Rectas definidas por un punto y un vector

 

Si la recta {r} viene determinada por {A(x_1,y_1,z_1)} y {\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)} y la recta {s} por {B(x_2,y_2,z_2)} y {\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)} , la posición relativa de {r} y {s} viene dada por la posición de {\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u}} y {\overrightarrow{v}}.

 

Si se cumple que

 

{\displaystyle\frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}=\frac{u_3}{v_3}}

 

entonces, hay dos posibilidades:

 

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Rectas coincidentes

 

Si se cumple lo siguiente,

 

{\displaystyle\frac{x_2-x_1}{u_1}=\frac{y_2-y_1}{u_2}=\frac{z_2-z_1}{u_3}}

 

entonces las rectas son coincidentes.

 

Las rectas coincidentes son dos líneas rectas que se ubican en un mismo plano, tienen todos sus puntos en común, es decir, se ubican una sobre la otra

 

Grafica de rectas coincidentes

 

Rectas paralelas

 

Si se cumple lo siguiente,

 

{\displaystyle\frac{x_2-x_1}{u_1}\neq \frac{y_2-y_1}{u_2} \ \ \ \mbox{\'o} \ \ \ \displaystyle\frac{x_2-x_1}{u_1}\neq \frac{z_2-z_1}{u_3}}

 

entonces las rectas son paralelas.

 

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes.

 

grafica de dos rectas paralelas

 

Cuando ocurre lo siguiente,

 

{\displaystyle\frac{u_1}{v_1}\neq \frac{u_2}{v_2} \neq \frac{u_3}{v_3}}

 

existen otras dos posibilidades:

 

Rectas secantes

 

Una recta se dice secante de otra si se cumple lo siguiente,

 

{\left |\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & u_1 & v_1 \\ y_2-y_1 & u_2 & v_2 \\ z_2-z_1 & u_3 & v_3 \end{array}\right | =0}

 

Ejemplo de rectas secantes grafica

 

Rectas que se cruzan

 

Dos rectas se llamarán "Rectas que se cruzan" si se cumple lo siguiente

 

{\left |\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & u_1 & v_1 \\ y_2-y_1 & u_2 & v_2 \\ z_2-z_1 & u_3 & v_3 \end{array}\right | \neq 0}

 

Esto ocurre cuando dos rectas no están en el mismo plano , pero sus proyecciones se cruzan.

 

grafica de rectas que se cruzan

 

Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas

 

{r \equiv \left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \end{array}\right .}

 

{s \equiv \left \{\begin{array}{l}A_3 x+B_3 y +C_3 z +D_3 =0 \\ A_4 x+B_4 y +C_4 z +D_4 =0  \end{array}\right .}

 

Sean:

 

{r=} rango de la matriz de los coeficientes.

 

{r'=} rango de la matriz ampliada.

 

Las posiciones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:

 

Posición {r} {r'}
Cruzadas 3 4
Secantes 3 3
Paralelos 2 3
Coincidentes 2 2

 

Posiciones relativas de una recta y un plano

 

1. La recta viene definida por un punto y un vector

 

Sea una recta definida por el punto {A} y el vector  {\vec{u}}  y un plano cuyo vector normal es {\vec{n}}. Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

 

Posición {\vec{u}\cdot \vec{n}} {A}
Recta contenida en el plano = 0 {\in \Pi}
Recta y plano paralelos = 0 {\notin \Pi}
Recta y plano secantes 0

 

2. La recta viene definida por dos planos secantes

 

Sea la recta:

 

{r \equiv \left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \end{array}\right .}

 

y el plano:

 

{\Pi \equiv A_3 x + B_3 y +C_3 z + D_3=0}

 

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

 

{\left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \\ A_3 x+B_3 y +C_3 z +D_3 =0 \end{array}\right .}

 

Si:

 

{r=} rango de la matriz de los coeficientes.

 

{r'=} rango de la matriz ampliada.

 

Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:

 

Posición {r} {r'}
Recta contenida en el plano 2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3

 

Posiciones relativas de dos planos

 

Dados los planos:

 

{\Pi_1 \equiv A x + B y +C z + D=0}

 

{\Pi _2\equiv A' x + B' y +C' z + D'=0}

 

Y sean:

 

{r=} rango de la matriz de los coeficientes.

 

{r'=} rango de la matriz ampliada.

 

Las posiciones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

 

{r} {r'} Posición
2 2 {\displaystyle\frac{A}{A'}\neq \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'}} Secantes
1 2 {\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}} Paralelos
1 1 {\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}} Coincidentes

 

Posiciones relativas de tres planos

 

Para estudiar la posición relativa de tres planos discutimos el sistema:

 

{\left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \\ A_3 x+B_3 y +C_3 z +D_3 =0 \end{array}\right .}

 

Y sean:

 

{r=} rango de la matriz de los coeficientes.

 

{r'=} rango de la matriz ampliada.

 

Las posiciones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:

 

{r} {r'} Posición
3 3 1. Planos secantes en un punto
2 3
{\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}}
2.1 Planos secantes dos a dos.
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.
2 2
{\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}}
3.1 Planos secantes y distintos.
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.
1 2
{\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}}
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.
1 1 5. Planos coincidentes.

Ejemplos

 

Hallar la posición relativa de las rectas {r} y {s}.

 

1 {r\equiv \displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}, \ \ \ \ \  s\equiv \displaystyle\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}}

 

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

 

{\left \{\begin{array}{r}x-2y-1 =0 \\ y-z+1=0 \\  x+y =0 \\ x+z=0 \end{array}\right .}

 

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

 

{M=\left (\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right | \neq 0,  \ \ \ \ \ r=3}

 

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

 

{M'=\left (\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right | \neq 0,  \ \ \ \ \ r'=4}

 

Comparamos los rangos

 

Verificamos la tabla y concluimos que las dos rectas se cruzan.

 

2 {r\equiv \left\{\begin{array}{c}x+y+z-3=0 \\ 2x-y+z-2=0 \end{array}\right ., \ \ \ \ \ s\equiv \displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}}

 

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

 

{\left \{\begin{array}{r}x+y+z-3=0 \\ 2x-y+z-2=0 \\  x-2y+1 =0 \\ 3x-2z-1=0 \end{array}\right .}

 

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

 

{M=\left (\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right | \neq 0,  \ \ \ \ \ r=3}

 

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

 

{M'=\left (\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right | = 0,  \ \ \ \ \ r'=3}

 

Comparamos los rangos.

 

Verificamos la tabla y concluimos que las dos rectas se cruzan.

 

Comparamos los rangos.

 

Verificamos la tabla y concluimos que las dos rectas son secantes.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗