Punto medio y sus coordenadas

El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.

Sean A(x_1, y_1, z_1) y B(x_2, y_2, z_2) los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:

     \[ M \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \]

Segmento y su punto medio

 

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Vamos

Ejemplos para el calculo del punto medio

1 Dados los puntos A(3, -2, 5) y B(3, 1, 7), hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.

Utilizando la formula de las coordenadas del punto medio tendremos

     \[ M \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) = M \left(\frac{3 + 3}{2}, \frac{-2 + 1}{2}, \frac{5 + 7}{2}\right)) \]

entonces

     \[ M(3, - \frac{1}{2}, 6) \]

 

2Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.

Paralelogramo con vértices y centro indicados

Observemos que M es el punto medio entre los vértices A y C, pero también es el punto medio entre los vértices B y D.

Al ser punto medio debe cumplir con la formula de las coordenadas del punto medio, utilizaremos esta para calcular los vértices restantes.

Vértice C:

     \[ (0,0,1)=\left(\frac{1+x_{C}}{2}, \quad \frac{0+y_{C}}{2}, \quad \frac{0+z_{C}}{2}\right) \]

entonces

     \[ 0=\frac{1+x_{C}}{2} \ \quad \ 0=\frac{0+y_{C}}{2} \ \quad \ 1=\frac{0+z_{C}}{2}\]

Por lo tanto

     \[ x_C = -1 \quad \quad y_C = 0 \quad \quad z_C = 2 \]

es decir, el vértice C es (-1,0,2).

Vértice D:

     \[ (0,0,1)=\left(\frac{0+x_{D}}{2}, \quad \frac{1+y_{D}}{2}, \quad \frac{0+z_{D}}{2}\right) \]

entonces

     \[ 0=\frac{0+x_{D}}{2} \ \quad \ 0=\frac{1+y_{D}}{2} \ \quad \ 1=\frac{0+z_{D}}{2} \]

Por lo tanto

     \[ x_D = 0 \quad \quad y_D = -1 \quad \quad z_D = 2 \]

y de aquí tendremos que D(0,-1,2).

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗