Capítulos
Alturas de un triángulo
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.
El ortocentro se expresa con la letra H.
Recta de Euler
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados, es decir, pertenecen a una misma recta, llamada recta de Euler.
Posición del ortocentro
La posición del ortocentro depende de la clasificación del triángulo según sus ángulos:
Acutángulo
En un triángulo acutángulo, el ortocentro se posiciona dentro del triángulo.
Obtusángulo
En un triángulo obtusángulo, el ortocentro se posiciona fuera del triángulo, ya que habrá algunas alturas en el exterior del triángulo.
Rectángulo
En un triángulo rectángulo, el ortocentro se posiciona en el vértice del ángulo recto.
Ejemplo de ejercicio resuelto
Hallar las ecuaciones de las alturas y el ortocentro del triángulo de vértices: 
, 
y 
.
Conocimientos necesarios:
Si tenemos una recta con pendiente 
que pasa por el punto 
su ecuación es:
A ésta se la llama la ecuación punto-pendiente.
Si tenemos una recta que pasa por los puntos y 
, su pendiente es:
Si dos rectas son perpendiculares entonces sus pendientes cumplen que:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Ecuación de la altura que pasa por el vértice A
Para poder calcular la ecuación de una recta debemos conocer su pendiente y un punto por el que pasa. En el caso de la altura que pasa por A no sabemos la pendiente que tiene, sin embargo sabemos que es perpendicular al lado opuesto (el lado BC). Así que primero hallamos la pendiente del lado BC.
Como la altura desde A y el lado BC son perpendiculares, sus pendientes cumplen que
Sustituimos 
y despejamos 
La altura que pasa por tiene pendiente . Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ecuación de la altura que pasa por el vértice B
Procedemos de manera análoga al caso anterior. Primero hallamos la pendiente del lado opuesto a B, el lado AC.
Como la altura desde B y el lado AC son perpendiculares, sus pendientes cumplen que
Sustituimos 
y despejamos 
La altura que pasa por 
tiene pendiente . Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ecuación de la altura que pasa por el vértice C
El lado opuesto a C es AB, y su pendiente es:
Como la altura desde C y el lado AB son perpendiculares, sus pendientes cumplen que
Sustituimos 
y despejamos 
La altura que pasa por 
tiene pendiente . Aplicamos la ecuación punto-pendiente
Ortocentro
El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.
Si te queda duda de cómo resolver éste sistema de ecuaciones te recomendamos nuestros artículos sobre el método de reducción, igualación o sustitución.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
En los ejercicios 7 y 8, trazar las rectas que pasan por el punto dado con la pendiente indicada. Dibujar en un mismo sistema de coordenadas.
Hola tu indicación es muy buena, vamos a ir mejorando para un mejor entendimiento.
Me puede ayudar con este problema
la pendiente de una recta que pasa por el punto A(3, 2) es igual a 3/4. situar dos puntos sobre esta recta que disten 5 unidades de A.
con su gráfica mas
Alguien me puede ayudar por favor necesito dar un examen para repasar y no me salen las respuestas
Hola con gusto te ayudamos, podrías mencionar específicamente con cual ejercicio podemos darte una mejor explicación.
Determinar las ecuaciones parametricas del plano x-2y+z-1=0
Hola, me sirvio mucho, con que informacion podria ponerlos como refernecia en mi proyecto?
Hola que bueno que la pagina te ayudo, podrías poner como pagina de internet «Materíal didactico-Superprof».
– Hallar la ecuación de la recta en su forma simétrica que tiene pendiente igual a 3/2 y que intersecta al eje «y» en (0.2)