Rectas paralelas

 

Observa la siguiente figura con dos rectas paralelas. Si las rectas r y s son paralelas, entonces escribimos r \parallel s.

 

representación gráfica de rectas paralelas

 

Según los vectores directores: Dos rectas son paralelas si el vector director de una es el vector director de la segunda, multiplicado por un número a \neq 0. Es decir,

 

\displaystyle \vec{u} = a \vec{v}

 

De esta manera, si \vec{u} = (u_1, u_2) y \vec{v} = (v_1, v_2) = (au_1, au_2), entonces las rectas serán paralelas si

 

\displaystyle \frac{v_1}{v_2} = \frac{au_1}{au_2} = \frac{u_1}{u_2}

 

Esta es una forma de determinar si dos rectas son paralelas a partir de sus vectores directores.

 

Según la pendiente de las rectas: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, es decir,

 

\displaystyle m_r = m_s

 

Como la pendiente de una recta Ax + By + C = 0 se calcula mediante m = - A / B, entonces dos rectas

 

    \begin{align*} s: A_1 x + B_1 y + C_1 & = 0\\ r: A_2 x + B_2 y + C_2 & = 0 \end{align*}

 

Serán paralelas si se cumple que,

 

\displaystyle m_1 = -\frac{A_1}{B_1} = - \frac{A_2}{B_2} = m_2

 

Es decir, —después de cancelar el signo—,

 

\displaystyle \frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2}

 

La cual es la manera de determinar que dos rectas son paralelas a partir de su ecuación general.

 

Ahora observa las siguientes rectas perpendiculares. Las rectas perpendiculares forman un ángulo de 90^{\circ} entre ellas. Asimismo, si r y s son perpendiculares, entonces escribimos r \perp s.

 

representación gráfica de rectas perpendiculares

 

Según los vectores directores: Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares:

 

\displaystyle \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = 0

 

El cual representa el producto interior de \vec{v_r} y \vec{v_s}.

 

Según la pendiente de las rectas: Por otro lado, si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es igual a -1. Es decir,

 

\displaystyle m_s \cdot m_r = -1

Lo cual es equivalente a que

 

\displaystyle \left( - \frac{A_1}{B_1} \right) \cdot \left( - \frac{A_2}{B_2} \right)  = -1

 

Es decir,

 

\displaystyle - \frac{A_1}{B_1}  = \frac{B^2}{A_2}

 

Esta es una manera de determinar que dos rectas son perpendiculares.

 

Ejemplos de problemas con rectas paralelas y perpendiculares

 

1 Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r: x + 2y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3, 5).

 

Solución: Primero determinaremos la recta paralela s. Se debe tener que

 

\displaystyle m_r = m_s = -\frac{1}{2}

 

De esta forma, la ecuación punto-pendiente de s está dada por

 

\displaystyle y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 3)

 

Por lo que, al despejar para escribir en su forma normal tenemos

 

\displaystyle x + 2y - 13 = 0

 

Ahora buscaremos la recta perpendicular t. En este caso debemos tener que

 

\displaystyle m_r \cdot m_t = -1 \qquad \to \qquad m_t = -\frac{1}{m_r} = 2

 

De esta forma, la ecuación punto-pendiente de t está dada por,

 

\displaystyle y - 5 = 2(x -3)

 

Al despejar, obtenemos,

 

\displaystyle 2x - y - 1 = 0

 

2 Calcula el valor de k para que las rectas r: x + 2y - 3 = 0, y s : x - ky + 4 = 0 sean paralelas. Asimiso, encuentra el valor de k, pero ahora paras que las rectas sean perpendiculares.

 

Solución: Tenemos que las pendientes de las rectas son

 

\displaystyle m_r = -\frac{1}{2}, \qquad m_s = \frac{1}{k}

 

De este modo, si queremos que las rectas sean paralelas, debemos tener que

 

\displaystyle -\frac{1}{2} = \frac{1}{k}

 

Que al despejar, obtenemos

 

\displaystyle k = -2

 

Por otro lado, si deseamos que las rectas sean perpendiculares, entonces,

 

\displaystyle m_r \cdot m_s = -1

 

Es decir,

 

\displaystyle -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{k} = -1

 

Que al despejar, tenemos que

 

\displaystyle k = \frac{1}{2}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗