Al conjunto de lineas rectas del plano que pasan por un punto fijo P se llama haz de rectas de vértice P.

 

Haz de rectas con vértice en común en el plano

 

Si tenemos una recta que pasa por el punto (x_1, y_1) y queremos encontrar el conjunto de todas las rectas que pasen por ese punto, es decir, si queremos encontrar al haz de rectas de vértice (x_1, y_1) solamente tendremos que variar la pendiente (m).La ecuación de este haz seria entonces

(1)    \begin{equation*} y - y_0 = m ( x - x_0 ), \quad \; m \in \mathbb{R} \end{equation*}

Sea (x_0, y_0) el punto de intersección de dos rectas r \equiv Ax + By+ C = 0 y  s \equiv A' x + B'y + C = 0 , entonces el haz de rectas que pasa por ese punto viene dado por la ecuación

(2)    \begin{equation*} \alpha ( Ax + By+ C ) + \beta(A' x + B'y + C) = 0 \end{equation*}

donde \alpha y \beta son parámetros que no se anulan a la vez. Para cada valor de \alpha y \beta obtenemos una recta que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas.

Si tenemos una recta dada por su ecuación general r \equiv Ax + By+ C = 0 , llamaremos haz de rectas paralelas a r al conjunto de todas las rectas que son paralelas a r. La ecuación de este haz es

     \[ Ax + By+ k = 0 \quad k \in \mathbb{R} \]

para cada valor de k se obtiene una recta paralela.
Ejemplos de ejercicios

1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y pertenece al haz de rectas de vértice P(2,-1).

Tenemos que la recta pasa por el origen y ademas pertenece al haz de rectas de vértice P(2,-1), por lo tanto también pasa por este punto y podemos calcular su pendiente

    \[ m = \frac{-1-0}{2-0} = -\frac{1}{2} \]

Ahora bien utilizando la ecuación (1) tendríamos que la ecuación que pasa por este haz debe se

    \[ y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 2) \quad \Rightarrow \quad 2y + 2 = -x + 2 \]

es decir

     \[ x + 2y = 0 \]

2 Dadas las rectas: r \equiv 3 x+y-11=0 y s\equiv x+2 y-7=0. Calcular el rayo del haz determinado por ellas, que pasa por el punto A(-1,2) y el vértice del haz.

En este caso utilizaremos la ecuación (2), considerando que pasa por las rectas r y s:

     \[ \alpha(3 x+y-11)+\beta(x+2 y-7)=0 \]

pasa por el punto A(-1,2) por lo tanto lo sustituimos en la ecuación anterior

     \[ \alpha(-3+2-11)+\beta(-1+4-7)=0 \]

desarrollando obtenemos

     \[ -12 \alpha-4 \beta=0 \quad \Rightarrow \quad \beta=3 \alpha \]

considerando esta nueva condición

     \[ \alpha(3 x+y-11)-3 \alpha(x+2 y-7)=0 \]

y tomando  \alpha = -1 obtenemos

     \begin{align*} -3x - y + 11 + 3x + 6y - 21 &= 0\\ 5y - 10 &= 0 \\ y - 2 &= 0 \end{align*}

Y para encontrar el vértice del haz se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

 \left\{\begin{array}{l} 3 x+y-11=0 \\ x+2 y-7 \end{array}

obteniendo que  x= 3 , y = 2, es decir el vertice del haz es  P(3,2)
3 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s y es paralela a la recta t. De tal manera que tenemos las siguientes rectas:

    \begin{equation*} r \equiv\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\ y=-2+t \end{array} \quad s \equiv 2 x-3 y-5=0 \quad t \equiv \frac{x}{-2}+\frac{y}{3}=1\right. \end{equation*}

  • Primero, hallamos r en su forma general:

    \begin{equation*} r \equiv\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\ y=-2+t \end{array} \quad \Rightarrow\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1} \quad \Rightarrow x-2 y-5=0\right. \end{equation*}

  • Después, calculamos el punto de intersección de r y s:

    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x-2 y-5=0 \\ 2 x-3 y-5=0 \end{array} \quad \Rightarrow P=\left(\frac{25}{7},-\frac{5}{7}\right)\right. \end{equation*}

  • Luego, pasamos t a la forma general:

    \begin{equation*} t \equiv \frac{x}{-2}+\frac{y}{3}=1 \quad \Rightarrow 3 x-2 y=-6 \quad \Rightarrow3 x-2 y+6=0 \end{equation*}

  • Finalmente, sustituimos P en la ecuación de todas las rectas paralelas. De tal manera que sustituyendo P=\left(\frac{25}{7},-\frac{5}{7}\right) en la ecuación 3 x-2 y+k=0 tenemos lo siguiente:

    \begin{equation*}3 \cdot \frac{25}{7}-2\left(-\frac{5}{7}\right)+k=0\quad\Rightarrow3 \cdot \frac{25}{7}-2\left(-\frac{5}{7}\right)+k=0\quad \Rightarrow k=-\frac{85}{7}\end{equation*}

.

  • De esta manera, obtenemos que la ecuación es:

    \begin{equation*}3 x-2 y+-\frac{85}{7}=0\quad \Rightarrow 21 x-14 y-85=0\end{equation*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗