(1)
Sea el punto de intersección de dos rectas
y
, entonces el haz de rectas que pasa por ese punto viene dado por la ecuación
(2)
donde y
son parámetros que no se anulan a la vez. Para cada valor de
y
obtenemos una recta que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas.
Si tenemos una recta dada por su ecuación general , llamaremos haz de rectas paralelas a
al conjunto de todas las rectas que son paralelas a
. La ecuación de este haz es
para cada valor de k se obtiene una recta paralela.
Ejemplos de ejercicios
1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y pertenece al haz de rectas de vértice .
Tenemos que la recta pasa por el origen y ademas pertenece al haz de rectas de vértice , por lo tanto también pasa por este punto y podemos calcular su pendiente
Ahora bien utilizando la ecuación (1) tendríamos que la ecuación que pasa por este haz debe se
es decir
2 Dadas las rectas: y
. Calcular el rayo del haz determinado por ellas, que pasa por el punto
y el vértice del haz.
En este caso utilizaremos la ecuación (2), considerando que pasa por las rectas y
:
pasa por el punto por lo tanto lo sustituimos en la ecuación anterior
desarrollando obtenemos
considerando esta nueva condición
y tomando obtenemos
Y para encontrar el vértice del haz se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
obteniendo que , es decir el vertice del haz es
3 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas y
y es paralela a la recta
. De tal manera que tenemos las siguientes rectas:
- Primero, hallamos
en su forma general:
- Después, calculamos el punto de intersección de
y
:
- Luego, pasamos
a la forma general:
- Finalmente, sustituimos
en la ecuación de todas las rectas paralelas. De tal manera que sustituyendo
en la ecuación
tenemos lo siguiente:
.
- De esta manera, obtenemos que la ecuación es:
La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.