Alturas de un triángulo

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

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Ortocentro

 

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.

 

ortocentro

 

El ortocentro se expresa con la letra H.

 

Recta de Euler

 

representación gráfica de la recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados, es decir, pertenecen a una misma recta, llamada recta de Euler.

 

Posición del ortocentro

La posición del ortocentro depende de la clasificación del triángulo según sus ángulos:

 

Acutángulo

En un triángulo acutángulo, el ortocentro se posiciona dentro del triángulo.

 

Obtusángulo

En un triángulo obtusángulo, el ortocentro se posiciona fuera del triángulo, ya que habrá algunas alturas en el exterior del triángulo.

 

Rectángulo

En un triángulo rectángulo, el ortocentro se posiciona en el vértice del ángulo recto.

 

Ejemplo de ejercicio resuelto

 

Hallar las ecuaciones de las alturas y el ortocentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

 

 

representación gráfica ecuaciones de las alturas

 

 

Conocimientos necesarios:

 

Si tenemos una recta con pendiente m que pasa por el punto (x_1,y_1) su ecuación es:

 

y-y_1=m(x-x_1)

 

A ésta se la llama la ecuación punto-pendiente.

 

Si tenemos una recta que pasa por los puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2), su pendiente es:

 

\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

 

Si dos rectas son perpendiculares entonces sus pendientes cumplen que:

 

m\cdot m'=-1

 

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

 

Ecuación de la altura que pasa por el vértice A

 

Para poder calcular la ecuación de una recta debemos conocer su pendiente y un punto por el que pasa. En el caso de la altura que pasa por A no sabemos la pendiente que tiene, sin embargo sabemos que es perpendicular al lado opuesto (el lado BC). Así que primero hallamos la pendiente del lado BC.

 

\displaystyle m_{BC}=\frac{-2-1}{-3-0}=1

 

Como la altura desde A y el lado BC son perpendiculares, sus pendientes cumplen que

 

 m_A\cdot m_{BC} =-1

 

Sustituimos m_{BC} y despejamos m_A

 

 m_A\cdot 1 =-1

 

 m_A=-1

 

La altura que pasa por A(2, 0) tiene pendiente m_A=-1. Aplicamos la ecuación punto-pendiente

 

y-0=-(x-2) \hspace{2cm} x+y-2=0

 

Ecuación de la altura que pasa por el vértice B

 

Procedemos de manera análoga al caso anterior. Primero hallamos la pendiente del lado opuesto a B, el lado AC.

 

\displaystyle m_{AC}=\frac{-2-0}{-3-2}=\frac{2}{5}

 

Como la altura desde B y el lado AC son perpendiculares, sus pendientes cumplen que

 

 m_B\cdot m_{AC} =-1

 

Sustituimos m_{AC} y despejamos m_B

 

\displaystyle m_B\cdot \left(\frac{2}{5}\right) =-1

 

\displaystyle m_B=-\frac{5}{2}

 

La altura que pasa por B(2, 0) tiene pendiente \displaystyle m_B=-\frac{5}{2}. Aplicamos la ecuación punto-pendiente

 

\displaystyle y+1=-\frac{5}{2}(x-0) \hspace{2cm} 5x+2y-2=0

 

Ecuación de la altura que pasa por el vértice C

 

El lado opuesto a C es AB, y su pendiente es:

 

\displaystyle m_{AB}=\frac{1-0}{0-2}=-\frac{1}{2}

 

Como la altura desde C y el lado AB son perpendiculares, sus pendientes cumplen que

 

\displaystyle m_C\cdot m_{AB} =-1

 

Sustituimos m_{AB} y despejamos m_C

 

\displaystyle m_C\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) =-1

 

 m_C=2

 

La altura que pasa por C(2, 0) tiene pendiente m_C=2. Aplicamos la ecuación punto-pendiente

 

y+2=2(x+3) \hspace{2cm} 2x-y+4=0

 

Ortocentro

 

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

 

\displaystyle  \begin{cases} 2x-y=-4 \\ x+y=2 \end{cases} \hspace{2cm} H\left(-\frac{2}{3},\frac{8}{3}\right)

 

Si te queda duda de cómo resolver éste sistema de ecuaciones te recomendamos nuestros artículos sobre el método de reducción, igualación o sustitución.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗