Al considerar una recta r y un plano \pi en el espacio, estas están posicionadas de alguna de las tres siguientes formas:

 

1r está contenida en \pi.

 

2r y \pi son paralelos.

 

3r y \pi son secantes.

 

Dependiendo de la expresión de la recta r, se tienen los siguientes casos:

 

La recta viene definida por dos planos secantes

 

Consideramos la recta r definida por dos planos secantes A_1x+ B_1y + C_1z + D_1 = 0 y A_2x+ B_2y + C_2z + D_2 = 0

 

r \equiv \left \{ \begin{array}{l} A_1x+ B_1y + C_1z + D_1 = 0, \\ A_2x+ B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{array} \right.

 

y el plano \pi \equiv A_3x+ B_3y + C_3z + D_3 = 0 .

 

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

 

\left \{ \begin{array}{l} A_1x+ B_1y + C_1z + D_1 = 0, \\ A_2x+ B_2y + C_2z + D_2 = 0, \\ A_3x+ B_3y + C_3z + D_3 = 0 \end{array} \right.

 

Representamos por R al rango de la matriz de coeficientes y por R' al rango de la matriz ampliada. Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:

 

Posición R R'
Recta contenida en el plano 2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3

 

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La recta viene definida por un punto y un vector

 

Si la recta r está definida por el punto A y el vector director \vec{u}; y el plano \pi tiene vector normal \vec{n}. Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

 

Recta contenida en el planorecta contenida en el plano

 

Recta y plano paralelosRecta paralela a un plano

 

Recta y plano secantesRecta y plano secantes

 

Las posiciones relativas de la recta y el plano se pueden obtener estudiando la posición del punto de la recta y  el producto interno del vector director de la recta y el vector normal del plano

 

Posición \vec{u} \cdot \vec{n} A
Recta contenida en el plano = 0 \in \pi
Recta y plano paralelos = 0 \notin \pi
Recta y plano secantes \neq 0

 

Ejercicios

 

1Hallar la posición relativa de la recta y el plano:

 

r \equiv \cfrac{x + 1}{2} = \cfrac{y}{1} = \cfrac{z}{-1}, \ \ \ \ \ \pi \equiv x - 2y + 3z + 1 = 0

1En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas

 

r \equiv \left \{ \begin{array}{l} x - 2y + 1 = 0, \\ y + z = 0 \end{array} \right.

 

2Discutimos el sistema formado por la recta y el plano

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 2y + 1 = 0, \\ y + z = 0, \\ x - 2y + 3z + 1 = 0 \end{array} \right.

 

3Escribimos la matriz de coeficientes

 

M = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{array} \right )

 

4Calculamos el determinante

 

\begin{array}{rcl}|M| & = & \left | \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{array} \right | \\\\ & = & 1\left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{array} \right | + 2 \left | \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} \right | \\\\ & = & 3 \end{array}

 

Luego el rango es R = 3

 

5Calculamos el rango la matriz ampliada

 

\begin{array}{rcl}M' & = & \left ( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & -1 \end{array} \right )  \end{array}

 

El cual es R' = 3, basta considerar la matriz M.

 

6Como R = R' = 3, entonces la recta y el plano son secantes.

 

2Hallar la posición relativa de la recta y el plano:

 

r \equiv \cfrac{x - 1}{5} = \cfrac{y}{1} = \cfrac{z + 2}{1}, \ \ \ \ \ \pi \equiv -x + 3y + 2z + 5 = 0

1En primer lugar a partir de las ecuaciones continuas de la recta, obtenemos el punto A y el vector director \vec{u}, recordando que

 

r \equiv \cfrac{x - a_1}{u_1} = \cfrac{y - a_2}{u_2} = \cfrac{z - a_3}{u_3}

 

luego A = (1, 0, -2) y \vec{u} = (5, 1, 1)

 

2El vector normal del plano \pi está formado por sus coeficientes. Luego \vec{n} = (-1 3, 2)

 

3Calculamos el producto interno del vector director y el vector normal

 

\begin{array}{rcl}\vec{u} \cdot \vec{n} & = & (5, 1, 1) \cdot (-1 3, 2) \\\\ & = & -5 + 3 + 2 \\\\ & = & 0 \end{array}

 

4Verificamos si A se encuentra en el plano, para esto sustituimos el punto en la ecuación del plano

 

-(1) + 3(0) + 2(-2) + 5 = 0

 

Como se satisface la ecuación del plano, tenemos que A \in \pi

 

5A partir de la segunda tabla, concluimos que la recta está contenida en el plano.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗