Rectas paralelas | Superprof

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Representación gráfica de dos rectas paralelas

1 Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

$\vec{u}=k\cdot \vec{v}$

$\cfrac{u_{1}}{u_{2}}=\cfrac{v_{1}}{v_{2}}$

2 Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales.

$\vec{V}_{r}=\vec{V}_{s}$

3 Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

$m_{r}=m_{s}$

4 Dos rectas son paralelas si los coeficientes de $x$ e $y$ respectivos son proporcionales.

$\cfrac{A_{1}}{B_{1}}=\cfrac{A_{2}}{B_{2}}$

5 Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de $0^{\circ}$ .

$\begin{matrix} & & r\equiv Ax+By+C=0 & & & &\vec{V}_{r}=\vec{V}_{s}=(-B,A) \\ & & & & & &\\ r\parallel s & & & & & &\\ & & & & & &\\ & & s\equiv Ax+By+k=0 & & k\, \epsilon \, \mathbb{R} & &m_{r}=m_{s}=-\cfrac{A}{B}=\cfrac{v_{2}}{v_{1}} \end{matrix}$

Ejemplos

1 Calcular una recta paralela a $r\equiv x+2y+3=0$ , que pasen por el punto $A(3,5)$ .

$m_{r}\parallel m_{s}$

$m_{r}=m_{s}=-\cfrac{1}{2}$

$y-5=-\cfrac{1}{2}(x-3)$

$2y-10=-x+3$

$x+2y-13=0$

2 Calcula $k$ para que las rectas $r\equiv x+2y-3=0$ y $s\equiv x-ky+4=0$ , sean paralelas.

$m_{r}=-\cfrac{1}{2}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; m_{s}=\cfrac{1}{k}$

$r\parallel s\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; -\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{k}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; k=-2$

3 Hallar la ecuación de la recta paralela a $r\equiv 3x+2y-4=0$ , que pasa por el punto $A(2,3)$

$3\cdot 2+2\cdot 3+k=0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; k=-12$

$3x+2y-12=0$

4 La recta $r\equiv 3x+ny-7=0$ pasa por el punto $A(3,2)$ y es paralela a la recta $s\equiv mx+2y-13=0$ . Calcula $m$ y $n$ .

$A\, \epsilon \, r$

$3\cdot 3+n\cdot 2-7=0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; n=-1$

$r\parallel s$

$\cfrac{3}{m}=\cfrac{-1}{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; m=-6$

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Marta

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