Ecuación vectorial

 

En esta sección aprenderás a representar vectorialmente a todos los puntos\displaystyle X=\left ( x, y, z \right ) que pertenezcan a un plano llamado \displaystyle \pi .

Para esto, necesitamos a un punto fijo del plano \displaystyle P=(x_0,y_0,z_0) y a dos vectores con direcciones distintas \displaystyle \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)  y  \displaystyle \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)  llamados vectores directores.

Los vectores \displaystyle \vec{u}  y \displaystyle \vec{v} se denominan directores, ya que son los encargados de establecer las direcciones para generar a los puntos \displaystyle X del plano \displaystyle \pi , dichos vectores se consideran en el plano.

La construcción de la ecuación vectorial es la siguiente:

 

  • Consideremos a \displaystyle P  como un punto de referencia del plano \displaystyle \pi
  • Consideramos a un vector en el plano \displaystyle \pi que comienza en \displaystyle P  y termina en \displaystyle X , dicho vector se puede construir de la siguiente manera

 

\displaystyle \overrightarrow{PX}=X-P=\left ( x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right )

 

  • Ahora, como \displaystyle \vec{u}  y \displaystyle \vec{v}  también pertenecen a \displaystyle \pi   y no tienen la misma dirección, es posible encontrar a escalares \displaystyle \lambda y \displaystyle \mu respectivamente, tales que sea posible crear a los vectores \displaystyle \lambda \vec{u} y \displaystyle \mu \vec{v} cuya suma sea \displaystyle \overrightarrow{PX} , es decir:

 

\displaystyle \overrightarrow{PX}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}

 

representacion vectores en el plano

 

Entonces con esta igualdad ya es posible comenzar a desarrollar:

 

\displaystyle \left ( x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right )=\lambda \left (u_1,u_2,u_3\right ) + \mu \left (v_1,v_2,v_3\right )

 

es decir:

 

\displaystyle \left ( x,y,z \right )=\left ( x_0,y_0,z_0 \right )+\lambda \left (u_1,u_2,u_3\right ) + \mu \left (v_1,v_2,v_3\right )

 

llegando a la ecuación en su forma vectorial de los elementos del plano \displaystyle \pi :

 

\displaystyle X=P+\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}

 

 
Superprof

Ecuaciones paramétricas del plano

 

Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

 

\displaystyle \left ( x,y,z \right )=\left (x_0 + \lambda u_1 + \mu v_1,y_0 + \lambda u_2 + \mu v_2,z_0 + \lambda u_3\right + \mu v_3 )

 

Esta igualdad se verifica si:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=x_0 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y=y_0 + \lambda u_2 + \mu v_2\\ z=z_0 + \lambda u_3\right + \mu v_3 \end{matrix}\right.

 

obteniendo así las ecuaciones paramétricas del plano.

 

 

Ecuación general o implícita del plano

 

Un punto \displaystyle X  está en el plano \displaystyle \pi si tiene solución el sistema:

 

\displaystyle \begin{matrix} x-x_0= \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y-y_0=\lambda u_2 + \mu v_2\\ z-z_0=\lambda u_3\right + \mu v_3 \end{matrix}\right.

 

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas \displaystyle \lambda y \displaystyle \mu · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x-x_0 & u_1 & v_1 \\ y-y_0 & u_2 & v_2 \\ z-z_0 & u_3 & v_3 \end{vmatrix}=0

 

Desarrollamos el determinante.

 

\displaystyle \begin{vmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} \left ( x-x_0\right ) - \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} \left ( y-y_0\right ) + \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} \left ( z-z_0\right ) =0

 

y si asignamos los valores:

 

\displaystyle A= \begin{vmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} \hspace{2cm} B=- \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} \hspace{2cm} C= \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}

 

Sustituimos:

 

\displaystyle A\left ( x-x_0 \right )+B\left ( y-y_0 \right )+C\left ( z-z_0 \right )=0

 

si desarrollamos ahora llegamos a:

 

\displaystyle Ax+By+Cz-Ax_0-By_0-Cz_0=0

 

y con la siguiente igualdad:

 

\displaystyle D=-Ax_0-By_0-Cz_0

 

obtenemos la ecuación general de plano:

 

\displaystyle Ax+By+Cz+D=0

 

 

Vector normal

 

Vamos a construir la ecuación de un plano \displaystyle \pi  usando otros elementos.

Primero consideremos a un vector perpendicular al plano llamado vector normal \displaystyle \vec{n}=\left ( A,B,C \right ) , y además a un punto fijo del plano \displaystyle P=\left ( x_0,y_0,z_0 \right )

 

representacion plano con vector normal y punto fijo

 

Sea \displaystyle X=\left ( x,y,z \right )  cualquier punto del plano.

 

Construimos al vector dirigido de \displaystyle P  a \displaystyle X  de la misma forma que anteriormente lo hicimos:

 

\displaystyle \overrightarrow{PX}=X-P=\left ( x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right )

 

tal vector es perpendicular a \displaystyle \vec{n} ya que pertenece a \displaystyle \pi , y \displaystyle \vec{n} se consideró perpendicular a todo vector del plano.

 

Entonces, por ser perpendiculares ambos vectores, su producto escalar vale cero:

 

\displaystyle \overrightarrow{PX}\cdot \vec{n}=0

 

de este modo también se puede determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

 

 

Ecuación canónica o segmentaria del plano

 

Sean\displaystyle \vec{A}\left ( a,0,0 \right ) , \displaystyle \vec{B}\left ( 0,b,0 \right )\displaystyle \vec{C}\left ( 0,0,c \right ) tres vectores en el espacio por donde pasa el plano \displaystyle \pi   que se encuentran sobre los ejes de referencia.

 

 

representacion de los vectores A, B, y C en el espacio

 

 

Construyamos a la ecuación de \displaystyle \pi  en su forma canónica partiendo de su forma general.

Supongamos que tenemos a la ecuación en su forma general del plano \displaystyle \pi :

 

\displaystyle Ax+By+Cz+D=0

 

donde \displaystyle A , \displaystyle B , \displaystyle C y \displaystyle D  son todos números reales distintos de cero.

 

De la ecuación general restemos de ambos lados a \displaystyle D  y posteriormente dividamos a ambos lados entre \displaystyle D , quedando así el proceso:

 

\displaystyle \frac{Ax}{-D}+\frac{By}{-D}+\frac{Cz}{-D}=\frac{-D}{-D}

 

y si ahora estructuramos a las fracciones queda:

 

\displaystyle \frac{x}{\frac{-D}{A}}+\frac{y}{\frac{-D}{B}}+\frac{z}{\frac{-D}{C}}=1

 

donde los denominadores coinciden exactamente con los valores \displaystyle a , \displaystyle b  y \displaystyle c  de los vectores en el espacio que se mencionaron inicialmente, de esta manera si:

 

\displaystyle a=\frac{-D}{A}           \displaystyle b=\frac{-D}{B}       \displaystyle c=\frac{-D}{C}

 

entonces ya tenemos a la ecuación de \displaystyle \pi en su forma canónica:

 

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

 

recuerda que \displaystyle A , \displaystyle B  , \displaystyle C  y \displaystyle D  deben ser todos distintos de cero para evitar la indeterminación.

 

 

Ejercicios

 

1Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto \displaystyle A\left ( 1, 1, 1 \right ) y tiene como vectores directores a  \displaystyle \vec{u}\left (1,-1,1 \right ) \displaystyle \vec{v}\left (2,3,-1 \right ) .

 

Como tenemos a un punto del plano y a sus dos vectores directores, simplemente sustituimos los valores en las ecuaciones en su forma paramétrica del plano, quedando entonces:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=1+\lambda +2\mu \\ y=1-\lambda +3\mu \\ z=1+\lambda -\mu \end{matrix}\right.

 

para que ahora conozcamos a la ecuación del plano en forma implícita, proponemos a la siguiente igualdad y resolvemos el determinante:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x-1 &1 &2 \\ y-1& -1 &3 \\ z-1&1 &-1 \end{vmatrix}=0

 

quedando de esta manera la ecuación que buscamos:

 

\displaystyle -2x +3y+5z-6=0

 

2Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos \displaystyle A\left ( -1,2,3 \right ) y \displaystyle B\left ( 3,1,4 \right ) y contiene al vector \displaystyle \vec{u}\left (0,0,1 \right ) .

 

Primero consideremos al punto \displaystyle A\left ( -1,2,3 \right )  como el punto de referencia que pertenece al plano, posteriormente partiendo de \displaystyle A construyamos un vector dirigido hacia \displaystyle B con la operación \displaystyle B-A , teniendo así:

 

\displaystyle \overrightarrow{AB} =\left ( 3+1, 1-2, 4-3 \right )=\left ( 4,-1,1 \right )

 

que se puede usar como el otro vector director, para que de esta manera podamos sustituir todo en la ecuaciones en su forma paramétrica del plano:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=-1+4\lambda \\ y=2-\lambda \\ z=3+\lambda +\mu \end{matrix}\right.

 

las cuales podemos usar para plantear la siguiente igualdad, y si desarrollamos el determinante obtenemos la ecuación en su forma general:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x+1 &4 &0 \\ y-2& -1 &0 \\ z-3&1 &1 \end{vmatrix}=0 \\\\\\-x-4y+7=0

 

 

3Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos \displaystyle A\left ( -1,1,-1 \right ), \displaystyle B\left ( 0,1,1 \right ) y \displaystyle C\left ( 4,3,2 \right )

 

Consideremos al punto \displaystyle A como el punto de referencia que pertenece al plano, y partiendo de ahí construyamos a los dos vectores directores usando \displaystyle B-A y \displaystyle C-A respectivamente:

 

\displaystyle \overrightarrow{AB} =\left ( 0+1, 1-1, 1+1 \right )=\left ( 1,0,2 \right )

 

\displaystyle \overrightarrow{AC} =\left ( 4+1, -3-1, 2+1 \right )=\left ( 5,-4,3 \right )

 

Entonces, usando a \displaystyle A como el punto del plano y a los vectores directores construidos, podemos establecer las ecuaciones del plano en su forma paramétrica:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=-1+\lambda+5\mu\\ y=1-4\mu \\ z=-1+2\lambda +3\mu \end{matrix}\right.

 

y con esto ya podemos resolver el siguiente determinante (igualado con cero) y conocer a la ecuación del plano en su forma implícita o general:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x+1 &1&5 \\ y-1& 0 &-4 \\ z+1&2 &3 \end{vmatrix}=0 \\\\\\8x+7y-4z-3=0

 

4Sea \displaystyle \pi  el plano de ecuaciones paramétricas:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=-1+\lambda+\mu\\ y=2-\lambda+2\mu \\ z=4\lambda -3\mu \end{matrix}\right.

 

Se pide comprobar si los puntos \displaystyle A\left ( 2,1,\frac{9}{2} \right ) y \displaystyle B\left ( 0,9,-1 \right ) pertenecen al plano.

Primero encontremos  a la ecuación del plano, desarrollando el determinante siguiente:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x-1 &1 &1 \\ y-2& -1 &2 \\ z&4 &-3 \end{vmatrix}=0 \\\\\\-5x+7y+3z-9=0

 

Ahora que ya tenemos la ecuación del plano, sustituyamos los puntos \displaystyle A y \displaystyle B para saber si pertenecen al plano o no:

 

\displaystyle -5\cdot 2+7\cdot 1+3\cdot \frac{9}{2}-9\neq 0 \\\\\\ A\notin \pi

 

\displaystyle -5\cdot 0+7\cdot 9+3\cdot \left ( -1 \right )-9\neq 0 \\\\\\ B\notin \pi

 

concluyendo que al darnos un resultado distinto de cero, entonces ninguno pertenece al plano.

 

5Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos \displaystyle A\left ( 1,1,0 \right ), \displaystyle B\left ( 1,0,1 \right ) y \displaystyle C\left ( 0,1,1 \right )

 

Tomamos a el punto \displaystyle A como el punto de referencia que pasa por el plano y partiendo de él construimos a do vectores dirigidos tanto a \displaystyle B como a \displaystyle C , que nos servirán como vectores directores:

 

\displaystyle \vec{AB}\left (1-1,0-1,1-0 \right )=\left ( 0,-1,1 \right ) .

 

\displaystyle \vec{AC}\left (0-1,1-1,1-0 \right )=\left ( -1,0,1 \right ) .

 

y con ésta información establecemos la siguiente igualdad para que al desarrollar el determinante conozcamos la ecuación del plano:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x-1 &0 &-1 \\ y-1& -1 &0 \\ z&1 &1 \end{vmatrix}=0 \\\\\\-x-y-z+2=0

 

Ahora, restando \displaystyle  2 y dividiendo entre \displaystyle - 2  en ambos lados de la igualdad obtenemos la ecuación segmentaria:

 

\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1 .

 

6Hallar la ecuación de la recta \displaystyle r , que pasa por el punto\displaystyle \left ( 1,0,0 \right )  y es perpendicular al plano \displaystyle x − y − z + 2 = 0 .

 

Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano será el vector director de la recta que pasa por el punto \displaystyle \left ( 1,0,0 \right ).

El vector normal del plano se puede obtener de los coeficientes de las variables, es decir \displaystyle \left ( 1,-1,-1 \right ) y con esto podemos representar a la ecuación de la recta con la siguiente forma:

 

\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1} .

 

7Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto \displaystyle A\left ( 2,0,1 \right ) y contiene a la recta de ecuación:

 

\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{-1} .

 

De la ecuación de la recta obtenemos un punto \displaystyle B y el vector \displaystyle \vec{u} .

El punto \displaystyle B se puede obtener igualando con cero a cada uno de los denominadores para que la igualdad siempre se cumpla, de esta manera \displaystyle B\left ( 1,-3,0 \right ). El vector normal de la recta se obtiene de los denominadores \displaystyle u\left ( 2,1,-1 \right ).

Ahora construimos al vector director usando \displaystyle B-A\left ( -1,-3,-1 \right ) y podemos ocupar a u como el otro vector director:

 

\displaystyle B\left ( 1,-3,0 \right ) \ \vec{AB}\left (1-2,-3-0,0-1 \right )=\left ( -1,-3,-1 \right ) .

 

\displaystyle A\left ( 2,0,1 \right ) \ \vec{u} \left (2,1,-1 \right ) \ \vec{AB}= \left ( -1,-3,-1\right ) .

 

Significa que podemos encontrar a la ecuación del plano con el proceso que ya se ha mencionado, quedando el siguiente resultado \displaystyle 4x-3y+5z-13=0 .

 

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Ascanio
Ascanio
Invité
2 Jun.

Excelente resumen. Muy educativo.