Name: Producto escalar de dos vectores
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Marta

2 enero 2020

Temas

Maneras de calcular el producto escalar
Cálculo del módulo y ángulos de vectores
Ortogonalidad de dos vectores
Interpretación geométrica del producto escalar
Propiedades del producto escalar

El producto escalar de dos vectores es una operación que toma dos vectores y produce un número real:

$\displaystyle k = \vec{u} \cdot \vec{v}$

Observemos que el producto escalar se suele denotar por medio de un punto $\vec{u} \cdot \vec{v}$ . Otra notación que se suele utilizar es $\displaystyle \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle$ . Sin embargo, en Superprof siempre denotaremos el producto escalar utilizando un punto.

Además, el producto escalar no debe confundirse con la multiplicación de un vector por un escalar.

Maneras de calcular el producto escalar

Existen dos maneras equivalentes de obtener el producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ . Estas se describen a continuación:

1 Si conocemos el módulo de ambos vectores y el ángulo $\alpha$ que forman entre ellos, entonces el producto escalar se obtiene mediante

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha$

2 Si conocemos los componentes de los vectores $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$ , entonces el producto escalar está dado por

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$

Ejemplos

1 Consideremos los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ . Asimismo, el ángulo entre los vectores es $\alpha = 45^{\circ}$ .

Para calcular el producto escalar, primero debemos encontrar el módulo de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ :

$\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3, \qquad \left| \vec{v} \right| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

De este modo, el producto escalar está dado por

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos\left( 45^{\circ} \right) = 15\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15$

2 Repetiremos el ejemplo anterior con $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ . Sin embargo, ahora utilizaremos la otra fórmula:

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 = 15$

Notemos que el resultado fue el mismo sin importar la fórmula que utilizáramos.

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Cálculo del módulo y ángulos de vectores

Como vimos anteriormente, existen dos fórmulas equivalentes para calcular el producto escalar de dos vectores. Por lo tanto, se puede utilizar el producto escalar para calcular el módulo de un vector o el ángulo entre dos vectores.

Calcular el módulo de un vector utilizando el producto escalar

Notemos que si $\vec{u}$ es un vector, entonces

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{u} = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{u} \right| \cos\left( 0^{\circ} \right) = \left| \vec{u} \right|^2$

Por lo tanto,

$\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$

Esta fórmula se puede utilizar para calcular el módulo de un vector $\vec{u}$ utilizando el producto escalar de $\vec{u}$ consigo mismo.

Calcular el ángulo entre dos vectores utilizando el producto escalar

Supongamos que tenemos los vectores $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$ . Entonces

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha$

Despejando $\cos \alpha$ , tenemos

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right|}$

Así, si sustituimos la otra fórmula del producto escalar, se tiene

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \sqrt{v_1^2 + v_2^2} }$

Esta fórmula se utiliza para calcular $\alpha$ utilizando la función arco-coseno.

Ejemplos

1 Consideremos, nuevamente, los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ . Entonces el módulo de estos vectores es:

$\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{ \vec{u} \cdot \vec{u} } = \sqrt{9} = 3$

$\displaystyle \left| \vec{v} \right| = \sqrt{ \vec{v} \cdot \vec{v} } = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

2 Ahora calcularemos el ángulo entre $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ . Tenemos que

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{3 \cdot 5 + 0 \cdot 5}{\sqrt{3^2 + 0^2} \sqrt{5^2 + 5^2} } = \frac{15}{3 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

De manera que

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Por lo tanto, debemos tener que

$\displaystyle \alpha = 45^{\circ}$

Ortogonalidad de dos vectores

Sabemos que dos vectores son ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es $\alpha = 90^{\circ}$ o $\alpha = -90^{\circ}$ . En cualquiera de estos casos, tenemos que $\cos \alpha = 0$ . Por lo tanto, si dos vectores son ortogonales, se tiene que

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha = 0$

Es decir, dos vectores $\vec{u} \neq 0$ y $\vec{v} \neq 0$ serán ortogonales siempre que se cumpla que

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$

Ejemplo

Verificaremos la ortogonalidad de los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (5, 5)$ que utilizamos en los ejemplos anteriores. Observemos que

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 = 15 \neq 0$

Por lo tanto, los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son perpendiculares.

Interpretación geométrica del producto escalar

Notemos que $\left| \vec{u} \right| \cos \alpha$ se puede ver como el módulo de la proyección del vector $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ —siempre que $-90^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}$ —, tal y como se muestra en la siguiente figura. La proyección sería el vector con origen $O$ y extremo $A'$ .

Eso se sigue al observar el triángulo rectángulo que se formó en la figura anterior. Sabemos que

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{\text{\text{CA}}}{\text{HI}} = \frac{\overline{OA'}}{\left| \vec{u} \right|}$

De manera que, al despejar $\overline{OA'}$ , tenemos

$\displaystyle \overline{OA'} = \left|\vec{u} \right| \cos \alpha$

Para imaginar la proyección, piensa que hay una fuente de luz y la proyección es la sombra del vector $\vec{u}$ sobre el vector $\vec{v}$ . Además, esta fuente de luz debe estar colocada de tal forma que un vector perpendicular a $\vec{v}$ no proyecte sombra alguna. Observa la siguiente figura:

De este modo, el producto $\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha$ puede verse como el módulo de uno de los vectores multiplicado por el módulo de la proyección del otro vector. Es decir, al sustituir $\overline{OA'} = \left|\vec{u} \right| \cos \alpha$ en la fórmula del producto escalar, tenemos

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{v} \right| \cdot \overline{OA'}$

Por lo tanto, podemos calcular el módulo de la proyección del vector $\vec{u}$ sobre el vector $\vec{v}$ utilizando

$\displaystyle \overline{OA'} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v} }{\left| \vec{v} \right| }$

Nota: Si tenemos que $\left| \vec{u} \right| \cos \alpha$ es negativo, entonces esto significa que la proyección tiene sentido contrario al vector $\vec{v}$ . Esto ocurre cuando $\alpha > 90^{\circ}$ o $\alpha < - 90^{\circ}$ . En este caso, el módulo de la proyección está dada por $| \overline{OA'} |$ . Observa la siguiente figura:

Ejemplo

Encontraremos la proyección de $\vec{u} = (2, 1)$ sobre el vector $\vec{v} = (-3, 4)$ . Para hacer esto, calculemos

$\displaystyle P(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{2 \cdot (-3) + 1 \cdot 4}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = -\frac{2}{5}$

Observemos que $P(\vec{u}, \vec{v})$ tiene signo negativo. Por lo tanto, la proyección tiene sentido contrario que $\vec{v}$ y su módulo es $2/5$ . Observa la siguiente figura:

Propiedades del producto escalar

El producto escalar satisface diferentes propiedades. Las más importantes son las siguientes:

1 El producto escalar es conmutativo. En otras palabras, "el orden de los factores no altera el producto". De este modo, no importa en qué orden se multipliquen los vectores.

$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

2 Asociatividad respecto a la multiplicación por escalar. Es decir, si multiplicamos $\vec{u}$ por $\vec{v}$ y luego por un escalar $k$ , entonces el resultado es lo mismo que realizar primero $k\vec{u}$ y luego hacer el producto escalar por $\vec{v}$ . Esto es,

$\displaystyle k \left(\vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \left(k\vec{u} \right) \cdot \vec{v}$

3 Distributividad respecto a la suma. Esto es,

$\displaystyle \left(\vec{u} + \vec{v} \right) \cdot \vec{w} =\vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$

Nota: Las propiedades 2 y 3 juntas se conocen como linealidad del producto escalar respecto al primer operando.

Nota: Debido a que el producto escalar es conmutativo, entonces también se cumple la linealidad respecto al segundo operando. Es decir,

$\displaystyle k \left(\vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \vec{u} \cdot \left(k\vec{v} \right)$

$\displaystyle \vec{u} \cdot \left(\vec{v} + \vec{w} \right) =\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

4 El producto escalar es definido positivo. Esto es, el producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

$\displaystyle \vec{u} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0$

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Comentarios

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Busramant Rojas Eli

Septiembre

Me puede explicar de una propiedad conmutativa

Carlos Alberto Palafox Benitez

Noviembre

Claro, la propiedad conmutativa en la suma por ejemplo:

Si tu vas a la tienda y compras una soda y unas frituras:

Supongamos que el vendedor cobra primero la soda y después las frituras.
Supongamos que el vendedor cobra primero las frituras y después la soda.

Notaremos que el total es el mismo, eso expresa la ley conmutativa, la cual aplica en los números reales para la suma y el producto.

Martí

Febrero

Hola, querría comentar que el producto escalar entre 3 o más vectores no es ni conmutativo ni asociativo.

JUAN ANDRADE

Abril

excelente muy claro la explicación

Superprof

Abril

🙂

Producto escalar de vectores

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