Ecuación vectorial

 

En esta sección aprenderás a representar vectorialmente a todos los puntos\displaystyle X=\left ( x, y, z \right ) que pertenezcan a un plano llamado \displaystyle \pi .

Para esto, necesitamos a un punto fijo del plano \displaystyle P=(x_0,y_0,z_0) y a dos vectores con direcciones distintas \displaystyle \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)  y  \displaystyle \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)  llamados vectores directores.

Los vectores \displaystyle \vec{u}  y \displaystyle \vec{v} se denominan directores, ya que son los encargados de establecer las direcciones para generar a los puntos \displaystyle X del plano \displaystyle \pi , dichos vectores se consideran en el plano.

La construcción de la ecuación vectorial es la siguiente:

 

  • Consideremos a \displaystyle P  como un punto de referencia del plano \displaystyle \pi
  • Consideramos a un vector en el plano \displaystyle \pi que comienza en \displaystyle P  y termina en \displaystyle X , dicho vector se puede construir de la siguiente manera

 

\displaystyle \overrightarrow{PX}=X-P=\left ( x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right )

 

  • Ahora, como \displaystyle \vec{u}  y \displaystyle \vec{v}  también pertenecen a \displaystyle \pi   y no tienen la misma dirección, es posible encontrar a escalares \displaystyle \lambda y \displaystyle \mu respectivamente, tales que sea posible crear a los vectores \displaystyle \lambda \vec{u} y \displaystyle \mu \vec{v} cuya suma sea \displaystyle \overrightarrow{PX} , es decir:

 

\displaystyle \overrightarrow{PX}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}

 

representacion vectores en el plano

 

Entonces con esta igualdad ya es posible comenzar a desarrollar:

 

\displaystyle \left ( x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right )=\lambda \left (u_1,u_2,u_3\right ) + \mu \left (v_1,v_2,v_3\right )

 

es decir:

 

\displaystyle \left ( x,y,z \right )=\left ( x_0,y_0,z_0 \right )+\lambda \left (u_1,u_2,u_3\right ) + \mu \left (v_1,v_2,v_3\right )

 

llegando a la ecuación en su forma vectorial de los elementos del plano \displaystyle \pi :

 

\displaystyle X=P+\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}

 

 

Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

 

\displaystyle \left ( x,y,z \right )=\left (x_0 + \lambda u_1 + \mu v_1,y_0 + \lambda u_2 + \mu v_2,z_0 + \lambda u_3\right + \mu v_3 )

 

Esta igualdad se verifica si:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=x_0 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y=y_0 + \lambda u_2 + \mu v_2\\ z=z_0 + \lambda u_3\right + \mu v_3 \end{matrix}\right.

 

obteniendo así las ecuaciones paramétricas del plano.

 

 

Ecuación general o implícita del plano

 

Un punto \displaystyle X  está en el plano \displaystyle \pi si tiene solución el sistema:

 

\displaystyle \begin{matrix} x-x_0= \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y-y_0=\lambda u_2 + \mu v_2\\ z-z_0=\lambda u_3\right + \mu v_3 \end{matrix}\right.

 

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas \displaystyle \lambda y \displaystyle \mu · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x-x_0 & u_1 & v_1 \\ y-y_0 & u_2 & v_2 \\ z-z_0 & u_3 & v_3 \end{vmatrix}=0

 

Desarrollamos el determinante.

 

\displaystyle \begin{vmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} \left ( x-x_0\right ) - \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} \left ( y-y_0\right ) + \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} \left ( z-z_0\right ) =0

 

y si asignamos los valores:

 

\displaystyle A= \begin{vmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} \hspace{2cm} B=- \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} \hspace{2cm} C= \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}

 

Sustituimos:

 

\displaystyle A\left ( x-x_0 \right )+B\left ( y-y_0 \right )+C\left ( z-z_0 \right )=0

 

si desarrollamos ahora llegamos a:

 

\displaystyle Ax+By+Cz-Ax_0-By_0-Cz_0=0

 

y con la siguiente igualdad:

 

\displaystyle D=-Ax_0-By_0-Cz_0

 

obtenemos la ecuación general de plano:

 

\displaystyle Ax+By+Cz+D=0

 

 

Vector normal

 

Vamos a construir la ecuación de un plano \displaystyle \pi  usando otros elementos.

Primero consideremos a un vector perpendicular al plano llamado vector normal \displaystyle \vec{n}=\left ( A,B,C \right ) , y además a un punto fijo del plano \displaystyle P=\left ( x_0,y_0,z_0 \right )

 

representacion plano con vector normal y punto fijo

 

Sea \displaystyle X=\left ( x,y,z \right )  cualquier punto del plano.

 

Construimos al vector dirigido de \displaystyle P  a \displaystyle X  de la misma forma que anteriormente lo hicimos:

 

\displaystyle \overrightarrow{PX}=X-P=\left ( x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right )

 

tal vector es perpendicular a \displaystyle \vec{n} ya que pertenece a \displaystyle \pi , y \displaystyle \vec{n} se consideró perpendicular a todo vector del plano.

 

Entonces, por ser perpendiculares ambos vectores, su producto escalar vale cero:

 

\displaystyle \overrightarrow{PX}\cdot \vec{n}=0

 

de este modo también se puede determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

 

 

Ecuación canónica o segmentaria del plano

 

Sean\displaystyle \vec{A}\left ( a,0,0 \right ) , \displaystyle \vec{B}\left ( 0,b,0 \right )\displaystyle \vec{C}\left ( 0,0,c \right ) tres vectores en el espacio por donde pasa el plano \displaystyle \pi   que se encuentran sobre los ejes de referencia.

 

 

representacion de los vectores A, B, y C en el espacio

 

 

Construyamos a la ecuación de \displaystyle \pi  en su forma canónica partiendo de su forma general.

Supongamos que tenemos a la ecuación en su forma general del plano \displaystyle \pi :

 

\displaystyle Ax+By+Cz+D=0

 

donde \displaystyle A , \displaystyle B , \displaystyle C y \displaystyle D  son todos números reales distintos de cero.

 

De la ecuación general restemos de ambos lados a \displaystyle D  y posteriormente dividamos a ambos lados entre \displaystyle D , quedando así el proceso:

 

\displaystyle \frac{Ax}{-D}+\frac{By}{-D}+\frac{Cz}{-D}=\frac{-D}{-D}

 

y si ahora estructuramos a las fracciones queda:

 

\displaystyle \frac{x}{\frac{-D}{A}}+\frac{y}{\frac{-D}{B}}+\frac{z}{\frac{-D}{C}}=1

 

donde los denominadores coinciden exactamente con los valores \displaystyle a , \displaystyle b  y \displaystyle c  de los vectores en el espacio que se mencionaron inicialmente, de esta manera si:

 

\displaystyle a=\frac{-D}{A}           \displaystyle b=\frac{-D}{B}       \displaystyle c=\frac{-D}{C}

 

entonces ya tenemos a la ecuación de \displaystyle \pi en su forma canónica:

 

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

 

recuerda que \displaystyle A , \displaystyle B  , \displaystyle C  y \displaystyle D  deben ser todos distintos de cero para evitar la indeterminación.

 

 

Ejercicios

 

1Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto \displaystyle A\left ( 1, 1, 1 \right ) y tiene como vectores directores a  \displaystyle \vec{u}\left (1,-1,1 \right ) \displaystyle \vec{v}\left (2,3,-1 \right ) .

 

Como tenemos a un punto del plano y a sus dos vectores directores, simplemente sustituimos los valores en las ecuaciones en su forma paramétrica del plano, quedando entonces:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=1+\lambda +2\mu \\ y=1-\lambda +3\mu \\ z=1+\lambda -\mu \end{matrix}\right.

 

para que ahora conozcamos a la ecuación del plano en forma implícita, proponemos a la siguiente igualdad y resolvemos el determinante:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x-1 &1 &2 \\ y-1& -1 &3 \\ z-1&1 &-1 \end{vmatrix}=0

 

quedando de esta manera la ecuación que buscamos:

 

\displaystyle -2x +3y+5z-6=0

 

2Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos \displaystyle A\left ( -1,2,3 \right ) y \displaystyle B\left ( 3,1,4 \right ) y contiene al vector \displaystyle \vec{u}\left (0,0,1 \right ) .

 

Primero consideremos al punto \displaystyle A\left ( -1,2,3 \right )  como el punto de referencia que pertenece al plano, posteriormente partiendo de \displaystyle A construyamos un vector dirigido hacia \displaystyle B con la operación \displaystyle B-A , teniendo así:

 

\displaystyle \overrightarrow{AB} =\left ( 3+1, 1-2, 4-3 \right )=\left ( 4,-1,1 \right )

 

que se puede usar como el otro vector director, para que de esta manera podamos sustituir todo en la ecuaciones en su forma paramétrica del plano:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=-1+4\lambda \\ y=2-\lambda \\ z=3+\lambda +\mu \end{matrix}\right.

 

las cuales podemos usar para plantear la siguiente igualdad, y si desarrollamos el determinante obtenemos la ecuación en su forma general:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x+1 &4 &0 \\ y-2& -1 &0 \\ z-3&1 &1 \end{vmatrix}=0 \\\\\\-x-4y+7=0

 

 

3Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos \displaystyle A\left ( -1,1,-1 \right ), \displaystyle B\left ( 0,1,1 \right ) y \displaystyle C\left ( 4,3,2 \right )

 

Consideremos al punto \displaystyle A como el punto de referencia que pertenece al plano, y partiendo de ahí construyamos a los dos vectores directores usando \displaystyle B-A y \displaystyle C-A respectivamente:

 

\displaystyle \overrightarrow{AB} =\left ( 0+1, 1-1, 1+1 \right )=\left ( 1,0,2 \right )

 

\displaystyle \overrightarrow{AC} =\left ( 4+1, -3-1, 2+1 \right )=\left ( 5,-4,3 \right )

 

Entonces, usando a \displaystyle A como el punto del plano y a los vectores directores construidos, podemos establecer las ecuaciones del plano en su forma paramétrica:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=-1+\lambda+5\mu\\ y=1-4\mu \\ z=-1+2\lambda +3\mu \end{matrix}\right.

 

y con esto ya podemos resolver el siguiente determinante (igualado con cero) y conocer a la ecuación del plano en su forma implícita o general:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x+1 &1&5 \\ y-1& 0 &-4 \\ z+1&2 &3 \end{vmatrix}=0 \\\\\\8x+7y-4z-3=0

 

4Sea \displaystyle \pi  el plano de ecuaciones paramétricas:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=-1+\lambda+\mu\\ y=2-\lambda+2\mu \\ z=4\lambda -3\mu \end{matrix}\right.

 

Se pide comprobar si los puntos \displaystyle A\left ( 2,1,\frac{9}{2} \right ) y \displaystyle B\left ( 0,9,-1 \right ) pertenecen al plano.

Primero encontremos  a la ecuación del plano, desarrollando el determinante siguiente:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x-1 &1 &1 \\ y-2& -1 &2 \\ z&4 &-3 \end{vmatrix}=0 \\\\\\-5x+7y+3z-9=0

 

Ahora que ya tenemos la ecuación del plano, sustituyamos los puntos \displaystyle A y \displaystyle B para saber si pertenecen al plano o no:

 

\displaystyle -5\cdot 2+7\cdot 1+3\cdot \frac{9}{2}-9\neq 0 \\\\\\ A\notin \pi

 

\displaystyle -5\cdot 0+7\cdot 9+3\cdot \left ( -1 \right )-9\neq 0 \\\\\\ B\notin \pi

 

concluyendo que al darnos un resultado distinto de cero, entonces ninguno pertenece al plano.

 

5Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos \displaystyle A\left ( 1,1,0 \right ), \displaystyle B\left ( 1,0,1 \right ) y \displaystyle C\left ( 0,1,1 \right )

 

Tomamos a el punto \displaystyle A como el punto de referencia que pasa por el plano y partiendo de él construimos a do vectores dirigidos tanto a \displaystyle B como a \displaystyle C , que nos servirán como vectores directores:

 

\displaystyle \vec{AB}\left (1-1,0-1,1-0 \right )=\left ( 0,-1,1 \right ) .

 

\displaystyle \vec{AC}\left (0-1,1-1,1-0 \right )=\left ( -1,0,1 \right ) .

 

y con ésta información establecemos la siguiente igualdad para que al desarrollar el determinante conozcamos la ecuación del plano:

 

\displaystyle \begin{vmatrix} x-1 &0 &-1 \\ y-1& -1 &0 \\ z&1 &1 \end{vmatrix}=0 \\\\\\-x-y-z+2=0

 

Ahora, restando \displaystyle  2 y dividiendo entre \displaystyle - 2  en ambos lados de la igualdad obtenemos la ecuación segmentaria:

 

\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1 .

 

6Hallar la ecuación de la recta \displaystyle r , que pasa por el punto\displaystyle \left ( 1,0,0 \right )  y es perpendicular al plano \displaystyle x − y − z + 2 = 0 .

 

Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano será el vector director de la recta que pasa por el punto \displaystyle \left ( 1,0,0 \right ).

El vector normal del plano se puede obtener de los coeficientes de las variables, es decir \displaystyle \left ( 1,-1,-1 \right ) y con esto podemos representar a la ecuación de la recta con la siguiente forma:

 

\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1} .

 

7Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto \displaystyle A\left ( 2,0,1 \right ) y contiene a la recta de ecuación:

 

\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{-1} .

 

De la ecuación de la recta obtenemos un punto \displaystyle B y el vector \displaystyle \vec{u} .

El punto \displaystyle B se puede obtener igualando con cero a cada uno de los denominadores para que la igualdad siempre se cumpla, de esta manera \displaystyle B\left ( 1,-3,0 \right ). El vector normal de la recta se obtiene de los denominadores \displaystyle u\left ( 2,1,-1 \right ).

Ahora construimos al vector director usando \displaystyle B-A\left ( -1,-3,-1 \right ) y podemos ocupar a u como el otro vector director:

 

\displaystyle B\left ( 1,-3,0 \right ) \ \vec{AB}\left (1-2,-3-0,0-1 \right )=\left ( -1,-3,-1 \right ) .

 

\displaystyle A\left ( 2,0,1 \right ) \ \vec{u} \left (2,1,-1 \right ) \ \vec{AB}= \left ( -1,-3,-1\right ) .

 

Significa que podemos encontrar a la ecuación del plano con el proceso que ya se ha mencionado, quedando el siguiente resultado \displaystyle 4x-3y+5z-13=0 .

 

 

 

 

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 3,94/5 - 17 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗