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Hallar la ecuación de la recta
Hallar los puntos en la recta

Hallar la ecuación de la recta

1 Obtener la ecuación continua de la recta que contiene al punto $P(0, 1, -1)$ y que es paralela a la recta parametrizada dada por

$\left\{\begin{matrix} x=3\lambda\\ y=\lambda\\ z=2\lambda+2 \end{matrix}\right.$

De la parametrización obtenemos que un vector director es $\overrightarrow{u}=(3,1,2)$

Al contener al punto $P(0, 1, −1)$

, la ecuación continua de la recta es

$\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}$

2 Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(2, 0, 0)$ y es paralela a los planos $\left\{\begin{matrix} x + y = 0\\ x + z = 0 \end{matrix}\right.$

Obtenemos los vectores normales a los planos

$\overrightarrow{n_1}=(1,1,0)$ y $\overrightarrow{n_2}=(1,0,1)$

El vector director de la recta debe ser perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 &1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\textbf{i}-\textbf{k}-\textbf{j}$

Y así, teniendo un vector director $\overrightarrow{u}=(1,-1,-1)$ y el punto P(2, 0, 0) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

$\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}$

3 Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto $P(8, 2, 3)$ y lleva la dirección del vector $\overrightarrow{v}=(0,1,0)$ .

Teniendo un punto por el que pasa y el vector director, se obtiene de manera directa la ecuación paramétrica de la recta

$x=8+0\cdot\lambda \hspace{1cm} y=2+1\cdot\lambda \hspace{1cm} z=3+0\cdot\lambda$

Simplificando llegamos a:

$\left\{\begin{matrix} x=8\\ y=2+\lambda\\ z=3 \end{matrix}\right.$

4 Hallar una ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(2, −1, 5)$ y paralela a los planos:

$\left\{\begin{matrix} x - 3y + z = 0 \\ 2x - y + 3z - 5 = 0 \end{matrix}\right.$

Obtenemos los vectores normales a los planos,

$\overrightarrow{n_1}=(1,-3,1)$ y $\overrightarrow{n_2}=(2,-1,3)$

El vector director de la recta es perpendicular a estos, por lo que calculamos su producto cruz

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\1&-3&1\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}=-9\textbf{i}+2\textbf{j}-\textbf{k}+6\textbf{k}-3\textbf{j}+\textbf{i}=-8\textbf{i}-\textbf{j}+5\textbf{k}$

Y así, teniendo el vector director $\overrightarrow{u}=(-8,-1,5)$ y el punto P(2, -1, 5) por el que pasa la recta, su ecuación continua es

$\displaystyle \frac{x-2}{-8}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-5}{5}$

5 Determinar la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto $A(1, -1, 0)$ y corta a las rectas:

$\displaystyle r\equiv\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ $\displaystyle s\equiv \frac{x}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}$

Para obtener la ecuación de la recta notaremos que ésta es la intersección de los dos planos que pasan por $A$ y contienen a las rectas $r$ y $s$ .

1 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a $A$ y $r$ .

Un vector generador de este plano será el vector director de la recta $r$ .

Resolviendo $\displaystyle 0=\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ obtenemos que $B(2,0,1)$ es un punto sobre $r$ . Entonces el otro vector generador está dado por

$\overrightarrow{AB}=(2-1,0+1,1-0)=(1,1,1)$

Un punto en el plano es: $A(1,-1,0)$

Los vectores generadores son:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}=(3,2,1)\\ \overrightarrow{AB}=(1,1,1) \end{matrix}\right.$

Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante

$\begin{vmatrix} x-1 & 3 & 1\\ y+1 & 2 & 1\\ z & 1 & 1 \end{vmatrix}=0$ $\Longrightarrow \hspace{1cm} x-2y+z-3=0$

2 Obtenemos la ecuación del plano que contiene a $A$ y $s$ .

Un vector generador de este plano será el vector director de la recta $s$ .

Resolviendo $\displaystyle 0=\frac{x}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}$ obtenemos que $C(0,2,0)$ es un punto sobre $s$ . Entonces el otro vector generador está dado por

$\overrightarrow{AC}=(0-1,2+1,0-0)=(-1,3,0)$

Un punto en el plano es: $C(0,2,0)$

Los vectores generadores son:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{v}=(-1,1,-2)\\ \overrightarrow{AC}=(-1,3,0) \end{matrix}\right.$

Por lo tanto la ecuación del plano está dada por el siguiente determinante

$\begin{vmatrix} x & -1 & -1\\ y-2 & 1 & 3\\ z & -2 & 0 \end{vmatrix}=0$ $\Longrightarrow \hspace{1cm} \begin{matrix} 6x+2y-2z-4=0\\ 3x+y-z-2=0 \end{matrix}$

3 Obtenemos la ecuación implícita de la recta

Usamos las ecuaciones de los planos anteriormente obtenidas,

$t\equiv \left\{\begin{matrix} x-2y+z-3=0\\ 3x+y-z-2=0 \end{matrix}\right.$

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Hallar los puntos en la recta

6 Dados los puntos $A(2, 6, -3)$ y $B(3, 3, -2)$ , hallar los puntos de la recta $AB$ que tienen al menos una coordenada nula.

1 Obtenemos la ecuación de la recta $AB$

Al conocer $2$

puntos en la recta, calculamos la diferencia para encontrar un vector director

$\overrightarrow{AB}=(3-2, 3-6, -2+3)=(1,-3,1)$

Con el vector director y tomando uno de los puntos que están sobre la recta (en este caso tomaremos $A$ ), su ecuación parametrizada es

$\left\{\begin{matrix} x=2+\lambda\\ y=6-3\lambda\\ z=-3+\lambda \end{matrix}\right.$

2 Igualar a 0 cada coordenada de la ecuación de la recta

Si la primera coordenada es cero,

$0=2+\lambda$

entonces $\lambda=-2$

Y el punto resultante es $(2+(-2),6-3(-2),-3+(-2))=(0,12,-5)$

Si la segunda coordenada es cero,

$0=6-3\lambda$

entonces $\lambda=2$

Y el punto resultante es $(2+2,6-3(2),-3+2)=(4,0,-1)$

Si la tercera coordenada es cero,

$0=-3+\lambda$

entonces $\lambda=3$

Y el punto resultante es $(2+3,6-3(3),-3+(3))=(5,-3,0)$

Finalmente, pudimos encontrar $3$ puntos donde al menos una de las coordenadas era nula: $(0,12,-5), (4,0,-1)$ y $(5,-3,0)$ .

7 Hallar las coordenadas del punto en común del plano $x+2y-z-2=0$ y la recta determinada por el punto $P(1,-3,2)$ y el vector $\overrightarrow{u}=(2,4,1)$

1 Obtenemos la ecuación de la recta descrita

$\left\{\begin{matrix} x=1+2\lambda\\ y=-3+4\lambda\\ z=2+\lambda \end{matrix}\right.$

2 Sustituimos en la ecuación del plano

Usando las coordenadas paramétricas de la recta sustituiremos en la ecuación del plano

$(1+2\lambda)+2(-3+4\lambda)-(2+\lambda)-2=0$

Desarrollamos

$1+2\lambda-6+8\lambda-2-\lambda-2=0$

Sumamos términos similares y despejamos

$\displaystyle 9\lambda-9=0 \hspace{.5cm} \Longrightarrow \hspace{.5cm} \lambda=\frac{9}{9}=1$

3 Calculamos las coordenadas usando el valor de $\lambda$

$\left\{\begin{matrix} x=1+2\cdot 1\\ y=-3+4\cdot 1\\ z=2+ 1 \end{matrix}\right.$

Las coordenadas del punto en común son $(3,1,3)$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Monserrat

Marzo 2022

Hola me podrían ayudar con este problema.
1. Un submarino se ubica en el mar con coordenadas S(2, – 5) y en esos momentos detecta un barco

sobre la superficie con coordenadas B (13, 0) respecto a un sistema de ejes cartesianos y se desea saber la pendiente (m) que hay del submarino al barco.

xiomara

Diciembre 2021

me ayudan con este problema
DIBUJE RECTAS NUMÉRICAS, Y REPRESENTE EN CADA UNA DE ELLAS, QUÉ
FRACCIÓN DE LA UNIDAD SIGNIFICAN: (Vale 2 Puntos)
a)La mitad de la tercera parte:

b)La tercera parte de la mitad:

Carlos

Diciembre 2021

hola me podrian ayudar en este: Determinar si la recta R1: 2x + 5y-2 = 0 y la recta R2: -10y + 4x + 2 = 0, son paralelas, perpendiculares u oblicuas.

lety

Octubre 2021

me podrían ayudar
Determine una ecuación que sea perpendicular a y=-3x+5

Aylin

Octubre 2021

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente

P(3, 1) * m = 1/2 Q(- 2, 4) * m = – 2

monse

Septiembre 2021

Determine si las líneas L₁ y L₂ son paralelas o se cortan. Si se cortan, determine el punto de intersección.
L₁: x = – 6t, y = 1 + 9t, z = – 3t
L₂: x = 1 + 2s, y = 4 – 3s, z = s
me podrian ayudar.

Valery

Julio 2021

Hallar la ecuación de la recta paralela y la perpendicular a la recta generada por la ecuación 6x+2y−8=0,que pasan por(2,−1).

Bwmi

Noviembre 2021

Dada la recta Y=-3+5 hallar una recta paralela y una penpendicular
Graficar las 3 rectas.

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