Ecuación normal de la recta

 

Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:

 

ecuacion de la recta normal

 

\overrightarrow{AX} = (x - a_1, y - b_1)

 

El vector \vec{n} es un vector unitario y perpendicular a r.

 

Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).

 

Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán

 

\vec{n} = \cfrac{1}{|\vec{v}|} \cdot (A, B) = \left ( \cfrac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cfrac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right )

 

Como \overrightarrow{AX} y \vec{n} son perpendiculares, su producto escalar es cero:

 

\begin{array}{rcl} 0 & = & \overrightarrow{AX} \cdot \vec{n}  \\\\  0 & = & \cfrac{A(x-a_1)}{\sqrt{A^2+B^2}} +  \cfrac{B(y-b_1)}{\sqrt{A^2+B^2}}  \\\\  0 & = & \cfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x + \cfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y + \cfrac{-Aa_1 - Bb_1}{\sqrt{A^2+B^2}}  \end{array}

 

Si en la ecuación general sustituimos C = -Aa_1 - Bb_1, obtenemos la ecuación de la recta normal a r y que pasa por el punto A(a_1,b_1):

 

\cfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x + \cfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y + \cfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} = 0

 

Ejemplo: Hallar la ecuación normal de la recta r \equiv 12x - 8y + 24 = 0 que pasa por (0,3).

 

Buscamos dos puntos de la recta, para esto le damos valores a x, por ejemplo 0, -2

 

12(0) - 8 y + 24 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 3

12(-2) - 8 y + 24 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 0

 

se obtienen dos puntos de la recta (0,3), \ (-2,0) y con ellos tenemos el vector director de r

 

\vec{v} = (0 - (-2), 3 - 0) = (2,3) = (-B, A)

 

Luego la recta normal buscada es

 

\cfrac{3}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}x + \cfrac{-2}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}y + \cfrac{-3 \cdot 0 - (-2) \cdot 3}{\sqrt{3^2+(-2)^2}} = 0

 

\cfrac{3}{\sqrt{13}}x - \cfrac{2}{\sqrt{13}}y + \cfrac{6}{\sqrt{13}} = 0

 

Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:

 

A(x - a_1) + B(y - b_1) = 0

 

Ejemplo: Hallar la ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio.

 

Calculamos el punto medio

 

X_M \left(  \cfrac{5+1}{2}, \cfrac{6+8}{2}\right ) =  (3,7)

 

Calculamos el vector director

 

\overrightarrow{AB} = (1-5,8-6) = (-4,2) = (-B, A)

 

La recta buscada es

 

2(x - 3) + 4(y - 7) = 0

 

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Cosenos directores

 

Las componentes de un vector unitario en una base ortonormal (\vec{i}, \vec{j}), son el coseno y el seno que forma con el vector \vec{i} de la base.

 

cos \, \alpha = \cfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}

 

sen \, \alpha = \cfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}

 

Estas expresiones se llaman cosenos directores de la recta, ya que la segunda puede escribirse como sen \, \alpha = cos(90^o - \alpha).

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗