Medianas y baricentro de un triángulo

 

    • Las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto.
    • El baricentro es el punto de corte de las tres medianas.
    • El baricentro se expresa con la letra G.

 

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Propiedades del baricentro

 

    • El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos.
    • El segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

 

baricentro

\overline{BG}=2\overline{GA}

    • El baricentro también se le conoce como el centro de gravedad pues si tuviéramos un triángulo de cartulina, por ejemplo, podríamos sostenerlo con un solo dedo si lo ponemos en el baricentro, ya que es donde las masas se equilibran.

 

Coordenadas del baricentro

 

coordenadas del baricentro

Si el triángulo tiene coordenadas:

 

A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)

 

Las coordenadas del baricentro G son:

 

\displaystyle G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)

 

Ejemplo de ejercicio resuelto - Hallar las ecuaciones de las medianas y el baricentro

 

Hallar las ecuaciones de las medianas y el baricentro del triángulo de vértices:

A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

 

 

ecuaciones de las medianas

 

Conocimientos necesarios:

 

Si tengo dos puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2), las coordenadas del punto medio están dadas por:

 

\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)

 

Si tenemos una recta que pasa por los puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2), su ecuación es:

 

\displaystyle \frac{y -y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

 

Obtener las coordenadas del baricentro, dadas las coordenadas del triángulo (fórmula de la sección anterior)

 

Ecuación de la mediana que pasa por A y el punto medio de BC

 

En primer lugar hallamos el punto medio de BC:

 

\displaystyle M_{BC}\left(\frac{0-3}{2},\frac{1-2}{2}\right) \hspace{2cm} M_{BC}\left(\frac{-3}{2},\frac{-1}{2}\right)

 

Como dicha mediana pasa por los puntos A(2,0) y M_{BC}, usamos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos

 

\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}

 

sustituimos con los datos de las coordenadas que tenemos y desarrollamos

 

\displaystyle \frac{x-2}{\frac{-3}{2}-2}=\frac{y}{\frac{-1}{2}} \hspace{2cm} \frac{x-2}{\frac{-3}{2}-\frac{4}{2}}=\frac{y}{\frac{-1}{2}} \hspace{2cm} \frac{x-2}{-\frac{7}{2}}=\frac{y}{-\frac{1}{2}}

 

Como tenemos división de fracciones lo anterior es equivalente a

 

\displaystyle -\frac{2(x-2)}{7}=-\frac{2y}{1}

 

Dividimos entre -2 toda la ecuación

 

\displaystyle \frac{x-2}{7}=y

 

Multiplicamos por 7 y despejamos

 

\displaystyle x-2=7y

x-7y-2=0

 

Ecuación de la mediana que pasa por B y el punto medio de AC

 

De manera análoga, hallamos el punto medio de AC

 

\displaystyle M_{AC}\left(\frac{2-3}{2},\frac{0-2}{2}\right) \hspace{2cm} M_{AC}\left(\frac{-1}{2},-1\right)

 

La mediana pasa por los puntos B(0,1) y M_{AC}, así que usamos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos

 

\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}

 

sustituimos con los datos de las coordenadas que tenemos y desarrollamos

 

\displaystyle \frac{x-0}{\frac{-1}{2}}=\frac{y-1}{-1-1} \hspace{2cm} \frac{x}{\frac{-1}{2}}=\frac{y-1}{-2}

 

Como tenemos división de fracciones, lo anterior es equivalente a

 

\displaystyle \frac{2x}{-1}=\frac{y-1}{-2} \hspace{2cm} -2x=\frac{y-1}{-2}

 

Multiplicamos la ecuación por -2 para deshacernos de la fracción, y finalmente despejamos

 

\displaystyle (-2)(-2x)=y-1

\displaystyle 4x=y-1

4x-y+1=0

 

Ecuación de la mediana que pasa por C y el punto medio de AB

 

El punto medio de AB está dado por

 

\displaystyle M_{AB}\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+1}{2}\right) \hspace{2cm} M_{AB}\left(1,\frac{1}{2}\right)

 

La mediana pasa por los puntos \displaystyle C(-3,-2) y M_{AB}, así que usamos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos

 

\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}

 

sustituimos con los datos de las coordenadas que tenemos y desarrollamos

 

\displaystyle \frac{x+3}{1+3}=\frac{y+2}{\frac{1}{2}+2} \hspace{2cm} \frac{x+3}{4}=\frac{y+2}{\frac{5}{2}}

 

Como tenemos división de fracciones, lo anterior es equivalente a

 

\displaystyle \frac{x+3}{4}=\frac{2(y+2)}{5}

 

Los términos de la izquierda están divididos por 4, lo paso del otro lado multiplicando, y de manera similar con el denominador de la derecha

 

\displaystyle  5(x+3)=4\times 2(y+2)

\displaystyle  5(x+3)=8(y+2)

\displaystyle  5x+15=8y+16

 

Despejamos

 

5x-8y-1=0

 

Baricentro

 

Dados las coordenadas de los 3 puntos de un triángulo, la fórmulas de las coordenadas del baricentro está dada por

 

\displaystyle G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)

 

Sustituimos con los datos de los puntos del triángulo: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2)

 

\displaystyle G\left(\frac{2+0-3}{3},\frac{0+1-2}{3}\right)

 

Simplificamos

 

\displaystyle G\left(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3}\right)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗