Name: Ecuaciones de la recta en el espacio
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Marta

2 junio 2019

Temas

Ecuación vectorial de la recta
Ecuación paramétrica de la recta
Ecuación continua de la recta
Ecuación implícita de la recta
Ejercicios de la ecuación de la recta

Ecuación vectorial de la recta

Definimos una recta $r$ como el conjunto de los puntos del espacio, alineados con un punto $P$ y con una dirección dada por $\vec{u}$ .

Si $P=(x_0,y_0,z_0)$ es un punto de la recta $r$ y $\vec{u}$ su vector director, el vector $\vec{PX}$ que va desde el punto $P$ a otro punto $X$ en la recta, tiene igual dirección que $\vec{u}$ , luego es igual a $\vec{u}$ multiplicado por un escalar:

$\vec{PX}=\lambda \cdot \vec{u}$

$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=\lambda \cdot (u_1,u_2,u_3)$

$\Rightarrow (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda \cdot (u_1,u_2,u_3)$

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Ecuación paramétrica de la recta

Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

$(x,y,z)= (x_0+\lambda \cdot u_1, \ y_0+\lambda \cdot u_2, \ z_0+\lambda \cdot u_3)$

Esta igualdad se verifica con la ecuación paramétrica de la recta:

$\left\{\begin{matrix} x=x_0+\lambda \cdot u_1\\ y=y_0+\lambda \cdot u_2\\ z=z_0+\lambda \cdot u_3 \end{matrix}\right.$

Ecuación continua de la recta

Despejando e igualando λ en la ecuación paramétrica, se obtiene la ecuación continua de la recta:

$\displaystyle \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}$

Ecuación implícita de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

$\left\{\begin{matrix} Ax+By+Cz+D=0\\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{matrix}\right.$

De la ecuación continua de la recta

$\displaystyle \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}$

Consideramos una igualdad, por ejemplo

$\displaystyle \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}$

Quitamos los denominadores

$u_2(x-x_0)=(y-y_0)u_1$

$u_2x-u_2x_0=u_1y-u_1y_0$

$u_2x-u_1y+u_1y_0-u_2x_0=0$

Haciendo

$A=u_2\hspace{1.5cm}B=-u_1\hspace{1.5cm}C=0\hspace{1.5cm}D=u_1y_0-u_2x_0$

Nos resulta la ecuación del plano

$Ax+By+Cz+D=0$

Si procedemos de manera similar con otra igualdad, por ejemplo

$\displaystyle \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{z-z_0}{u_3}$

Obtemos la ecuación del otro plano $A'x+B'y+C'z+D'=0$ .

Ejercicios de la ecuación de la recta

1 Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es $\vec{u}=(4,5,-1)$ .

1 Ecuaciones paramétricas

$\left\{\begin{matrix} x=1+4\lambda\\ y=2+5\lambda\\ z=1-\lambda \end{matrix}\right.$

2 Ecuaciones en forma continua

De la ecuación paramétrica despejamos $\lambda$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=1+4\lambda & \ \ & \lambda=\frac{x-1}{4}\\ y=2+5\lambda& \ \ & \lambda=\frac{y-2}{5}\\ z=1-\lambda & \ \ & \lambda=\frac{z-1}{-1} \end{matrix}\right.$

La ecuación continua se obtiene de igualar los términos anteriores

$\displaystyle \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-1}{-1}$

3 Ecuaciones implícitas

$\displaystyle \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{5}\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{1cm} 5x-5=4y-8 \hspace{1cm} 5x-4y+3=0$

$\displaystyle \frac{x-1}{4}=\frac{z-1}{-1}\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{1cm} -x+1=4z-4 \hspace{1cm} -x-4z+5=0$

Finalmente la ecuación implícita de la recta es

$\left\{\begin{matrix} 5x-4y+3=0\\ -x-4z+5=0 \end{matrix}\right.$

2 Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

1 Obtenemos un vector director

$\vec{AB}=(0-1,1-0,1-1)=(-1,1,0)$

2 Ecuaciones paramétricas

$\left\{\begin{matrix} x=1-\lambda\\ y=\lambda \ \ \ \ \ \\ z=1 \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

3 Ecuaciones continuas

$\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0}$

4 Ecuaciones implícitas

$\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}\hspace{1.3cm}\longrightarrow\hspace{1.4cm} x-1=-y \hspace{1.8cm} x+y-1=0$

$\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{z-1}{0}\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{.5cm} 0\cdot (x-1)=-1\cdot (z-1) \hspace{1cm}-z+1=0$

Finalmente la ecuación implícita de la recta es

$\left\{\begin{matrix} x+y-1=0\\ -z+1=0 \end{matrix}\right.$

3 Sea r la recta de ecuación:

$\displaystyle r\equiv \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}$

¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

1 Punto A

Sustituimos las coordenadas del punto A en cada parte de la ecuación

$\displaystyle \frac{x-1}{1}= \frac{0-1}{1}= -1$

$\displaystyle \frac{y}{2}=\frac{-2}{2}= -1$

$\displaystyle \frac{z-1}{3}= \frac{-2-1}{3}= -1$

Entonces el punto satisface la ecuación de la recta

$\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}$

Por lo tanto

$\hspace{1cm} A\in r$

2 Punto B

Sustituimos las coordenadas del punto B en cada parte de la ecuación

$\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{3-1}{1}= 2$

$\displaystyle \frac{y}{2}=\frac{2}{2}= 1$

$\displaystyle \frac{z-1}{3}=\frac{6-1}{3}= \frac{5}{3}$

Entonces el punto no satisface la ecuación de la recta

$\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}$

Por lo tanto

$\hspace{1cm} B \not\in r$

4 Dada la recta r:

$r\equiv\left\{\begin{matrix}2x+y+z=0\\ x-y-2z=0 \end{matrix}\right.$

Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

1 Dejar una de las varibles del otro lado de la ecuación

$\left\{\begin{matrix} 2x+y=-z\\ x-y=2z \end{matrix}\right.$

2 Usar el método de Cramer para resolver $x$ y $y$ en términos de $z$

$\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix} -z & 1\\ 2z & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{z}{3}$

$\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix} 2 & -z\\ 1 & 2z \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{5z}{-3}$

3 Obtenemos 2 puntos en la recta asignando 2 valores para $z$

$z=0 \hspace{1cm} x=0 \hspace{1cm} y=0 \hspace{1cm} A(0,0,0)$

$z=3 \hspace{1cm} x=1 \hspace{1cm} y=-5 \hspace{1cm} B(1,-5,3)$

4 Obtenemos un vector director

$\vec{AB}=(1,-5,3)$

Finalmente la ecuación paramétrica es

$\left\{\begin{matrix} x=\lambda\\ y=-5\lambda\\ z=3\lambda \end{matrix}\right.$

Y la ecuación continua

$\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{-5}=\frac{z}{3}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Palomares Hutuco, Katheryn

Abril

Muchas gracias por su aporte

Superprof

Mayo

Es un placer poder ayudar. 🙂

jorge armando de lira

Septiembre

buenas noches , me podria ayudar con el sig problema.
Encuentre la ecuación vectorial,parametrica y simetrica para la recta.
c) la recta que pasa por el origen y el punto (4, 3, -1)

Matias Games

Noviembre

hola, tenes que utilizar el punto (0,0,0) y armar un vector director con el punto que ya te dieron, y utilizar uno de esos dos puntos y ya podrias armar las tres ecuaciones necesarias.

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