Name: Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones de la recta I
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Los/as profes

Ejercicio 1

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(1,2)$ y $B(-2,5)$

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Ejercicio 2

De un paralelogramo $ABCD$ conocemos $A(1,2), B(5,1), C(-2,0)$ . Halla las coordenadas del vértice D.

Ejercicio 3

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: $A(1,2), B(3,0)$ y $C(6,3)$

Ejercicio 4

Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta $3x+2y-7=0$

Ejercicio 5

Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

1 $2x+3y-4=0$

2 $x-2y+1=0$

3 $3x-2y-9=0$

4 $4x+6y-8=0$

5 $2x-4y-6=0$

6 $2x+3y+9=0$

Ejercicio 6

Hallar la ecuación de la recta $r$ , que pasa $A(1, 5)$ , y es paralela a la recta $s=2x+y+2=0$

Ejercicio 7

Se tiene el cuadrilátero $ABCD$ cuyos vértices son $A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2)$ y $D(−1, −2)$ . Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

Ejercicio 8

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2, −3)$ y es paralela a la recta que une los puntos $(4, 1)$ y $(−2, 2)$ .

Ejercicio 9

Los puntos $A(−1, 3)$ y $B(3, −3)$ , son vértices de un triángulo isósceles $ABC$ que tiene su vértice $C$ en la recta $2x-4y+3=0$ siendo $AC$ y $BC$ los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice $C$ .

Ejercicio 10

La recta $r\equiv 3x+ny-7=0$ pasa por el punto $A(3, 2)$ y es paralela a la recta $s\equiv mx+2y-13=0$ . Calcula $m$ y $n$ .

Ejercicio 11

Dado el triángulo $ABC$ , de coordenadas $A(0, 0), B(4, 0)$ y $C(4, 4)$ ; calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice $C$ .

Ejercicio 12

De un paralelogramo se conoce un vértice, $A(8, 0)$ , y el punto de corte de las dos diagonales, $Q(6, 2)$ . También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

1 Los otros vértices.

2 Las ecuaciones de las diagonales.

3 La longitud de las diagonales.

Ejercicio 1 resuelto

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(−2, 5)$ .

$A(1,2)$ $B(-2,5)$ $\overrightarrow{AB}=(-3,3)$

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos:

$\cfrac{x-1}{-2-1}=\cfrac{y-2}{5-2}$

Ecuación vectorial

$\left ( x,y \right )=(1,2)+k\cdot (-3,3)$

Ecuaciones paramétricas

$\left\{\begin{matrix} x=1-3k\\ y=2+3k \end{matrix}\right$

Ecuación continua

$\cfrac{x-1}{-3}=\cfrac{y-2}{3}$

Ecuación general

$x+y-3=0$

Ecuación explícita

$y=-x+3$

Ecuación punto-pendiente

$y-2=-1\cdot (x-1)$

Ejercicio 2 resuelto

De un paralelogramo $ABCD$ conocemos $A(1, 3), B(5, 1), C(−2, 0)$ . Halla las coordenadas del vértice $D$ .

representación gráfica de un paralelogramo abcd

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

$\left ( x_{D}-1,y_{D}-3 \right )=\left ( -2-5,0-1 \right )$

$x_{D}-1=-7$ $y_{D}-3=-1$

$D=\left ( -6,2 \right )$

Ejercicio 3 resuelto

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: $A(6, 0), B(3,0)$ y $C(6, 3)$ .

representacion grafica de triangulo en problema de la recta

$d\left ( \overline{AB} \right )=\sqrt{\left ( 3-6 \right )^{2}+\left ( 0-0 \right )^{2}}=3$

$d\left ( \overline{BC} \right )=\sqrt{\left ( 6-3 \right )^{2}+\left ( 3-0 \right )^{2}}=3\sqrt{2}$

$d\left ( \overline{AC} \right )=\sqrt{\left ( 6-6 \right )^{2}+\left ( 3-0 \right )^{2}}=3$

Se cumple que

$d\left ( \overline{AB} \right )=d\left ( \overline{BC} \right )\neq d\left ( \overline{AC} \right )$ $\Rightarrow$ el triángulo es isósceles.

Además:

$\left [ d\left (\overline{BC} \right ) \right ]^{2}=\left [ d\left (\overline{AB} \right ) \right ]^{2} + \left [ d\left (\overline{AC} \right ) \right ]^{2}$ $\Rightarrow$ el triángulo es rectángulo.

Ejercicio 4 resuelto

Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta:

$3x+2y-7=0$ .

$3x+2y-7=0$ $\Rightarrow$ $y=-\cfrac{3}{2}x+\cfrac{7}{2}$

$m=-\cfrac{3}{2}$ $b=\cfrac{7}{2}$

Ejercicio 5 resuelto

Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

1 $2x+3y-4=0$

2 $x-2y+1=0$

3 $3x-2y-9=0$

4 $4x+6y-8=0$

5 $2x-4y-6=0$

6 $2x+3y+9=0$

Las rectas $1$ y $4$ son coincidentes , porque todos sus coeficientes son proporcionales:

$\cfrac{2}{4}=\cfrac{3}{6}=\cfrac{-4}{-8}$

Las rectas $2$ y $5$ y las $1$ y $6$ son paralelas respectivamente, ya que existe proporcionalidad entre los coeficientes de $x$ e $y$ , pero no en el término independiente.

$\cfrac{1}{2}=\cfrac{-2}{-4}\neq \cfrac{1}{-6}$

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{3}{3}\neq \cfrac{-4}{9}$

$\cfrac{4}{2}=\cfrac{6}{3}\neq \cfrac{-8}{9}$

Ejercicio 6 resuelto

Hallar la ecuación de la recta $r$ , que pasa por $A(1, 5)$ , y es paralela a la recta $s\equiv 2x+y+2=0$ .

representación gráfica de dos rectas paralelas

$m_{r}=m_{s}=\frac{-2}{1}$

$y-5=-2\cdot (x-1)$

$2x+y-7=0$

Ejercicio 7 resuelto

Se tiene el cuadrilátero $ABCD$ cuyos vértices son $A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2)$ y $D(−1, −2)$ . Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

representacion grafica de un cuadrilatero

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{AB}=\left ( 1-3,4-0 \right )=\left ( -2,4 \right )$

$\overrightarrow{DC}=\left ( -3-\left ( -1 \right ),2-\left ( -2 \right ) \right )=\left ( -2,4 \right )$

$\left ( -2,4 \right )=\left ( -2,4 \right )$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

$\left ( -1-3,-2-0 \right )=\left ( -3-1,2-4 \right )$

$\left ( -4,-2 \right )=\left ( -4,-2 \right )$

Es un paralelogramo

Las diagonales se cortan en el punto medio:

$M\left ( \cfrac{3-3}{2},\cfrac{0+2}{2} \right )$ $M=(0,1)$

$A=d\left ( A,B \right )\cdot d\left ( C,r_{AB} \right )$

$d(A,B)=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$

$\cfrac{x-3}{1-3}=\cfrac{y-0}{4-0}$ $r_{AB}\equiv 2x+y-6=0$

$d\left ( C,r_{AB} \right )=\cfrac{\left | 2\cdot (-3)+2-6 \right |}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}$

$A=2\cdot \sqrt{5}\cdot \frac{10}{\sqrt{5}}=20u^{2}$

Ejercicio 8 resuelto

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto $(2, −3)$ y es paralela a la recta que une los puntos $(4, 1)$ y $(−2, 2)$ .

$r\mid \mid s$ $m_{r}=m_{s}=\frac{2-1}{-2-4}=-\frac{1}{6}$

$m_{r}=-\frac{1}{6}$ $A(2,-3)$

$y+3=-\frac{1}{6}(x-2)$ $x+6y+16=0$

Ejercicio 9 resuelto

Los puntos $A(-1, 3)$ y $B(3, -3)$ , son vértices de un triángulo isósceles $ABC$ que tiene su vértice $C$ en la recta $2x-4y+3=0$
siendo $AC$ y $BC$ los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice $C$ .

representacion grafica de triangulo isosceles en problema de la recta

$C$ $\LARGE \epsilon$ $r$

$2x_{c}-4y_{c}+3=0$

$d\left ( \overline{AC} \right )=d\left ( \overline{BC} \right )$

$\sqrt{\left ( x_{c}+1 \right )^{2}+\left ( y_{c}-3 \right )^{2}}=\sqrt{\left ( x_{c}-3 \right )^{2}+\left ( y_{c}+3 \right )^{2}}$

$2x_{c}-3y_{c}-2=0$

$\left\{\begin{matrix} 2x_{c}-4y_{c}+3=0\\ 2x_{c}-3y_{c}-2=0 \end{matrix}\right.$

$C\left ( \cfrac{17}{2},5 \right )$

Ejercicio 10 resuelto

La recta $r\equiv 3x+ny-7=0$ pasa por el punto $A(3, 2)$ y es paralela a la recta $s\equiv mx+2y-13=0$ . Calcula $m$ y $n$ .

$A$ $\LARGE \epsilon$ $r$

$3\cdot 3+n\cdot 2-7=0$ $n=-1$

$r\parallel s$

$\cfrac{3}{m}=\cfrac{-1}{2}$ $m=-6$

Ejercicio 11 resuelto

Dado el triángulo $ABC$ , de coordenadas $A(0, 0), B(4, 0)$ y $C(4, 4)$ ; calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice $C$ .

representacion grafica de triangulo con mediana en problema de la recta

$M_{AB}\left ( \cfrac{0+4}{2},\cfrac{0+0}{2} \right )$ $M_{AB}\left ( 2,0 )$ $C\left ( 4,4 )$

$\frac{x-2}{4-2}=\cfrac{y-0}{4-0}$ $2x-y-4=0$

Ejercicio 12 resuelto

De un paralelogramo se conoce un vértice, $A(8, 0)$ , y el punto de corte de las dos diagonales, $Q(6, 2)$ . También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

representacion grafica de paralelogramo y coordenadas del vertice