Name: Ecuaciones de las medianas y del baricentro de un triangulo
Brand: Superprof
SKU: SP-RB-00083864
Rating: 4 (18 reviews)

Aprende Matemáticas con los mejores

¡1ra clase gratis!

Temas

Medianas y baricentro de un triángulo
Propiedades del baricentro
Coordenadas del baricentro
Ejemplo de ejercicio resuelto - Hallar las ecuaciones de las medianas y el baricentro

Medianas y baricentro de un triángulo

- Las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto.
- El baricentro es el punto de corte de las tres medianas.
- El baricentro se expresa con la letra G.

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles

Propiedades del baricentro

- El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos.
- El segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

$\overline{BG}=2\overline{GA}$

- El baricentro también se le conoce como el centro de gravedad pues si tuviéramos un triángulo de cartulina, por ejemplo, podríamos sostenerlo con un solo dedo si lo ponemos en el baricentro, ya que es donde las masas se equilibran.

Coordenadas del baricentro

Si el triángulo tiene coordenadas:

$A(x_1,y_1)$ , $B(x_2,y_2)$ , $C(x_3,y_3)$

Las coordenadas del baricentro $G$ son:

$\displaystyle G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$

Ejemplo de ejercicio resuelto - Hallar las ecuaciones de las medianas y el baricentro

Hallar las ecuaciones de las medianas y el baricentro del triángulo de vértices:

$A(2, 0)$ , $B(0, 1)$ y $C(-3, -2)$ .

Conocimientos necesarios:

Si tengo dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ , las coordenadas del punto medio están dadas por:

$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Si tenemos una recta que pasa por los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ , su ecuación es:

$\displaystyle \frac{y -y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Obtener las coordenadas del baricentro, dadas las coordenadas del triángulo (fórmula de la sección anterior)

Ecuación de la mediana que pasa por A y el punto medio de BC

En primer lugar hallamos el punto medio de BC:

$\displaystyle M_{BC}\left(\frac{0-3}{2},\frac{1-2}{2}\right) \hspace{2cm} M_{BC}\left(\frac{-3}{2},\frac{-1}{2}\right)$

Como dicha mediana pasa por los puntos $A(2,0)$ y $M_{BC}$ , usamos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos

$\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

sustituimos con los datos de las coordenadas que tenemos y desarrollamos

$\displaystyle \frac{x-2}{\frac{-3}{2}-2}=\frac{y}{\frac{-1}{2}} \hspace{2cm} \frac{x-2}{\frac{-3}{2}-\frac{4}{2}}=\frac{y}{\frac{-1}{2}} \hspace{2cm} \frac{x-2}{-\frac{7}{2}}=\frac{y}{-\frac{1}{2}}$

Como tenemos división de fracciones lo anterior es equivalente a

$\displaystyle -\frac{2(x-2)}{7}=-\frac{2y}{1}$

Dividimos entre -2 toda la ecuación

$\displaystyle \frac{x-2}{7}=y$

Multiplicamos por 7 y despejamos

$\displaystyle x-2=7y$

$x-7y-2=0$

Ecuación de la mediana que pasa por B y el punto medio de AC

De manera análoga, hallamos el punto medio de AC

$\displaystyle M_{AC}\left(\frac{2-3}{2},\frac{0-2}{2}\right) \hspace{2cm} M_{AC}\left(\frac{-1}{2},-1\right)$

La mediana pasa por los puntos $B(0,1)$ y $M_{AC}$ , así que usamos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos

$\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

sustituimos con los datos de las coordenadas que tenemos y desarrollamos

$\displaystyle \frac{x-0}{\frac{-1}{2}}=\frac{y-1}{-1-1} \hspace{2cm} \frac{x}{\frac{-1}{2}}=\frac{y-1}{-2}$

Como tenemos división de fracciones, lo anterior es equivalente a

$\displaystyle \frac{2x}{-1}=\frac{y-1}{-2} \hspace{2cm} -2x=\frac{y-1}{-2}$

Multiplicamos la ecuación por -2 para deshacernos de la fracción, y finalmente despejamos

$\displaystyle (-2)(-2x)=y-1$

$\displaystyle 4x=y-1$

$4x-y+1=0$

Ecuación de la mediana que pasa por C y el punto medio de AB

El punto medio de AB está dado por

$\displaystyle M_{AB}\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+1}{2}\right) \hspace{2cm} M_{AB}\left(1,\frac{1}{2}\right)$

La mediana pasa por los puntos $\displaystyle C(-3,-2)$ y $M_{AB}$ , así que usamos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos

$\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

sustituimos con los datos de las coordenadas que tenemos y desarrollamos

$\displaystyle \frac{x+3}{1+3}=\frac{y+2}{\frac{1}{2}+2} \hspace{2cm} \frac{x+3}{4}=\frac{y+2}{\frac{5}{2}}$

Como tenemos división de fracciones, lo anterior es equivalente a

$\displaystyle \frac{x+3}{4}=\frac{2(y+2)}{5}$

Los términos de la izquierda están divididos por 4, lo paso del otro lado multiplicando, y de manera similar con el denominador de la derecha

$\displaystyle 5(x+3)=4\times 2(y+2)$

$\displaystyle 5(x+3)=8(y+2)$

$\displaystyle 5x+15=8y+16$

Despejamos

$5x-8y-1=0$

Baricentro

Dados las coordenadas de los 3 puntos de un triángulo, la fórmulas de las coordenadas del baricentro está dada por

$\displaystyle G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$

Sustituimos con los datos de los puntos del triángulo: $A(2, 0)$ , $B(0, 1)$ y $C(-3, -2)$

$\displaystyle G\left(\frac{2+0-3}{3},\frac{0+1-2}{3}\right)$

Simplificamos

$\displaystyle G\left(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3}\right)$

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vez

Aprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?

Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar

4,00 (18 nota(s))

Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de Ecuaciones de la recta

Resumen de Ecuacion de la recta II

Teoría

Ecuaciones parametricas de la recta

Ecuaciones punto-pendiente de una recta

Ecuacion de la recta en forma explicita

Incidencia de un punto y una recta

Calculo de la distancia de un punto a una recta

Ecuaciones de la recta en el espacio

¿Cuales son las ecuaciones del plano?

Posicion relativa de dos planos

Rectas perpendiculares y paralelas

Posicion relativa de dos rectas II

La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

¿Cuales son las posiciones relativas de dos rectas?

Ecuacion vectorial de la recta

Posiciones relativas de una recta y un plano

Ejercicios de rectas paralelas a los ejes de coordenadas

Posicion relativa de tres planos

Ecuacion explicita de la recta

Fórmulas

Ecuación de los ejes coordenados

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Definición de puntos y vectores coplanarios

Ecuacion normal de la recta. Cosenos directores

Haz de rectas y haz de rectas paralelas

Distancia y angulo entre rectas

Coordenadas del baricentro de un triangulo

Ejercicios interactivos

Ejercicios de rectas y sus posiciones relativas

Problemas interactivos: ecuacion de la recta

Problemas interactivos de la ecuación de la recta I

Ejercicios interactivos de ecuación de la recta II

Ejercicios interactivos: ecuacion de la recta III

Ejercicios interactivos de rectas paralelas

Ejercicios interactivos: ecuacion de la recta I

Ejercicios interactivos de rectas paralelas a los ejes

Ejercicios interactivos de incidencia

Ejercicios interactivos de rectas perpendiculares

Otros ejercicios

Ejercicios de puntos en el espacio

Ejercicios resueltos de la ecuacion del plano

Ejercicios y problemas resueltos de posiciones relativas

Ejercicios de la ecuacion de la recta I

Ejercicios de la recta en el espacio

Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones de la recta I

Ejercicios resueltos de incidencia

Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones de la recta II

Problemas de posiciones relativas II

Problemas de posiciones relativas

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

Déjanos un comentario

Cancelar la respuesta

Rodríguez

Junio 2020

Por favor poner los procedimientos más detalladamente. Para una persona tratando de aprender sobre este tema se les hace difícil comprender el modo de hacerlo.
Estoy tratando de resolver unos ejercicios de esta materia y básicamente tengo que adivinar que hacer ya que los ejemplos no están detallados.

Superprof

Julio 2020

Hola Rodrígues, muchas gracias por el comentario y por ayudarnos a mejorar nuestra página. Tomamos tu consejos en cuenta y añadiremos contenido adicional y más explicaciones pronto. ¡Un saludo!

Medianas de un triángulo y su baricentro

Medianas y baricentro de un triángulo

Propiedades del baricentro

Coordenadas del baricentro

Ejemplo de ejercicio resuelto - Hallar las ecuaciones de las medianas y el baricentro

Conocimientos necesarios:

Ecuación de la mediana que pasa por A y el punto medio de BC

Ecuación de la mediana que pasa por B y el punto medio de AC

Ecuación de la mediana que pasa por C y el punto medio de AB

Baricentro

Resumen

Resumen de Ecuaciones de la recta

Resumen de Ecuacion de la recta II

Teoría

Ecuacion canonica

Ecuaciones parametricas de la recta

Ecuaciones punto-pendiente de una recta

Ecuacion de la recta en forma explicita

Angulo que forman dos rectas

Incidencia de un punto y una recta

Calculo de la distancia de un punto a una recta

Ecuación de la mediatriz

Ecuaciones de la recta en el espacio

¿Cuales son las ecuaciones del plano?

Posicion relativa de dos planos

Ecuacion general de la recta

Rectas perpendiculares y paralelas

Rectas paralelas

Posicion relativa de dos rectas II

La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

¿Cuales son las posiciones relativas de dos rectas?

Ecuacion vectorial de la recta

Rectas paralelas a los ejes

Ecuaciones de las bisectrices

Posiciones relativas de una recta y un plano

Ejercicios de rectas paralelas a los ejes de coordenadas

Posicion relativa de tres planos

Ecuación continua de la recta

Puntos en el espacio

Haz de planos

Ecuacion explicita de la recta

Fórmulas

Incidencia de puntos y rectas

Ecuación de los ejes coordenados

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Ortocentro

Rectas perpendiculares

Area de un triangulo

Ecuacion de la recta

Ecuacion del plano

Pendiente de una recta

¿Qué es el vector normal?

Definición de puntos y vectores coplanarios

Circuncentro

Ejemplos de puntos alineados

Lugares geométricos

Ecuacion normal de la recta. Cosenos directores

Bisectrices de un triangulo

Paralelismo de rectas

Haz de rectas y haz de rectas paralelas

Distancia y angulo entre rectas

Coordenadas del baricentro de un triangulo

Punto medio

Ejercicios interactivos

Ejercicios de rectas y sus posiciones relativas

Problemas interactivos: ecuacion de la recta

Problemas interactivos de la ecuación de la recta I

Ejercicios interactivos de ecuación de la recta II

Ejercicios interactivos: ecuacion de la recta III

Ejercicios interactivos de rectas paralelas

Ejercicios interactivos: ecuacion de la recta I

Ejercicios interactivos de rectas paralelas a los ejes

Ejercicios interactivos de incidencia

Ejercicios interactivos de rectas perpendiculares

Otros ejercicios

Ejercicios de puntos en el espacio

Ejercicios resueltos de la ecuacion del plano

Ejercicios del plano

Ejercicios y problemas resueltos de posiciones relativas

Problemas de rectas