Existen varias formas de encontrar el área de un triángulo, ello depende de los datos que se conozcan.

 

Conociendo la base y la altura

 

Calcula el area de un triangulo conociendo base y altura

 

Si se conoce la base b del triángulo y su altura h, entonces la fórmula para encontrar el área viene dada por la mitad del producto de su base y su altura

 

A = \cfrac{b \cdot h}{2}

 

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Conociendo dos lados y el ángulo que forman.

 

Calcular area triangulo conociendo lados y angulo

 

Si se conocen dos lados del triángulo y el ángulo entre estos, entonces la fórmula para encontrar el área viene dada por la mitad del producto de los dos lados y el seno del ángulo entre estos

 

A = \cfrac{a \cdot b \cdot sen \, C}{2}

 

Circunferencia circunscrita a un triángulo

 

area de un triangulo inscrito en una circunferencia

 

Si se conocen los tres lados a, b, c del triángulo y el radio R de la circunferencia circunscrita, entonces la fórmula para encontrar el área viene dada por el producto de los tres lados entre cuatro veces el radio de la circunferencia

 

A = \cfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}

 

Circunferencia inscrita en un triángulo

 

Calcular la circunferencia inscrita en un triángulo

 

Si se conocen los tres lados a, b, c del triángulo y el radio r de la circunferencia inscrita, entonces la fórmula para encontrar el área viene dada por el producto del radio de la circunferencia por el semiperímetro del triángulo

 

A = r \cdot \left ( \cfrac{a + b + c}{2} \right )

 

El semiperímetro suele denotarse por

 

p = \cfrac{a + b + c}{2}

 

por lo que la fórmula del área suele expresarse por

 

A = r \cdot p

 

Fórmula de Herón

 

formula de Heron

 

Si se conocen los tres lados a, b, c del triángulo, entonces la fórmula para encontrar el área viene dada por

 

A = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}.

 

donde p es el semiperímetro del triángulo

 

p = \cfrac{a+ b + c}{2}.

 

Área de un triángulo conociendo las coordenadas de los vértices

 

Cuando se conocen los vértices de un triángulo, se tienen dos formas de calcular el área

 

Área utilizando vectores

 

area de triangulo con vectores

 

Conociendo los vértices A, B, C del triángulo, el área es igual a la mitad del producto escalar, en valor absoluto, del vector perpendicular a \overrightarrow{AB}  por el vector \overrightarrow{AC}

 

A = \cfrac{\left | \displaystyle \overrightarrow{n_{AB}} \cdot \overrightarrow{AC} \right |}{2}.

 

Ejemplo: Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).

 

1Primero calculamos los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC}

 

\overrightarrow{AB} = (3 - 2, 4 - 0) = (1, 4).

 

\overrightarrow{AC} = (-2 - 2, 5 - 0) = (-4, 5).

 

2Calculamos el vector perpendicular a \overrightarrow{AB}

 

\overrightarrow{n}_{AB} = (4, -1) .

 

3Aplicamos la fórmula para obtener el área del triángulo

 

A = \cfrac{\left | (4, -1) \cdot (-4, 5) \right |}{2} = \cfrac{21}{2} \, u^2.

 

Área por determinantes

 

area de triangulo con vectores

 

Conociendo los vértices A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2) del triángulo, el área es igual a la mitad del valor absoluto del  determinante de 3 \times 3 cuyas filas están conformadas por los vértices y en la tercera columna tienen el elemento uno

 

A = \cfrac{1}{2} \cdot \left | \left | \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & 1 \\  b_1 & b_2 & 1 \\ c_1, & c_2 & 1 \end{array} \right | \right |.

 

Para resolver el determinante de orden tres utilizamos la regla de Sarrus.

 

Ejemplo: Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).

 

1Primero sustituimos los vértices en la fórmula del área

 

A = \cfrac{1}{2} \cdot \left | \left | \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2, & 5 & 1 \end{array} \right | \right |.

 

2Aplicamos la regla de Sarrus para calcular el determinante

 

\begin{array}{rcl} \left | \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2, & 5 & 1 \end{array} \right | & = & 2 \cdot 4 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 5 \cdot 1 - 1 \cdot 4 \cdot (-2) - 0 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 5 \cdot 1  \\\\ & = & 21 \end{array} .

 

3Así, el área buscada es

 

A = \cfrac{21}{2} \, u^2.

 

Área de un triángulo conociendo su vértices en el espacio

 

area de un triangulo en el espacio

 

Conociendo los vértices del triángulo, el área es igual a la mitad de la magnitud del producto vectorial de los vectores correspondientes a dos de sus lados

 

A = \cfrac{\left | \vec{u} \times \vec{v} \right |}{2}.

 

Ejemplo: Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(1, 1, 3), B(2, -1, 5) y C(-3, 3, 1).

 

1Primero calculamos los vectores de dos lados

 

 \vec{u} = \overrightarrow{AB} = (2 - 1, -1 - 1, 5 - 3) = (1, -2, 2).

 

\vec{v} = \overrightarrow{AC} = (-3 - 1, 3 - 1, 1 - 3) = (-4, 2, -2).

 

2Calculamos el  producto vectorial de \vec{u} y \vec{v}

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \times \vec{v} & = & \left | \begin{array}{rrr} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ -4, & 2 & -2 \end{array} \right | \\\\ & = & \left | \begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{array}  \right | \hat{i} - \left | \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -4 & -2 \end{array}  \right | \hat{j} + \left | \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -4 & 2 \end{array}  \right | \hat{k}   \\\\ & = &  -6 \hat{j} - 6 \hat{k}  \\\\  & = & (0, -6, -6) \end{array}.

 

3Calculamos la magnitud de \vec{u} \times \vec{v}

 

\begin{array}{rcl} \left | \vec{u} \times \vec{v} \right | & = & \sqrt{0^2 + (-6)^2 + (-6)^2} \\\\ & = & 6 \sqrt{2}\end{array}.

 

4Así, el área buscada es

 

A = \cfrac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} \, u^2.

 

Tres puntos alineados

 

Tres puntos están alineados cuando el área del triángulo es igual a cero.

 

Ejemplo: Averiguar si están alineados los puntos A(-2, -3), B(1, 0) y C(6,5).

 

1Primero sustituimos los vértices en la fórmula del área

 

A = \cfrac{1}{2} \cdot \left | \left | \begin{array}{ccc} -2 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 6, & 5 & 1 \end{array} \right | \right |.

 

2Aplicamos la regla de Sarrus para calcular el determinante

 

\begin{array}{rcl} \left | \begin{array}{ccc} -2 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 6, & 5 & 1 \end{array} \right | & = & (-2) \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 5 \cdot 1 + 6 \cdot (-3) \cdot 1 - 1 \cdot 0 \cdot 6 - 1 \cdot 5 \cdot (-2) - 1 \cdot (-3) \cdot 1 \\\\ & = & 0 \end{array} .

 

3Así, el área buscada es 0, por lo que se concluye que los puntos estan alineados

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗