Name: ¿Cuales son las posiciones relativas de dos rectas?
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Temas

Rectas definidas por un punto y un vector
Rectas coincidentes
Rectas paralelas
Rectas secantes
Rectas que se cruzan
Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas
Posiciones relativas de una recta y un plano
Posiciones relativas de dos planos
Posiciones relativas de tres planos
Ejemplos

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta ${r}$ viene determinada por ${A(x_1,y_1,z_1)}$ y ${\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)}$ y la recta ${s}$ por ${B(x_2,y_2,z_2)}$ y ${\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)}$ , la posición relativa de ${r}$ y ${s}$ viene dada por la posición de ${\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u}}$ y ${\overrightarrow{v}}$ .

Si se cumple que

${\displaystyle\frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}=\frac{u_3}{v_3}}$

entonces, hay dos posibilidades:

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Rectas coincidentes

Si se cumple lo siguiente,

${\displaystyle\frac{x_2-x_1}{u_1}=\frac{y_2-y_1}{u_2}=\frac{z_2-z_1}{u_3}}$

entonces las rectas son coincidentes.

Las rectas coincidentes son dos líneas rectas que se ubican en un mismo plano, tienen todos sus puntos en común, es decir, se ubican una sobre la otra

Rectas paralelas

Si se cumple lo siguiente,

${\displaystyle\frac{x_2-x_1}{u_1}\neq \frac{y_2-y_1}{u_2} \ \ \ \mbox{\'o} \ \ \ \displaystyle\frac{x_2-x_1}{u_1}\neq \frac{z_2-z_1}{u_3}}$

entonces las rectas son paralelas.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes.

Cuando ocurre lo siguiente,

${\displaystyle\frac{u_1}{v_1}\neq \frac{u_2}{v_2} \neq \frac{u_3}{v_3}}$

existen otras dos posibilidades:

Rectas secantes

Una recta se dice secante de otra si se cumple lo siguiente,

${\left |\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & u_1 & v_1 \\ y_2-y_1 & u_2 & v_2 \\ z_2-z_1 & u_3 & v_3 \end{array}\right | =0}$

Rectas que se cruzan

Dos rectas se llamarán "Rectas que se cruzan" si se cumple lo siguiente

${\left |\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & u_1 & v_1 \\ y_2-y_1 & u_2 & v_2 \\ z_2-z_1 & u_3 & v_3 \end{array}\right | \neq 0}$

Esto ocurre cuando dos rectas no están en el mismo plano , pero sus proyecciones se cruzan.

Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas

${r \equiv \left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \end{array}\right .}$

${s \equiv \left \{\begin{array}{l}A_3 x+B_3 y +C_3 z +D_3 =0 \\ A_4 x+B_4 y +C_4 z +D_4 =0 \end{array}\right .}$

Sean:

${r=}$ rango de la matriz de los coeficientes.

${r'=}$ rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:


Posición	${r}$	${r'}$
Cruzadas	$3$	$4$
Secantes	$3$	$3$
Paralelos	$2$	$3$
Coincidentes	$2$	$2$

Posiciones relativas de una recta y un plano

1. La recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto ${A}$ y el vector ${\vec{u}}$ y un plano cuyo vector normal es ${\vec{n}}$ . Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición	${\vec{u}\cdot \vec{n}}$	${A}$
Recta contenida en el plano	= $0$	${\in \Pi}$
Recta y plano paralelos	= $0$	${\notin \Pi}$
Recta y plano secantes	≠ $0$

2. La recta viene definida por dos planos secantes

Sea la recta:

${r \equiv \left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \end{array}\right .}$

y el plano:

${\Pi \equiv A_3 x + B_3 y +C_3 z + D_3=0}$

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

${\left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \\ A_3 x+B_3 y +C_3 z +D_3 =0 \end{array}\right .}$

Si:

${r=}$ rango de la matriz de los coeficientes.

${r'=}$ rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:


Posición	${r}$	${r'}$
Recta contenida en el plano	$2$	$2$
Recta y plano paralelos	$2$	$3$
Recta y plano secantes	$3$	$3$

Posiciones relativas de dos planos

Dados los planos:

${\Pi_1 \equiv A x + B y +C z + D=0}$

${\Pi _2\equiv A' x + B' y +C' z + D'=0}$

Y sean:

${r=}$ rango de la matriz de los coeficientes.

${r'=}$ rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

${r}$	${r'}$		Posición
$2$	$2$	${\displaystyle\frac{A}{A'}\neq \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'}}$	Secantes
$1$	$2$	${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}}$	Paralelos
$1$	$1$	${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}}$	Coincidentes

Posiciones relativas de tres planos

Para estudiar la posición relativa de tres planos discutimos el sistema:

${\left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \\ A_3 x+B_3 y +C_3 z +D_3 =0 \end{array}\right .}$

Y sean:

${r=}$ rango de la matriz de los coeficientes.

${r'=}$ rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:

${r}$

${r'}$

Posición

$3$

1. Planos secantes en un punto

$2$

$3$

${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}}$

2.1 Planos secantes dos a dos.

2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.

$2$

${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}}$

3.1 Planos secantes y distintos.

3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.

$1$

$2$

${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}}$

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.

4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.

$1$

5. Planos coincidentes.

Ejemplos

Hallar la posición relativa de las rectas ${r}$ y ${s}$ .

1 ${r\equiv \displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}, \ \ \ \ \ s\equiv \displaystyle\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}}$

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

${\left \{\begin{array}{r}x-2y-1 =0 \\ y-z+1=0 \\ x+y =0 \\ x+z=0 \end{array}\right .}$

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

${M=\left (\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right | \neq 0, \ \ \ \ \ r=3}$

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

${M'=\left (\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right | \neq 0, \ \ \ \ \ r'=4}$

Comparamos los rangos

Verificamos la tabla y concluimos que las dos rectas se cruzan.

2 ${r\equiv \left\{\begin{array}{c}x+y+z-3=0 \\ 2x-y+z-2=0 \end{array}\right ., \ \ \ \ \ s\equiv \displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}}$

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

${\left \{\begin{array}{r}x+y+z-3=0 \\ 2x-y+z-2=0 \\ x-2y+1 =0 \\ 3x-2z-1=0 \end{array}\right .}$

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

${M=\left (\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right | \neq 0, \ \ \ \ \ r=3}$

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

${M'=\left (\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right | = 0, \ \ \ \ \ r'=3}$

Comparamos los rangos.

Verificamos la tabla y concluimos que las dos rectas se cruzan.

Comparamos los rangos.

Verificamos la tabla y concluimos que las dos rectas son secantes.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Harley

Noviembre 2020

Excelente, todo es muy claro y preciso ¡Gracias!

Superprof

Noviembre 2020

Gracias Harley 🙂

Observador

Noviembre 2019

Simplemente señalar un pequeño error en la tabla sobre recta definida por un punto y un vector, en la segunda fila «Recta y plano paralelos» debería poner que A no pertenece al plano pi.
Un saludo

Superprof

Marzo 2020

Gracias por su comentario, hemos actualizado la página.¡Un saludo!