Name: ¿Cuales son las posiciones relativas de dos rectas?
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Temas

Rectas definidas por un punto y un vector
Rectas coincidentes
Rectas paralelas
Rectas secantes
Rectas que se cruzan
Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas
Posiciones relativas de una recta y un plano
Posiciones relativas de dos planos
Posiciones relativas de tres planos
Ejemplos

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta ${r}$ viene determinada por ${A(x_1,y_1,z_1)}$ y ${\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)}$ y la recta ${s}$ por ${B(x_2,y_2,z_2)}$ y ${\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)}$ , la posición relativa de ${r}$ y ${s}$ viene dada por la posición de ${\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u}}$ y ${\overrightarrow{v}}$ .

Si se cumple que

${\displaystyle\frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}=\frac{u_3}{v_3}}$

entonces, hay dos posibilidades:

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Rectas coincidentes

Si se cumple lo siguiente,

${\displaystyle\frac{x_2-x_1}{u_1}=\frac{y_2-y_1}{u_2}=\frac{z_2-z_1}{u_3}}$

entonces las rectas son coincidentes.

Las rectas coincidentes son dos líneas rectas que se ubican en un mismo plano, tienen todos sus puntos en común, es decir, se ubican una sobre la otra

Grafica de rectas coincidentes

Rectas paralelas

Si se cumple lo siguiente,

${\displaystyle\frac{x_2-x_1}{u_1}\neq \frac{y_2-y_1}{u_2} \ \ \ \mbox{\'o} \ \ \ \displaystyle\frac{x_2-x_1}{u_1}\neq \frac{z_2-z_1}{u_3}}$

entonces las rectas son paralelas.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes.

grafica de dos rectas paralelas

Cuando ocurre lo siguiente,

${\displaystyle\frac{u_1}{v_1}\neq \frac{u_2}{v_2} \neq \frac{u_3}{v_3}}$

existen otras dos posibilidades:

Rectas secantes

Una recta se dice secante de otra si se cumple lo siguiente,

${\left |\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & u_1 & v_1 \\ y_2-y_1 & u_2 & v_2 \\ z_2-z_1 & u_3 & v_3 \end{array}\right | =0}$

Ejemplo de rectas secantes grafica

Rectas que se cruzan

Dos rectas se llamarán "Rectas que se cruzan" si se cumple lo siguiente

${\left |\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & u_1 & v_1 \\ y_2-y_1 & u_2 & v_2 \\ z_2-z_1 & u_3 & v_3 \end{array}\right | \neq 0}$

Esto ocurre cuando dos rectas no están en el mismo plano , pero sus proyecciones se cruzan.

grafica de rectas que se cruzan

Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas

${r \equiv \left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \end{array}\right .}$

${s \equiv \left \{\begin{array}{l}A_3 x+B_3 y +C_3 z +D_3 =0 \\ A_4 x+B_4 y +C_4 z +D_4 =0 \end{array}\right .}$

Sean:

${r=}$ rango de la matriz de los coeficientes.

${r'=}$ rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:


Posición	${r}$	${r'}$
Cruzadas	$3$	$4$
Secantes	$3$	$3$
Paralelos	$2$	$3$
Coincidentes	$2$	$2$

Posiciones relativas de una recta y un plano

1. La recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto ${A}$ y el vector ${\vec{u}}$ y un plano cuyo vector normal es ${\vec{n}}$ . Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición	${\vec{u}\cdot \vec{n}}$	${A}$
Recta contenida en el plano	= $0$	${\in \Pi}$
Recta y plano paralelos	= $0$	${\notin \Pi}$
Recta y plano secantes	≠ $0$

2. La recta viene definida por dos planos secantes

Sea la recta:

${r \equiv \left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \end{array}\right .}$

y el plano:

${\Pi \equiv A_3 x + B_3 y +C_3 z + D_3=0}$

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

${\left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \\ A_3 x+B_3 y +C_3 z +D_3 =0 \end{array}\right .}$

Si:

${r=}$ rango de la matriz de los coeficientes.

${r'=}$ rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:


Posición	${r}$	${r'}$
Recta contenida en el plano	$2$	$2$
Recta y plano paralelos	$2$	$3$
Recta y plano secantes	$3$	$3$

Posiciones relativas de dos planos

Dados los planos:

${\Pi_1 \equiv A x + B y +C z + D=0}$

${\Pi _2\equiv A' x + B' y +C' z + D'=0}$

Y sean:

${r=}$ rango de la matriz de los coeficientes.

${r'=}$ rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

${r}$	${r'}$		Posición
$2$	$2$	${\displaystyle\frac{A}{A'}\neq \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'}}$	Secantes
$1$	$2$	${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}}$	Paralelos
$1$	$1$	${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}}$	Coincidentes

Posiciones relativas de tres planos

Para estudiar la posición relativa de tres planos discutimos el sistema:

${\left \{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y +C_1 z +D_1 =0 \\ A_2 x+B_2 y +C_2 z +D_2 =0 \\ A_3 x+B_3 y +C_3 z +D_3 =0 \end{array}\right .}$

Y sean:

${r=}$ rango de la matriz de los coeficientes.

${r'=}$ rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:

${r}$

${r'}$

Posición

$3$

1. Planos secantes en un punto

$2$

$3$

${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}}$

2.1 Planos secantes dos a dos.

2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.

$2$

${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}}$

3.1 Planos secantes y distintos.

3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.

$1$

$2$

${\displaystyle\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}}$

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.

4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.

$1$

5. Planos coincidentes.

Ejemplos

Hallar la posición relativa de las rectas ${r}$ y ${s}$ .

1 ${r\equiv \displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}, \ \ \ \ \ s\equiv \displaystyle\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}}$

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

${\left \{\begin{array}{r}x-2y-1 =0 \\ y-z+1=0 \\ x+y =0 \\ x+z=0 \end{array}\right .}$

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

${M=\left (\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right | \neq 0, \ \ \ \ \ r=3}$

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

${M'=\left (\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right | \neq 0, \ \ \ \ \ r'=4}$

Comparamos los rangos

Verificamos la tabla y concluimos que las dos rectas se cruzan.

2 ${r\equiv \left\{\begin{array}{c}x+y+z-3=0 \\ 2x-y+z-2=0 \end{array}\right ., \ \ \ \ \ s\equiv \displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}}$

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

${\left \{\begin{array}{r}x+y+z-3=0 \\ 2x-y+z-2=0 \\ x-2y+1 =0 \\ 3x-2z-1=0 \end{array}\right .}$

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

${M=\left (\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right | \neq 0, \ \ \ \ \ r=3}$

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

${M'=\left (\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right ), \ \ \ \ \ \left |\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right | = 0, \ \ \ \ \ r'=3}$

Comparamos los rangos.

Verificamos la tabla y concluimos que las dos rectas se cruzan.

Comparamos los rangos.

Verificamos la tabla y concluimos que las dos rectas son secantes.

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Marta

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Invité

18 Nov.

Simplemente señalar un pequeño error en la tabla sobre recta definida por un punto y un vector, en la segunda fila «Recta y plano paralelos» debería poner que A no pertenece al plano pi.
Un saludo

Superprof
Administrateur

2 Mar.

Gracias por su comentario, hemos actualizado la página.¡Un saludo!

Las posiciones relativas de dos rectas

Rectas definidas por un punto y un vector

Rectas coincidentes

Rectas paralelas

Rectas secantes

Rectas que se cruzan

Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas

Posiciones relativas de una recta y un plano

1. La recta viene definida por un punto y un vector

2. La recta viene definida por dos planos secantes

Posiciones relativas de dos planos

Posiciones relativas de tres planos

Ejemplos

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Resumen

Resumen de Ecuaciones de la recta

Resumen de Ecuación de la recta II

Teoría

Incidencia

Ecuacion canonica

Ecuación continua de la recta

Ecuación explícita de la recta

Rectas paralelas a los ejes de coordenadas

Ecuaciones parametricas de la recta

Ecuaciones punto-pendiente de una recta

Ecuacion de la recta en forma explicita

Rectas paralelas a los ejes

Ángulo que forman dos rectas

Incidencia de un punto y una recta

Calculo de la distancia de un punto a una recta

Ecuación de la mediatriz

Ecuaciones de las bisectrices

Ecuaciones de la recta en el espacio

¿Cuales son las ecuaciones del plano?

Puntos en el espacio

Posiciones relativas de una recta y un plano

Posicion relativa de dos planos

Posicion relativa de tres planos

Haz de planos

Ecuacion general de la recta

Rectas perpendiculares y paralelas

Rectas paralelas

Posicion relativa de dos rectas II

La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

Ecuacion vectorial de la recta

Fórmulas

Vector normal

Paralelismo de rectas

Incidencia de puntos y rectas

Ecuación del plano

Ecuación de la recta

Punto medio

Lugares geométricos

Ortocentro

Circuncentro

Puntos y vectores coplanarios

Ecuación de los ejes coordenados

Bisectrices de un triángulo

Pendiente de una recta

Rectas perpendiculares

Ecuaciones medianas y baricentro de un triangulo

Haz de rectas

Coordenadas del baricentro de un triangulo

Puntos alineados

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Distancia y ángulo entre rectas

Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

Área de un triángulo

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de incidencia

Ejercicios posicion relativa dos rectas

Problemas interactivos: ecuacion de la recta

Problemas interactivos de la ecuación de la recta I

Ejercicios interactivos de ecuación de la recta II

Ejercicios interactivos: ecuacion de la recta III

Ejercicios interactivos de rectas paralelas

Ejercicios interactivos: ecuacion de la recta I

Ejercicios interactivos de rectas paralelas a los ejes

Ejercicios interactivos de rectas perpendiculares

Otros ejercicios

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