En este apartado estudiaremos el circuncentro de un triángulo. También veremos cómo calcular las mediatrices de un triángulo y el área de la circunferencia que pasa los vertices de un triángulo.

Mediatrices y circuncentro de un triángulo

A continuación presentamos las definiciones de circuncentro y mediatriz.

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas por los puntos medios de sus lados.

Circuncentro

El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices.

El circuncentro se expresa con la letra O.

El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

 

Ejercicio

Hallar las ecuaciones de las mediatrices y el circuncentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

Calculo de mediatrices

 

Paso 1: Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de BC.

En primer lugar hallamos el punto medio de BC. Para esto solo debemos restar las coordenadas de los puntos B y C y luego dividir por 2, es decir,

    $$M_{BC}=\left(\cfrac{0-3}{2},\cfrac{1-2}{2}\right)=\left(\cfrac{-3}{2},\cfrac{-1}{2}\right).$$

Lo siguiente es hallar la pendiente de la perpendicular al lado BC.  Ya que la pendiente de la recta que pasa por los puntos B y C es

    $$m_{BC}=\cfrac{-2-1}{-3-0}=1,$$

y el producto de las pendientes de una recta y su perpendicular es -1, entonces la pendiente de nuestra mediatriz es

    $$m_{1}=-1.$$

Finalmente aplicamos la ecuación punto-pendiente, tenemos que la ecuación de la recta mediatriz es

    $$y+\cfrac{1}{2}=-\left(x+\cfrac{3}{2}\right),\quad x+y+2=0.$$

 

Paso 2: Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de AC.

Procedemos de manera símiliar al paso anterior. En primer lugar hallamos el punto medio de AC. Para esto solo debemos restar las coordenadas de los puntos A y C y luego dividir por 2, es decir,

    $$M_{AC}=\left(\cfrac{2-3}{2},\cfrac{0-2}{2}\right)=\left(\cfrac{-1}{2},-1\right).$$

Lo siguiente es hallar la pendiente de la perpendicular al lado AC.  Ya que la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y C es

    $$m_{AC}=\cfrac{-2-0}{-3-2}=\cfrac{2}{5},$$

y el producto de las pendientes de una recta y su perpendicular es -1, entonces la pendiente de nuestra mediatriz es

    $$m_{2}\cdot\cfrac{2}{5}=-1,\quad m_{2}=-\cfrac{5}{2}.$$

Finalmente aplicamos la ecuación punto-pendiente, tenemos que la ecuación de la recta mediatriz al segmento AC es

    $$y+1=-\cfrac{5}{2}\left(x+\cfrac{1}{2}\right),\quad 10x+4y+9=0.$$

 

Paso 3: Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de AB.

Procedemos de manera símiliar a los pasos anteriores. En primer lugar hallamos el punto medio de AB. Para esto solo debemos restar las coordenadas de los puntos A y B y luego dividir por 2, es decir,

    $$M_{AB}=\left(\cfrac{2+0}{2},\cfrac{0+1}{2}\right)=\left(1,\cfrac{1}{2}\right).$$

Lo siguiente es hallar la pendiente de la perpendicular al lado AB.  Ya que la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es

    $$m_{AB}=\cfrac{1-0}{0-2}=-\cfrac{1}{2},$$

y el producto de las pendientes de una recta y su perpendicular es -1, entonces la pendiente de nuestra mediatriz es

    $$-\cfrac{1}{2}\cdot m_{3}=-1,\quad m_{3}=2.$$

Finalmente aplicamos la ecuación punto-pendiente, tenemos que la ecuación de la recta mediatriz al segmento AB es

    $$y-\cfrac{1}{2}=2\left(x-1\right),\quad 4x-2y-3=0.$$

 

Paso 4: Hallar el circuncentro.

El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

    $$\begin{cases}4x-2y=3\\ x+y=-2\end{cases}$$

    $$x=-2-y,\quad 4(-2-y)-2y=3,\quad -6y-8=3,\quad y=-\cfrac{11}{6}.$$

    $$x+y=-2,\quad x-\cfrac{11}{6}=-2,\quad x=-2+\cfrac{11}{6},\quad x=-\cfrac{1}{6}.$$

El circuncentro es

    $$O\left(-\cfrac{1}{6},-\cfrac{11}{6}\right).$$

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Área de la circunferencia circunscrita

El circuncentro es el centro de la de la circunferencia circunscrita, es decir, la que pasa por los tres vértices.

Circunferencia circunscrita

Hallaremos el área de la circunferencia circunscrita para el ejemplo anterior. El radio de la circunferencia circunscrita es la distancia entre dos puntos: el circuncentro y cualquier vértice del triángulo. En este caso tomaremos el punto A(2,0) y el circuncentro O\left(-\cfrac{1}{6},-\cfrac{11}{6}\right),

    $$r^2=\left(2+\cfrac{1}{6}\right)^2+\left(0+\cfrac{11}{6}\right)^2=\cfrac{145}{18}.$$

Ya que el área de una circunferencia es igual a \pi por el radio al cuadrado, entonces el área de nuestra circunferencia circunscrita es

    $$S=\pi\cdot\cfrac{145}{18}=25.31.$$

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (12 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗