Name: Producto escalar de dos vectores
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Temas

Maneras de calcular el producto escalar
Cálculo del módulo y ángulos de vectores
Ortogonalidad de dos vectores
Interpretación geométrica del producto escalar
Propiedades del producto escalar

Si tienes un problema con un modelo que tiene condiciones de contorno definidas, pero también quieres que el modelo tenga cierta flexibilidad para que pueda ser resuelto más fácilmente por diferentes métodos, debes saber qué es un producto escalar.

Puede que no siempre entiendas lo que es un producto escalar, ya que la definición suele implicar complejas ecuaciones matemáticas, pero siguen siendo importantes para entender otros conceptos de la física. En particular, cuando se estudian las condiciones de contorno en la atmósfera, como las nubes de bajo nivel o los chubascos, la inclusión de un producto escalar en la formulación facilitará la resolución del problema.

Un producto escalar es una cantidad escalar o vectorial que tiene un valor definido positivo, pero que no es necesariamente cero. En otras palabras, representa un cambio de cualquier cantidad medible, como un vector, y no necesariamente la posición o dirección real a la que apunta el vector. Los productos escalares de dos o más vectores suelen definirse como la suma de todas las cantidades vectoriales correspondientes, aunque no es necesario.

El producto escalar de dos vectores es una operación que toma dos vectores y produce un número real:

$\displaystyle k = \vec{u} \cdot \vec{v}$

Observemos que el producto escalar se suele denotar por medio de un punto $\vec{u} \cdot \vec{v}$ . Otra notación que se suele utilizar es $\displaystyle \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle$ . Sin embargo, en Superprof siempre denotaremos el producto escalar utilizando un punto.

Además, el producto escalar no debe confundirse con la multiplicación de un vector por un escalar.

Maneras de calcular el producto escalar

Existen dos maneras equivalentes de obtener el producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ . Estas se describen a continuación:

1 Si conocemos el módulo de ambos vectores y el ángulo $\alpha$ que forman entre ellos, entonces el producto escalar se obtiene mediante

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha$

2 Si conocemos los componentes de los vectores $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$ , entonces el producto escalar está dado por

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$

Ejemplos

1 Consideremos los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ . Asimismo, el ángulo entre los vectores es $\alpha = 45^{\circ}$ .

Para calcular el producto escalar, primero debemos encontrar el módulo de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ :

$\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3, \qquad \left| \vec{v} \right| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

De este modo, el producto escalar está dado por

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos\left( 45^{\circ} \right) = 15\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15$

2 Repetiremos el ejemplo anterior con $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ . Sin embargo, ahora utilizaremos la otra fórmula:

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 = 15$

Notemos que el resultado fue el mismo sin importar la fórmula que utilizáramos.

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Cálculo del módulo y ángulos de vectores

Como vimos anteriormente, existen dos fórmulas equivalentes para calcular el producto escalar de dos vectores. Por lo tanto, se puede utilizar el producto escalar para calcular el módulo de un vector o el ángulo entre dos vectores.

Calcular el módulo de un vector utilizando el producto escalar

Notemos que si $\vec{u}$ es un vector, entonces

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{u} = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{u} \right| \cos\left( 0^{\circ} \right) = \left| \vec{u} \right|^2$

Por lo tanto,

$\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$

Esta fórmula se puede utilizar para calcular el módulo de un vector $\vec{u}$ utilizando el producto escalar de $\vec{u}$ consigo mismo.

Calcular el ángulo entre dos vectores utilizando el producto escalar

Supongamos que tenemos los vectores $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$ . Entonces

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha$

Despejando $\cos \alpha$ , tenemos

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right|}$

Así, si sustituimos la otra fórmula del producto escalar, se tiene

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \sqrt{v_1^2 + v_2^2} }$

Esta fórmula se utiliza para calcular $\alpha$ utilizando la función arco-coseno.

Ejemplos

1 Consideremos, nuevamente, los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ . Entonces el módulo de estos vectores es:

$\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{ \vec{u} \cdot \vec{u} } = \sqrt{9} = 3$

$\displaystyle \left| \vec{v} \right| = \sqrt{ \vec{v} \cdot \vec{v} } = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

2 Ahora calcularemos el ángulo entre $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ . Tenemos que

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{3 \cdot 5 + 0 \cdot 5}{\sqrt{3^2 + 0^2} \sqrt{5^2 + 5^2} } = \frac{15}{3 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

De manera que

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Por lo tanto, debemos tener que

$\displaystyle \alpha = 45^{\circ}$

Ortogonalidad de dos vectores

Sabemos que dos vectores son ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es $\alpha = 90^{\circ}$ o $\alpha = -90^{\circ}$ . En cualquiera de estos casos, tenemos que $\cos \alpha = 0$ . Por lo tanto, si dos vectores son ortogonales, se tiene que

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha = 0$

Es decir, dos vectores $\vec{u} \neq 0$ y $\vec{v} \neq 0$ serán ortogonales siempre que se cumpla que

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$

Ejemplo

Verificaremos la ortogonalidad de los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ que utilizamos en los ejemplos anteriores. Observemos que

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 = 15 \neq 0$

Por lo tanto, los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son perpendiculares.

Interpretación geométrica del producto escalar

Notemos que $\left| \vec{u} \right| \cos \alpha$ se puede ver como el módulo de la proyección del vector $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ —siempre que $-90^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}$ —, tal y como se muestra en la siguiente figura. La proyección sería el vector con origen $O$ y extremo $A'$ .

Eso se sigue al observar el triángulo rectángulo que se formó en la figura anterior. Sabemos que

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{\text{\text{CA}}}{\text{HI}} = \frac{\overline{OA'}}{\left| \vec{u} \right|}$

De manera que, al despejar $\overline{OA'}$ , tenemos

$\displaystyle \overline{OA'} = \left|\vec{u} \right| \cos \alpha$

Para imaginar la proyección, piensa que hay una fuente de luz y la proyección es la sombra del vector $\vec{u}$ sobre el vector $\vec{v}$ . Además, esta fuente de luz debe estar colocada de tal forma que un vector perpendicular a $\vec{v}$ no proyecte sombra alguna. Observa la siguiente figura:

De este modo, el producto $\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha$ puede verse como el módulo de uno de los vectores multiplicado por el módulo de la proyección del otro vector. Es decir, al sustituir $\overline{OA'} = \left|\vec{u} \right| \cos \alpha$ en la fórmula del producto escalar, tenemos

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{v} \right| \cdot \overline{OA'}$

Por lo tanto, podemos calcular el módulo de la proyección del vector $\vec{u}$ sobre el vector $\vec{v}$ utilizando

$\displaystyle \overline{OA'} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v} }{\left| \vec{v} \right| }$

Nota: Si tenemos que $\left| \vec{u} \right| \cos \alpha$ es negativo, entonces esto significa que la proyección tiene sentido contrario al vector $\vec{v}$ . Esto ocurre cuando $\alpha > 90^{\circ}$ o $\alpha < - 90^{\circ}$ . En este caso, el módulo de la proyección está dada por $| \overline{OA'} |$ . Observa la siguiente figura:

Ejemplo

Encontraremos la proyección de $\vec{u} = (2, 1)$ sobre el vector $\vec{v} = (-3, 4)$ . Para hacer esto, calculemos

$\displaystyle P(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{2 \cdot (-3) + 1 \cdot 4}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = -\frac{2}{5}$

Observemos que $P(\vec{u}, \vec{v})$ tiene signo negativo. Por lo tanto, la proyección tiene sentido contrario que $\vec{v}$ y su módulo es $2/5$ . Observa la siguiente figura:

Propiedades del producto escalar

El producto escalar satisface diferentes propiedades. Las más importantes son las siguientes:

1 El producto escalar es conmutativo. En otras palabras, "el orden de los factores no altera el producto". De este modo, no importa en qué orden se multipliquen los vectores.

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

2 Asociatividad respecto a la multiplicación por escalar. Es decir, si multiplicamos $\vec{u}$ por $\vec{v}$ y luego por un escalar $k$ , entonces el resultado es lo mismo que realizar primero $k\vec{u}$ y luego hacer el producto escalar por $\vec{v}$ . Esto es,

$\displaystyle k \left(\vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \left(k\vec{u} \right) \cdot \vec{v}$

3 Distributividad respecto a la suma. Esto es,

$\displaystyle \left(\vec{u} + \vec{v} \right) \cdot \vec{w} =\vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$

Nota: Las propiedades 2 y 3 juntas se conocen como linealidad del producto escalar respecto al primer operando.

Nota: Debido a que el producto escalar es conmutativo, entonces también se cumple la linealidad respecto al segundo operando. Es decir,

$\displaystyle k \left(\vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \vec{u} \cdot \left(k\vec{v} \right)$

$\displaystyle \vec{u} \cdot \left(\vec{v} + \vec{w} \right) =\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

4 El producto escalar es definido positivo. Esto es, el producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

$\displaystyle \vec{u} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de vectores y producto escalar

Traslaciones, giros, simetria axial y central

Teoría

Simétrico de un punto respecto de otro

El vector unitario o de magnitud uno

Suma y resta de vectores

¿Cuales son los elementos y las clases de vectores?

La combinacion lineal de vectores

Sistema de referencia

Independencia lineal entre vectores

Dependencia e independencia lineal. Bases

Giros

Distancia entre dos puntos y modulo de un vector

Operaciones con vectores – suma, resta y multiplicacion por escalar

Vectores en el espacio

Condicion para que tres puntos esten alineados

Traslaciones de vectores

Base ortogonal y base ortonormal de dos vectores

Simetria axial

Coordenadas del baricentro

Coordenadas del punto medio de un segmento

El vector de posicion y el vector en el plano

Producto escalar de vectores en el espacio cartesiano

Definicion y ejemplos del producto mixto de tres vectores

Definicion de vectores equipolentes y libres

Aplicaciones de vectores y segmentos

Resumen de vectores de un plano

Producto de un numero por un vector

Division de un segmento en una relación dada

Operaciones con vectores en el espacio

Definición de vectores

Simetria central

Transformaciones geométricas

Fórmulas

Vectores ortogonales y ortonormales

Calcular la Distancia entre dos puntos

Producto escalar de vectores parte II

Fórmulas de vectores

Combinacion lineal de vectores en el espacio

Producto cruz

Tipos de vectores

Producto punto

Angulo de dos vectores

Vectores y coordenadas

Suma analitica y grafica de vectores

Multiplicacion de un escalar por un vector

¿Qué son los vectores linealmente independientes?

Vectores linealmente dependientes

Coordenadas cartesianas y polares

Ejercicios de vectores en el espacio

Interpretacion geometrica del producto escalar

Cosenos directores

Base ortogonal y base ortonormal – tres vectores

Sistemas de referencia

Dependencia e independencia lineal de vectores

Formulas del producto escalar de vectores

Vectores en el plano

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos: el punto simetrico

Ejercicios interactivos de las coordenadas del punto medio y del baricentro

Ejercicios interactivos de tres puntos alineados y división de un segmento en tres partes iguales

Ejercicios interactivos de traslaciones

Ejercicios interactivos de giros

Ejercicios interactivos de simetría central

Ejercicios interactivos de simetria axial

Ejercicios interactivos de tres puntos alineados y division de un segmento en tres partes iguales

Suma de Vectores Ejercicios Resueltos

Ejercicios interactivos de homotecias

Ejercicios interactivos de operaciones con vectores

Ejercicios interactivos: modulo de un vector, distancia entre dos puntos

Ejercicios interactivos del vector posición y coordenadas de un vector

Ejercicios interactivos de vectores unitarios

Otros ejercicios

Ejercicios resueltos de vectores II

Ejercicios del producto escalar y vectorial

Ejercicios resueltos de traslaciones

Problemas de vectores

Ejercicios resueltos de vectores

Ejercicios y problemas resueltos de vectores y producto escalar

Ejercicios de vectores III

Ejercicios del producto escalar

Problemas de vectores en el espacio

Producto vectorial y mixto

Ejercicios de vectores (parte 2)

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Angel David Sanchez Calle

Febrero 2022

necesito hallar el producto escalar de V=(i+j ) , U=(i-j)

Vicente

Diciembre 2021

Responda con falso o verdadero a cada una de las proposiciones siguientes (Justifique su respuesta).

a) En Rn, si u.v=0, entonces u=0 o v=0
b) En Rn, si u.v=u.w, entonces v=w
c) En Rn, si cu=0, entonces c=0 o u=0
d) En Rn, ||cu||=c||u||

Ayudame por fa

Alexa Durán

Agosto 2021

Excelente información! me ha ayudado mucho

Superprof

Agosto 2021

¡Nos alegramos mucho! 🙂

claudia

Mayo 2021

para la asignatura de matematica necesito saber la importancia de los vectores

JUAN ANDRADE

Abril 2021

excelente muy claro la explicación

Superprof

Abril 2021

🙂

Martí

Febrero 2021

Hola, querría comentar que el producto escalar entre 3 o más vectores no es ni conmutativo ni asociativo.