1Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-2,5).

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

 

Solución:

 

Tenemos que la recta para por los puntos A(1,2) y B(-2,5). Por lo tanto, el vector que une estos dos puntos es:

 

\overrightarrow{AB}=(-3,3)

 

Con estos datos ya podemos obtener las ecuaciones de la recta (las fórmulas se pueden consultar en nuestro artículo "Resumen de ecuaciones de la recta").

 

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos:

 

\displaystyle \frac{x-1}{-2-1}=\frac{y-2}{5-2}

 

Ecuación vectorial:

 

( x,y )=(1,2)+k\cdot (-3,3)

 

Ecuaciones paramétricas:

 

\left\{\begin{matrix} x=1-3k\\ y=2+3k \end{matrix}\right

 

Ecuación continua:

 

\cfrac{x-1}{-3}=\cfrac{y-2}{3}

 

Ecuación general:

 

x+y-3=0

 

Ecuación explícita:

 

y=-x+3

 

Ecuación punto-pendiente:

 

y-2=-1\cdot (x-1)

2De un paralelogramo ABCD conocemos A(1,3), B(5,1), C(-2,0). Halla las coordenadas del vértice D.

De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.

 

Solución:

 

Antes de encontrar las coordenadas del vértices observemos la siguiente figura:

 

representación gráfica de un paralelogramo abcd

 

Sabemos que el vector que va de D a A debe ser igual al vector que va de C a B, es decir:

 

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

 

Realizamos los cálculos:

 

\displaystyle ( x_{D}-1,y_{D}-3 )=( -2-5,0-1 )

 

donde x_D es la coordenada x del punto D, y y_D es su coordenada y. De este modo, tenemos:

 

x_{D}-1=-7, \qquad y_{D}-3=-1

 

Por lo tanto, el punto D es

 

D=( -6,2 )

3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6,0), B(3,0) y C(6,3)

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0) y C(6, 3).

 

Solución:

 

Para clasicar el triángulo primero debemos calcular la distancia de cada uno de sus lados. Eso lo hacemos de la siguiente manera:

 

d( \overline{AB} )=\sqrt{ ( 3-6 )^{2} + ( 0-0 )^{2}}=3
d ( \overline{BC} )=\sqrt{ ( 6-3 )^{2}+ ( 3-0 )^{2}}=3\sqrt{2}
d ( \overline{AC} )=\sqrt{ ( 6-6 )^{2}+ ( 3-0 )^{2}}=3

 

Notemos que se cumple que:

 

d ( \overline{AB} )=d ( \overline{BC} )\neq d ( \overline{AC} )

 

Por lo tanto, el triángulo es isósceles. Además, se cumple también que

 

[ d (\overline{BC} ) ]^{2}= [ d (\overline{AB} ) ]^{2} + [ d(\overline{AC} ) ]^{2}

 

De manera que el triángulo también es rectángulo. Esto se puede apreciar en la siguiente figura:

 

representacion grafica de triangulo en problema de la recta

4Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x+2y-7=0.

Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta: 3x+2y-7=0.

 

Solución:

 

Tenemos la ecuación 3x+2y-7=0. Despejamos y de la ecuación:

 

\displaystyle y=-\cfrac{3}{2}x+\cfrac{7}{2}

 

A partir de aquí podemos ver que la pendiente es:

 

\displaystyle m=-\cfrac{3}{2},

 

Mientras que la ordenada al origen es:

 

\displaystyle b=\cfrac{7}{2}

5 Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

a 2x+3y-4=0

b 4x+6y-8=0

c 2x+3y+9=0

d 3x-2y-9=0

Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

a 2x+3y-4=0

b 4x+6y-8=0

c 2x+3y+9=0

d 3x-2y-9=0

 

Solución:

 

Notemos que los coeficientes de la recta 1 y 2 son proporcionales:

 

\displaystyle \cfrac{2}{4}=\cfrac{3}{6}=\cfrac{-4}{-8}

 

Por lo tanto, la recta 1 y 2 son coincidentes (son la misma recta).

 

Asimismo, notemos que los coeficientes de x e y de la recta 1 y 3 son proporcionales, sin embargo, los términos independientes no son proporcionales:

 

\displaystyle \cfrac{2}{2}=\cfrac{3}{3}\neq \cfrac{-4}{9}

 

Por lo tanto, la rectas 1 y 3 son paralelas. En consecuencia, las rectas 2 y 3 son paralelas (ya que 1 y 2 son iguales).

 

Finalmente, observemos que los coeficientes para x e y de la recta 4 no son proporcionales a los coeficientes de ninguna otra recta:

 

\displaystyle \cfrac{3}{2} \neq \cfrac{-2}{3}; \qquad \cfrac{3}{4} \neq \cfrac{-2}{6}

 

Por lo tanto, la recta 4 es secante a las rectas 1, 2 y 3.

6Hallar la ecuación de la recta r, que pasa A(1, 5), y es paralela a la recta s=2x+y+2=0.

Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s\equiv 2x+y+2=0.

 

Solución:

 

Observemos la siguiente figura de dos rectas paralelas:

 

representación gráfica de dos rectas paralelas

 

Sabemos que dos rectas son paralelas si sus pendientes son la misma:

 

m_{r}=m_{s}=\frac{-2}{1} = -2

 

Por lo tanto, la recta r tiene la forma (punto-pendiente):

 

y-5=-2\cdot (x-1)

 

Igualando a 0, tenemos que la recta se puede escribir como:

 

2x+y-7=0

7Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

 

Solución:

 

Para que el cuadrilátero sea un paralelogramo debemos tener que: \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} y \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}

 

Notemos que:

 

\overrightarrow{AB}=( 1-3,4-0 )=( -2,4 )

\overrightarrow{DC}=\left( -3- (-1), 2- (-2) \right)=( -2,4 )

 

Por lo tanto, se cumple que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. Por otro lado, tenemos que:

 

\overrightarrow{AD} = ( -1-3,-2-0 ) = (-4, -2) = ( -3-1,2-4 ) = \overrightarrow{BC}

 

Así, el cuadrilátero es un paralelogramo.

 

Ahora debemos encontrar el punto medio. Sabemos que las diagonales se cortan en el punto medio (y este punto es el centro del paralelogramo), por lo tanto basta encontrar el punto medio de alguna de las diagonales. El punto medio de la diagonal \bar{AC} es

 

M\left( \cfrac{3-3}{2},\cfrac{0+2}{2} \right) = (0,1)

 

Así, el centro es el punto M(0, 1). Observemos la figura del paralelogramo:

 

representacion grafica de un cuadrilatero

8Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2).

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2).

 

Solución:

 

Si s es la recta que une los puntos, entonces sabemos que la recta r que buscamos es paralela a s. Por lo tanto, tienen la misma pendiente:

 

\displaystyle m_{r}=m_{s}=\frac{2-1}{-2-4}=-\frac{1}{6}

 

Si utilizamos la forma punto-pendiente de la recta, entonces la ecuación de la recta r es:

 

y+3=-\frac{1}{6}(x-2)

 

Por lo tanto, la ecuación de r la obtenemos igualando a cero:

 

x+6y+16=0

9Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x - 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x - 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

 

Solución:

 

Escribamos las coordenadas del punto C como C(x_c, y_c). Como C \in r, entonces tenemos que se cumple:

 

2x_{c}-4y_{c}+3=0

 

Si despejamos y_c, tenemos que

 

\displaystyle y_c = \frac{1}{2}x_{c}+\frac{3}{4}

 

Además, los lados AC y BC son iguales, por lo que se cumple d( \overline{AC} )=d ( \overline{BC} ).

 

\displaystyle \sqrt{( x_{c}+1 )^{2}+ ( y_{c}-3 )^{2}}=\sqrt{( x_{c}-3 )^{2}+ ( y_{c}+3 )^{2}}

 

Si elevamos al cuadrado, tenemos:

 

\displaystyle ( x_{c}+1 )^{2}+ ( y_{c}-3 )^{2}=( x_{c}-3 )^{2}+ ( y_{c}+3 )^{2}

 

Si sustituimos el valor y_c entonces tenemos:

 

\displaystyle ( x_{c}+1 )^{2}+ \left( \frac{1}{2}x_c - \frac{9}{4} \right)^{2}= ( x_{c}-3 )^{2}+ \left( \frac{1}{2}x_c + \frac{15}{4} \right)^{2}

 

Si expandimos el polinomio y resolvemos la ecuación "cuadrática" (al final los términos cuadráticos se cancelan), tenemos,

 

\displaystyle x_c =\frac{17}{2}

 

Por último, sustituyendo este valor de x_c en la ecuación para y_c nos da:

 

\displaystyle y_c = \frac{1}{2}\cdot \frac{17}{2}+\frac{3}{4} = \frac{17}{4} + \frac{3}{4}= 5

 

Por lo tanto, el punto es C\left( 17/2 ,5 \right). La gráfica del triángulo es la siguiente:

 

representacion grafica de triangulo isosceles en problema de la recta

 

10La recta r\equiv 3x+ny-7=0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s\equiv mx+2y-13=0. Calcula m y n.

La recta r\equiv 3x+ny-7=0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s\equiv mx+2y-13=0. Calcula m y n.

 

Solución:

 

Sabemos que r \equiv 3x+ny-7=0 para por A(3, 2). Por lo tanto, al sustituir las coordenadas del punto se sigue satisfaciendo la igualdad:

 

3\cdot 3+n\cdot 2-7=0 \qquad \Rightarrow \qquad n = -1

 

Además, sabemos que r \| s, por lo que los coeficientes son proporcionales:

 

\cfrac{3}{m}=\cfrac{-1}{2} \qquad \Rightarrow \qquad m = -6

 

Por lo tanto, n = -1; m = -6

11Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

 

Solución:

 

Tenemos el siguiente triángulo y deseamos calcular la mediana graficada:

 

representacion grafica de triangulo con mediana en problema de la recta

 

Sabemos que la mediana pasará por el punto medio del segmento AB. Por tanto, calculamos las coordenadas de este punto (que denotaremos como M_{AB}):

 

M_{AB}\left( \cfrac{0+4}{2},\cfrac{0+0}{2} \right) = (2, 0)

 

Ahora escribimos la ecuación de la que pasa por C(4, 4) y M_{AB} (usamos la fórmula de la recta que pasa por dos puntos):

 

\frac{x-2}{4-2}=\cfrac{y-0}{4-0}

 

Simplificando un poco, obtenemos la siguiente ecuación:

 

2x-y-4=0

12 De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

a Los otros vértices.

b Las ecuaciones de las diagonales.

c La longitud de las diagonales.

Vamos resolviendo cada uno de los incisos:

 

a Los otros vértices:

Sabemos que Q es el punto medio de \overline{OB}, por tanto, tenemos:

 

( 6,2 )=\left( \cfrac{0+x_{B}}{2},\cfrac{0+y_{B}}{2} \right)

 

De aquí se sigue que:

 

6=\cfrac{0+x_{B}}{2}; \qquad 2=\cfrac{0+y_{B}}{2}

 

Por lo tanto, B(12,4). Asimismo, Q es el punto medio de \overline{AC}, por lo que tenemos:

 

( 6,2 )=\left( \cfrac{8+x_{C}}{2},\cfrac{0+y_{C}}{2} \right)

 

De aquí se sigue que:

 

6=\cfrac{8+x_{C}}{2}; \qquad 2=\cfrac{0+y_{C}}{2}

 

De este modo, C(4,4). Así, los cuatro vértices son los puntos A, B, C y O.

 

b Las ecuaciones de las diagonales.

En este caso sólo tenemos que utilizar la fórmula de la recta que pasa por dos puntos. Primero para la diagonal AC:

 

\cfrac{x-8}{4-8}=\cfrac{y-0}{4-0}

 

Simplificando un poco obtenemos x+y-8=0. Luego, para la diagonal OB tenemos:

 

\cfrac{x-12}{12-0}=\cfrac{y-4}{4-0}

 

Que, después de simplificar, obtenemos x-3y=0.

 

cLa longitud de las diagonales.

Para calcular la longitud de las diagonales basta con calcular la distancia entre los vértices apropiados. Para la diagonal AC tenemos:

 

AC=\sqrt{( 4-8 )^{2}+ ( 4-0 )^{2}}=4\sqrt{2}

 

Mientras que para la diagonal OB la longitud es:

 

OB=\sqrt{( 12-0 )^{2}+ ( 4-0 )^{2}}=4\sqrt{10}

 

La gráfica del paralelogramo es la siguiente:

 

representacion grafica de paralelogramo y coordenadas del vertice

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗