Definición de vector normal

 

Un vector normal a un plano, es aquel que es perpendicular a dicho plano, luego cualquier vector contenido en el plano es perpendicular al vector normal.

 

vector normal

 

Si \vec{n} = (A, B, C) representa el vector normal de un plano \pi y P(x_0, y_0, z_0) es un punto del plano \pi, entonces se puede determinar la ecuación del plano.

 

Consideramos un punto arbitrario X = (x, y, z) del plano \pi y construimos el vector \overrightarrow{PX} el cual se encuentra en el plano \pi

 

\overrightarrow{PX} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)

 

Como \vec{n} es un vector normal, entonces es perpendicular a \overrightarrow{PX} y ambos cumplen que

 

\vec{n} \cdot \overrightarrow{PX} = 0

 

esta ecuación nos permite determinar la ecuación general del plano a partir de un punto y un vector normal.

 

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Ejercicios con vectores

 

1Hallar la ecuación del plano \pi que pasa por el punto (1, 1, 1) y perpendicular a la recta x = \lambda, y = 0, z = \lambda.

1Al ser el plano perpendicular a la recta, entonces el vector de dirección de la recta es un vector normal del plano \pi

 

2Calculamos el vector director de la recta x = \lambda, y = 0, z = \lambda, el cual se obtiene a partir de los coeficientes del parámetro \lambda

 

\begin{array}{rcl} \vec{n} = (1, 0, 1) \end{array}

 

3Conocemos el punto P(1, 1, 1) del plano. Consideramos un punto arbitrario X(x, y, z) y construimos el vector en el plano \pi

 

\overrightarrow{PX} = (x - 1, y- 1, z - 1)

 

4Calculamos el producto interno del vector en el plano y el vector normal y lo igualamos a cero

 

\begin{array}{rcl} \vec{n} \cdot \overrightarrow{PX} & = & 0 \\\\ (1, 0, 1) \cdot (x - 1, y- 1, z - 1) & = & 0  \\\\ x - 1 + z - 1 & = & 0 \end{array}

 

Así, x + z - 2 = 0 es la ecuación del plano \pi

 

2Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendicular al plano x - y - z + 2 = 0.

1La recta solicitada es perpendicular al plano, por lo que el vector normal al plano será su vector director

 

2El vector normal se obtiene a partir de los coeficientes de x, y, z de la ecuación del plano

 

\begin{array}{rcl} \vec{n} = (1, -1, -1) \end{array}

 

3Conocemos el punto P(1, 0, 0) por donde pasa la recta. La ecuación de la recta que pasa por el punto  (x_0, y_0, z_0) y tiene vector director (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) viene dada por

 

\cfrac{x - x_0}{\lambda_1} = \cfrac{y - y_0}{\lambda_2} = \cfrac{z - z_0}{\lambda_3}

 

4Sustituimos los valores del punto y del vector director para obtener la ecuación de la recta

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{x - 1}{1} = \cfrac{y}{-1} & = & \cfrac{z}{-1} \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗