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Ecuación normal de la recta
Cosenos directores

Ecuación normal de la recta

Los puntos $A$ y $X$ de la recta $r$ determinan el vector:

$\overrightarrow{AX} = (x - a_1, y - b_1)$

El vector $\vec{n}$ es un vector unitario y perpendicular a $r$ .

Si las componentes del vector director de $r$ son $(-B, A)$ , las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: $(A, B)$ .

Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán

$\vec{n} = \cfrac{1}{|\vec{v}|} \cdot (A, B) = \left ( \cfrac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cfrac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right )$

Como $\overrightarrow{AX}$ y $\vec{n}$ son perpendiculares, su producto escalar es cero:

$\begin{array}{rcl} 0 & = & \overrightarrow{AX} \cdot \vec{n} \\\\ 0 & = & \cfrac{A(x-a_1)}{\sqrt{A^2+B^2}} + \cfrac{B(y-b_1)}{\sqrt{A^2+B^2}} \\\\ 0 & = & \cfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x + \cfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y + \cfrac{-Aa_1 - Bb_1}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{array}$

Si en la ecuación general sustituimos $C = -Aa_1 - Bb_1$ , obtenemos la ecuación de la recta normal a $r$ y que pasa por el punto $A(a_1,b_1)$ :

$\cfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x + \cfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y + \cfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} = 0$

Ejemplo: Hallar la ecuación normal de la recta $r \equiv 12x - 8y + 24 = 0$ que pasa por $(0,3)$ .

Buscamos dos puntos de la recta, para esto le damos valores a $x$ , por ejemplo $0, -2$

$12(0) - 8 y + 24 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 3$

$12(-2) - 8 y + 24 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 0$

se obtienen dos puntos de la recta $(0,3), \ (-2,0)$ y con ellos tenemos el vector director de $r$

$\vec{v} = (0 - (-2), 3 - 0) = (2,3) = (-B, A)$

Luego la recta normal buscada es

$\cfrac{3}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}x + \cfrac{-2}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}y + \cfrac{-3 \cdot 0 - (-2) \cdot 3}{\sqrt{3^2+(-2)^2}} = 0$

$\cfrac{3}{\sqrt{13}}x - \cfrac{2}{\sqrt{13}}y + \cfrac{6}{\sqrt{13}} = 0$

Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:

$A(x - a_1) + B(y - b_1) = 0$

Ejemplo: Hallar la ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos $A(5, 6)$ y $B(1,8)$ en su punto medio.

Calculamos el punto medio

$X_M \left( \cfrac{5+1}{2}, \cfrac{6+8}{2}\right ) = (3,7)$

Calculamos el vector director

$\overrightarrow{AB} = (1-5,8-6) = (-4,2) = (-B, A)$

La recta buscada es

$2(x - 3) + 4(y - 7) = 0$

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Cosenos directores

Las componentes de un vector unitario en una base ortonormal $(\vec{i}, \vec{j})$ , son el coseno y el seno que forma con el vector $\vec{i}$ de la base.

$cos \, \alpha = \cfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$sen \, \alpha = \cfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Estas expresiones se llaman cosenos directores de la recta, ya que la segunda puede escribirse como $sen \, \alpha = cos(90^o - \alpha)$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Ecuación normal de la recta y cosenos directores

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