¿Qué es la ecuación canónica o segmentaria?

 

La ecuación canónica o segmentaria de la recta, es la expresión algebraica de la recta que se determina conociendo a los valores dónde la recta corta a cada uno de los ejes coordenados.

 

El valor donde la recta corta al eje X le llamaremos a, y el valor donde la recta corta al eje Y le llamaremos b, generando los dos puntos en el plano cartesiano (a, 0)  y  (0, b) respectivamente.
 
 

funcion de la ecuacion canonica
 

 

En muchas ocasiones, tenemos la ecuación general de la recta, y partiendo de ahí necesitamos la ecuación canónica, por esta razón veamos el proceso algebraico a seguir, para que también de esta manera conozcamos la estructura de la ecuación canónica de la recta.

 

Comencemos con le ecuación general de la recta.

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Ecuación general de la recta

 

Ax+By+C=0

 

Ecuación canónica a partir de la ecuación general de la recta

Sabiendo que la ecuación general de la recta es:

 

Ax+By+C=0

 

Suponemos que x=0 con la finalidad de saber el lugar donde la recta corta al eje Y, entonces la ecuación general queda:

 

By+C=0

 

despejamos a y,
 

 \displaystyle y=-\frac{C}{B}

 

 

El valor encontrado corresponde a  b, de la ecuación canónica

 

\displaystyle b=-\frac{C}{B}

 

y usando el mismo razonamiento podemos conocer al valor a, de la ecuación canónica

 

\displaystyle a=-\frac{C}{A}

 

Resumen del proceso para encontrar la ecuación canónica

 

Si la ecuación general de la recta es:

 

Ax+By+C=0

 

Entonces,
 

 \displaystyle a=-\frac{C}{A}

 

\displaystyle b=-\frac{C}{B}

y así la forma que tiene la ecuación canónica es

 

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

 

Ya que, si partimos de la forma general

 

Ax+By+C=0

y movemos del otro lado de la igualdad al independiente

 

Ax+By=-C

 

y luego dividimos entre -C  (el cual debe de ser distinto de cero) tenemos

 

\displaystyle \frac{Ax}{-C}+\frac{By}{-C}=\frac{-C}{-C}

 

llegamos a que

 

\displaystyle \frac{x}{-\frac{C}{A}}+\frac{y}{-\frac{C}{B}}=1

 

y entonces, así es como queda la ecuación canónica de la recta

 

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

 

Donde

  • a es la abscisa en el origen de la recta.
  • b es la ordenada en el origen de la recta.
  • El independiente de la general NO debe ser cero, significa que la forma canónica de la recta NO describe a las rectas que pasan por el origen, ya que ahí a=b=0
  • Si A o B de la ecuación general son cero, significa que la recta es horizontal o vertical respectivamente, lo que lleva a que a o b de la ecuación canónica no existen, entonces tampoco hay forma de la ecuación canónica para este caso.

 

 

 

Fórmula de la ecuación canónica

 

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

 

Ejemplos de problemas con la ecuación canónica

 

1 Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente.Hallar su ecuación.
 

En este caso es simple, ya que de la información vemos que a=5 y b=3, por lo que solamente es necesario sustituir los valores en la ecuación

 

\displaystyle \frac{x}{5}+\frac{y}{3}=1

 

 

2 Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(-2, 1) y tiene por vector director \vec{v}=(3, -4).

 

Observamos que por la información que nos presentan, es conveniente ocupar la ecuación de la recta en su forma continua, para esto recordemos un poco de su estructura.

 

Si tenemos

 

  • Un punto por donde pasa la recta P(x_0,y_0)
  • Un vector director \vec{V}=(a, b).

entonces la ecuación de la recta en su forma continua es

 

\displaystyle \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}.

 

 

Con esto, podemos hallar la ecuación en forma continua:

 

\displaystyle \frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{-4}.

 

y con esta ecuación ya podemos transformarla en la forma de la ecuación canónica.

 

Primero pasamos a la general, y de ahí obtenemos los valores de ab :

 

Movemos los denominadores multiplicando al otro lado de la igualdad

 

-4x-8=3y-3

 

movemos a las expresiones de un solo lado de la igualdad, escribiendo la forma de la ecuación general

 

4x+3y+5=0

 

observamos que el independiente C  y los valores A y B  de la general son distintos de cero.

 

Entonces ya podemos calcular a la forma canónica de la recta donde \displaystyle a=-\frac{5}{4}  y \displaystyle b=-\frac{5}{3} , llegando a que

 

\displaystyle \frac{x}{-\frac{5}{4}}+\frac{y}{-\frac{5}{3}}=1

 

Por otro lado, comentemos  que la ecuación de la recta en su forma canónica nos brinda la información necesaria para poder realizar otros cálculos, por ejemplo de la recta   x-y+4=0 que forma un triángulo con los ejes, podemos calcular dicha área.

Veamos, la recta forma un triángulo rectángulo con el origen y sus catetos son la abscisa y la ordenada en el origen, en otras palabras, los valores de a y b de la forma canónica

 

 \displaystyle a=-\frac{4}{1}=-4

 

    \displaystyle b=-\frac{4}{-1}=4

 

Entonces la ecuación canónica es:

 

\displaystyle \frac{x}{-4}+\frac{y}{4}=1

 

y entonces el área es:

 

\displaystyle A=\left |\frac{-4\cdot 4}{2} \right |=8u^{2}

ocuparemos este resultado para nuestro siguiente ejercicio.

 

3 Una recta pasa por el punto  A(1,5) y determina con los ejes de coordenadas un triángulo de \displaystyle 18u^{2} de superficie. ¿Cuál es la ecuación de la recta?

Aplicamos x=1, y=5 a la ecuación canónica:

 

\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{5}{b}=1

 

por otro lado el área del triángulo que genera la recta con los ejes es:

 

\displaystyle \frac{ab}{2}=18

 

generándose así un sistema de ecuaciones (dos ecuaciones dos incógnitas)

 

Resolvemos el sistema:

 

Si en la primer ecuación multiplicamos por ab y en la segunda por 2, se forma el siguiente sistema

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} b+5a & = & ab \\ ab & = & 36 \end{matrix}\right.

 

Para resolverlo, multiplicamos a ambas ecuaciones por a

 

\displaystyle\left\{\begin{matrix} ab+5a^2 & = & a^2b \\ a^2b & = & 36a \end{matrix}\right.

 

luego sustituimos\displaystyle ab=36, \displaystyle a^{2}b=36a en la ecuación \displaystyle ab+5a^{2}=a^{2}b y llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado  \displaystyle 36+5a^{2}=36a , que acomodándola queda  \displaystyle 5a^{2}-36a+36=0.

 

Resolviendo a la ecuación de segundo grado, llegamos a que se tienen dos soluciones reales  (hay dos rectas que cumplen la condición)

 

\displaystyle a=\frac{6}{5}       y      \displaystyle a=6

 

entonces para saber el valor de b, ocupamos el despeje de una igualdad, es decir  \displaystyle b=\frac{36}{a}

 

\displaystyle b=\frac{36}{a}=\frac{36}{\frac{6}{5}}=30     y    \displaystyle b=\frac{36}{a}=\frac{36}{6}=6

 

Significa que las dos ecuaciones de las rectas que cumplen la condición son

 

\displaystyle\frac{x}{\frac{6}{5}}+\frac{y}{30}=1      y      \displaystyle\frac{x}{6}+\frac{y}{6}=1

 

4 Sabemos que una recta pasa por el punto A(3, 2) y que determina sobre los ejes coordenados, segmentos de doble longitud en el eje de abscisas, que en el de ordenadas. Hallar la ecuación de esta recta.

La gráfica representa la situación del problema

 

funcion de la ecuacion canonica

 

entonces podemos sustituir los valores en la ecuación de forma canónica

 

\displaystyle\frac{3}{2b}+\frac{2}{b}=1

 

multiplicando todo por 2b nos lleva a que

 

 3+4=2b

 

significa que

 

\displaystyle b=\frac{7}{2}

 

entonces

 

\displaystyle a=2b=2\cdot \frac{7}{2}=7

 

quedando así la ecuación buscada

 

\displaystyle \frac{x}{7}+\frac{y}{\frac{7}{2}}=1

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Duarte
Duarte
Invité
11 Jun.

¿Cómo hallar una ecuación canonica?

Superprof
Superprof
Administrateur
25 Jun.

Hola Duarte, lo explicamos paso por paso en el artículo sobre cual nos has dejado tu comentario. ¿Hay alguna explicación que podemos reformular para despejarte dudas? ¿Cuál? 🙂