Superprof

Ejercicio 2

 

De un paralelogramo ABCD conocemos A(1,2), B(5,1), C(-2,0). Halla las coordenadas del vértice D.

 

Ejercicio 3

 

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(1,2), B(3,0) y C(6,3)

 

Ejercicio 4

 

Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x+2y-7=0

Ejercicio 5

 

Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:
 

1 2x+3y-4=0

2 x-2y+1=0

3 3x-2y-9=0

4 4x+6y-8=0

5 2x-4y-6=0

6 2x+3y+9=0

 

Ejercicio 6

 

Hallar la ecuación de la recta r, que pasa A(1, 5), y es paralela a la recta s=2x+y+2=0

 

Ejercicio 7

 

Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

 

Ejercicio 8

 

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (−2, 2).

 

Ejercicio 9

 

Los puntos A(−1, 3) y B(3, −3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x-4y+3=0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

 

Ejercicio 10

 

La recta r\equiv 3x+ny-7=0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s\equiv mx+2y-13=0. Calcula m y n.

 

Ejercicio 11

 

Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

 

Ejercicio 12

 

De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:
 

1 Los otros vértices.

2 Las ecuaciones de las diagonales.

3 La longitud de las diagonales.

 

Ejercicio 1 resuelto

 

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

A(1,2)          B(-2,5)          \overrightarrow{AB}=(-3,3)

 

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos:
 

\cfrac{x-1}{-2-1}=\cfrac{y-2}{5-2}
 

Ecuación vectorial
 

\left ( x,y \right )=(1,2)+k\cdot (-3,3)

 

Ecuaciones paramétricas
 

\left\{\begin{matrix} x=1-3k\\ y=2+3k \end{matrix}\right

 

Ecuación continua
 

\cfrac{x-1}{-3}=\cfrac{y-2}{3}

 

Ecuación general
 

x+y-3=0

 

Ecuación explícita
 

y=-x+3

 

Ecuación punto-pendiente
 

y-2=-1\cdot (x-1)

 

Ejercicio 2 resuelto

 

De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(−2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.

 

 

representación gráfica de un paralelogramo abcd

 

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
 

\left ( x_{D}-1,y_{D}-3 \right )=\left ( -2-5,0-1 \right )
 

x_{D}-1=-7                y_{D}-3=-1
 

D=\left ( -6,2 \right )

 

Ejercicio 3 resuelto

 

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0) y C(6, 3).

 

representacion grafica de triangulo en problema de la recta

 

d\left ( \overline{AB} \right )=\sqrt{\left ( 3-6 \right )^{2}+\left ( 0-0 \right )^{2}}=3
 

d\left ( \overline{BC} \right )=\sqrt{\left ( 6-3 \right )^{2}+\left ( 3-0 \right )^{2}}=3\sqrt{2}
 

d\left ( \overline{AC} \right )=\sqrt{\left ( 6-6 \right )^{2}+\left ( 3-0 \right )^{2}}=3

 

Se cumple que

d\left ( \overline{AB} \right )=d\left ( \overline{BC} \right )\neq d\left ( \overline{AC} \right )          \Rightarrow     el triángulo es isósceles.

 

Además:

\left [ d\left (\overline{BC} \right ) \right ]^{2}=\left [ d\left (\overline{AB} \right ) \right ]^{2} + \left [ d\left (\overline{AC} \right ) \right ]^{2}          \Rightarrow  el triángulo es rectángulo.

 

Ejercicio 4 resuelto

 

Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta:
 

3x+2y-7=0.
 

3x+2y-7=0      \Rightarrow     y=-\cfrac{3}{2}x+\cfrac{7}{2}

m=-\cfrac{3}{2}          b=\cfrac{7}{2}

 

Ejercicio 5 resuelto

 

Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

 

1 2x+3y-4=0

2 x-2y+1=0

3 3x-2y-9=0

4 4x+6y-8=0

5 2x-4y-6=0

6 2x+3y+9=0

 

Las rectas 1 y 4 son coincidentes , porque todos sus coeficientes son proporcionales:

 

\cfrac{2}{4}=\cfrac{3}{6}=\cfrac{-4}{-8}
 

Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente, ya que existe proporcionalidad entre los coeficientes de x e y, pero no en el término independiente.
 

\cfrac{1}{2}=\cfrac{-2}{-4}\neq \cfrac{1}{-6}

 

\cfrac{2}{2}=\cfrac{3}{3}\neq \cfrac{-4}{9}
 

\cfrac{4}{2}=\cfrac{6}{3}\neq \cfrac{-8}{9}

 

Ejercicio 6 resuelto

 

Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s\equiv 2x+y+2=0.

 

representación gráfica de dos rectas paralelas

 

m_{r}=m_{s}=\frac{-2}{1}
 

y-5=-2\cdot (x-1)
 

2x+y-7=0
 

Ejercicio 7 resuelto

 

Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

representacion grafica de un cuadrilatero

 

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
 

\overrightarrow{AB}=\left ( 1-3,4-0 \right )=\left ( -2,4 \right )
 

\overrightarrow{DC}=\left ( -3-\left ( -1 \right ),2-\left ( -2 \right ) \right )=\left ( -2,4 \right )
 

\left ( -2,4 \right )=\left ( -2,4 \right )

 

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
 

\left ( -1-3,-2-0 \right )=\left ( -3-1,2-4 \right )
 

\left ( -4,-2 \right )=\left ( -4,-2 \right )
 

Es un paralelogramo

 

Las diagonales se cortan en el punto medio:
 

M\left ( \cfrac{3-3}{2},\cfrac{0+2}{2} \right )        M=(0,1)
 

A=d\left ( A,B \right )\cdot d\left ( C,r_{AB} \right )
 

d(A,B)=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}
 

\cfrac{x-3}{1-3}=\cfrac{y-0}{4-0}          r_{AB}\equiv 2x+y-6=0
 

d\left ( C,r_{AB} \right )=\cfrac{\left | 2\cdot (-3)+2-6 \right |}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}
 

A=2\cdot \sqrt{5}\cdot \frac{10}{\sqrt{5}}=20u^{2}

Ejercicio 8 resuelto

 

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (−2, 2).

 

r\mid \mid s          m_{r}=m_{s}=\frac{2-1}{-2-4}=-\frac{1}{6}
 

m_{r}=-\frac{1}{6}          A(2,-3)
 

y+3=-\frac{1}{6}(x-2)          x+6y+16=0

 

Ejercicio 9 resuelto

 

Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x-4y+3=0
siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

representacion grafica de triangulo isosceles en problema de la recta

 

C \LARGE \epsilon r
 

2x_{c}-4y_{c}+3=0
 

d\left ( \overline{AC} \right )=d\left ( \overline{BC} \right )
 

\sqrt{\left ( x_{c}+1 \right )^{2}+\left ( y_{c}-3 \right )^{2}}=\sqrt{\left ( x_{c}-3 \right )^{2}+\left ( y_{c}+3 \right )^{2}}
 

2x_{c}-3y_{c}-2=0
 

\left\{\begin{matrix} 2x_{c}-4y_{c}+3=0\\ 2x_{c}-3y_{c}-2=0 \end{matrix}\right.
 

C\left ( \cfrac{17}{2},5 \right )

 

Ejercicio 10 resuelto

 

La recta r\equiv 3x+ny-7=0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s\equiv mx+2y-13=0. Calcula m y n.
 

A \LARGE \epsilon r
 

3\cdot 3+n\cdot 2-7=0          n=-1
 

r\parallel s
 

\cfrac{3}{m}=\cfrac{-1}{2}          m=-6

 

Ejercicio 11 resuelto

 

Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

 

representacion grafica de triangulo con mediana en problema de la recta

 

M_{AB}\left ( \cfrac{0+4}{2},\cfrac{0+0}{2} \right )          M_{AB}\left ( 2,0 )          C\left ( 4,4 )
 

\frac{x-2}{4-2}=\cfrac{y-0}{4-0}         2x-y-4=0

 

Ejercicio 12 resuelto

 

De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

 

representacion grafica de paralelogramo y coordenadas del vertice

 

1 Los otros vértices.
 
 

M es el punto medio de \overline{OB}
 

\left ( 6,2 \right )=\left ( \cfrac{0+x_{B}}{2},\cfrac{0+y_{B}}{2} \right )
 

6=\cfrac{0+x_{B}}{2}          2=\cfrac{0+y_{B}}{2}
 

B(12,4)
 

M es el punto medio de \overline{AC}
 

\left ( 6,2 \right )=\left ( \cfrac{8+x_{C}}{2},\cfrac{0+y_{C}}{2} \right )
 

6=\cfrac{8+x_{C}}{2}          2=\cfrac{0+y_{C}}{2}
 

C(4,4)
 
 

2 Las ecuaciones de las diagonales.
 

Ecuación de AC
 

\cfrac{x-8}{4-8}=\cfrac{y-0}{4-0}         x+y-8=0
 

Ecuación de OB
 

\cfrac{x-12}{12-0}=\cfrac{y-4}{4-0}         x-3y=0
 
 

3 La longitud de las diagonales.
 

AC=\sqrt{\left ( 4-8 \right )^{2}+\left ( 4-0 \right )^{2}}=4\sqrt{2}
 
OB=\sqrt{\left ( 12-0 \right )^{2}+\left ( 4-0 \right )^{2}}=4\sqrt{10}

 

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (37 votes, average: 4,27 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido

8
Publicar un comentario

avatar
5 Comment threads
3 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
5 Comment authors
SuperprofDíazToroVargasgutierrez Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
gutierrez
gutierrez
Guest
15 May.

Muy buenos ejercicios.

Superprof
Superprof
Admin
27 May.

¡Gracias!

Vargas
Vargas
Guest
25 Oct.

Muy bueno. Pero tambien tienen solucion por geometria….!!!

Toro
Toro
Guest
24 Abr.

(Y+5)²= -6+12
por favor me ayudan a resolver

Superprof
Superprof
Admin
12 May.

Hola,

(Y+5)²= -6+12
(Y+5)²= 6

Intentamos encontrar un valor al cuadrado en la parte derecha del signo igual. Es decir escribir el valor equivalente de 6 en forma al cuadrado:

(√6)² = 6

Entonces,

(Y+5)²= (√6)²

Nos deshacemos del ² de ambos lados del signo igual:

y + 5 = √6
y = (√6) – 5

¡Un saludo!

Díaz
Díaz
Guest
22 May.

Excelente!!!

Superprof
Superprof
Admin
25 May.

¡Muchas gracias! <3

Díaz
Díaz
Guest
22 May.

Excelente explicación