada es cero,

0=6-3\lambda     entonces    \lambda=2
Y el punto resultante es (2+2,6-3(2),-3+2)=(4,0,-1)
 

  • Si la tercera coordenada es cero,

0=-3+\lambda    entonces    \lambda=3
Y el punto resultante es (2+3,6-3(3),-3+(3))=(5,-3,0)
 
Finalmente, pudimos encontrar 3 puntos donde al menos una de las coordenadas era nula: (0,12,-5), (4,0,-1) y (5,-3,0).
 

7  Hallar las coordenadas del punto en común del plano x+2y-z-2=0 y la recta determinada por el punto P(1,-3,2) y el vector \overrightarrow{u}=(2,4,1)

 

1 Obtenemos la ecuación de la recta descrita
 

\left\{\begin{matrix} x=1+2\lambda\\ y=-3+4\lambda\\ z=2+\lambda \end{matrix}\right.

 
2 Sustituimos en la ecuación del plano
 
Usando las coordenadas paramétricas de la recta sustituiremos en la ecuación del plano

(1+2\lambda)+2(-3+4\lambda)-(2+\lambda)-2=0

Desarrollamos

1+2\lambda-6+8\lambda-2-\lambda-2=0

Sumamos términos similares y despejamos

9\lambda-9=0 \hspace{.5cm} \Longrightarrow \hspace{.5cm} \lambda=\frac{9}{9}=1

 

3 Calculamos las coordenadas usando el valor de \lambda
 

\left\{\begin{matrix} x=1+2\cdot 1\\ y=-3+4\cdot 1\\ z=2+ 1 \end{matrix}\right.

Las coordenadas del punto en común son (3,1,3)
 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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