Ecuación vectorial de la recta

 

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del espacio, alineados con un punto P y con una dirección dada por \vec{u}.

Si P=(x_0,y_0,z_0) es un punto de la recta r y \vec{u} su vector director, el vector \vec{PX} que va desde el punto P a otro punto X en la recta, tiene igual dirección que \vec{u}, luego es igual a \vec{u} multiplicado por un escalar:

 

\vec{PX}=\lambda \cdot \vec{u}

 

(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=\lambda \cdot (u_1,u_2,u_3)

 

\Rightarrow (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda \cdot (u_1,u_2,u_3)

 

 

recta con dirección de un vector

 

 

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Ecuación paramétrica de la recta

 

Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

 

(x,y,z)= (x_0+\lambda \cdot u_1, \ y_0+\lambda \cdot u_2, \ z_0+\lambda \cdot u_3)

 

Esta igualdad se verifica con la ecuación paramétrica de la recta:

 

\left\{\begin{matrix} x=x_0+\lambda \cdot u_1\\ y=y_0+\lambda \cdot u_2\\ z=z_0+\lambda \cdot u_3 \end{matrix}\right.

 

Ecuación continua de la recta

 

 

Despejando e igualando λ en la ecuación paramétrica, se obtiene la ecuación continua de la recta:

 

\displaystyle \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}

 

 

Ecuación implícita de la recta

 

 

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

 

\left\{\begin{matrix} Ax+By+Cz+D=0\\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{matrix}\right.

 

De la ecuación continua de la recta

 

\displaystyle \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}

 

Consideramos una igualdad, por ejemplo

 

\displaystyle \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}

 

Quitamos los denominadores

 

u_2(x-x_0)=(y-y_0)u_1

u_2x-u_2x_0=u_1y-u_1y_0

u_2x-u_1y+u_1y_0-u_2x_0=0

 

Haciendo

 

A=u_2\hspace{1.5cm}B=-u_1\hspace{1.5cm}C=0\hspace{1.5cm}D=u_1y_0-u_2x_0

 

Nos resulta la ecuación del plano

 

Ax+By+Cz+D=0

 

Si procedemos de manera similar con otra igualdad, por ejemplo

 

\displaystyle \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{z-z_0}{u_3}

 

Obtemos la ecuación del otro plano A'x+B'y+C'z+D'=0.

 

Ejercicios de la ecuación de la recta

 

 

1 Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es \vec{u}=(4,5,-1).

 

1 Ecuaciones paramétricas

\left\{\begin{matrix} x=1+4\lambda\\ y=2+5\lambda\\ z=1-\lambda \end{matrix}\right.

 

2 Ecuaciones en forma continua

 

De la ecuación paramétrica despejamos \lambda

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=1+4\lambda & \ \ & \lambda=\frac{x-1}{4}\\ y=2+5\lambda& \ \ & \lambda=\frac{y-2}{5}\\ z=1-\lambda & \ \ & \lambda=\frac{z-1}{-1} \end{matrix}\right.

 

La ecuación continua se obtiene de igualar los términos anteriores

 

\displaystyle \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-1}{-1}

 

3 Ecuaciones implícitas

 

\displaystyle \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{5}\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{1cm} 5x-5=4y-8 \hspace{1cm} 5x-4y+3=0

 

\displaystyle \frac{x-1}{4}=\frac{z-1}{-1}\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{1cm} -x+1=4z-4 \hspace{1cm} -x-4z+5=0

 

Finalmente la ecuación implícita de la recta es

 

\left\{\begin{matrix} 5x-4y+3=0\\ -x-4z+5=0 \end{matrix}\right.

 

2 Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

 

1 Obtenemos un vector director

\vec{AB}=(0-1,1-0,1-1)=(-1,1,0)

 

2 Ecuaciones paramétricas

 

\left\{\begin{matrix} x=1-\lambda\\ y=\lambda \ \ \ \ \ \\ z=1 \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

3 Ecuaciones continuas

 

\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0}

 

4 Ecuaciones implícitas

 

\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}\hspace{1.3cm}\longrightarrow\hspace{1.4cm} x-1=-y \hspace{1.8cm} x+y-1=0

 

\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{z-1}{0}\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{.5cm} 0\cdot (x-1)=-1\cdot (z-1) \hspace{1cm}-z+1=0

 

Finalmente la ecuación implícita de la recta es

 

\left\{\begin{matrix} x+y-1=0\\ -z+1=0 \end{matrix}\right.

 

3 Sea r la recta de ecuación:

 

\displaystyle r\equiv \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}

 

¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

 

 

1 Punto A
Sustituimos las coordenadas del punto A en cada parte de la ecuación

 

\displaystyle \frac{x-1}{1}= \frac{0-1}{1}= -1

 

 \displaystyle \frac{y}{2}=\frac{-2}{2}= -1

 

\displaystyle \frac{z-1}{3}= \frac{-2-1}{3}= -1

 

Entonces el punto satisface la ecuación de la recta

 

\displaystyle  \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}

 

Por lo tanto

 

 \hspace{1cm} A\in r

 

2 Punto B

 

Sustituimos las coordenadas del punto B en cada parte de la ecuación

 

\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{3-1}{1}= 2

 

 \displaystyle \frac{y}{2}=\frac{2}{2}= 1

 

\displaystyle  \frac{z-1}{3}=\frac{6-1}{3}= \frac{5}{3}

 

Entonces el punto no satisface la ecuación de la recta

 

 \displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}

 

Por lo tanto

 

 \hspace{1cm} B \not\in r

 

4 Dada la recta r:

 

r\equiv\left\{\begin{matrix}2x+y+z=0\\ x-y-2z=0 \end{matrix}\right.

 

Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

 

 

1 Dejar una de las varibles del otro lado de la ecuación

\left\{\begin{matrix} 2x+y=-z\\ x-y=2z \end{matrix}\right.

 

2 Usar el método de Cramer para resolver x y y en términos de z

 

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix} -z & 1\\ 2z & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{z}{3}

 

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix} 2 & -z\\ 1 & 2z \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{5z}{-3}

 

3 Obtenemos 2 puntos en la recta asignando 2 valores para z

 

 z=0 \hspace{1cm} x=0 \hspace{1cm} y=0 \hspace{1cm} A(0,0,0)

 

 z=3 \hspace{1cm} x=1 \hspace{1cm} y=-5 \hspace{1cm} B(1,-5,3)

 

4 Obtenemos un vector director

 

\vec{AB}=(1,-5,3)

 

Finalmente la ecuación paramétrica es

 

\left\{\begin{matrix} x=\lambda\\ y=-5\lambda\\ z=3\lambda \end{matrix}\right.

 

Y la ecuación continua

 

\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{-5}=\frac{z}{3}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Palomares Hutuco, Katheryn
Palomares Hutuco, Katheryn
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30 Abr.

Muchas gracias por su aporte

Superprof
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Admin
6 May.

Es un placer poder ayudar. 🙂