Marta

23 diciembre 2020

 

Si se tiene una función f(x) derivable en un intervalo [a, b], entonces podemos medir la longitud de la gráfica en este intervalo. Esta longitud se conoce como la longitud del arco de la curva f(x)

 

longitud de arco

 

Para encontrar la longitud de arco empleamos la siguiente fórmula que viene dada por la integral definida

 

L = \displaystyle \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \; dx

 

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de la función y = x ^{\frac{3}{2}}  en el intervalo [0, 1].

 

ejemplo longitud de arco

 

1Derivamos la función

 

y' = \cfrac{3}{2} \; \sqrt{x}

 

2Sustituimos en la fórmula de longitud de arco

 

L = \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1 + \left (\cfrac{3}{2} \; \sqrt{x} \right )^2} \; dx

 

3Resolvemos la integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1 + \left (\cfrac{3}{2} \; \sqrt{x} \right )^2} \; dx & = & \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1 + \cfrac{9}{4} \; x } \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int_0^1 \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{1}{2}}} \; dx \end{array}

 

4Completamos la integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^1 \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{1}{2}}} \; dx & = & \displaystyle \cfrac{4}{9} \int_0^1 \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{1}{2}}} \cdot \cfrac{9}{4} \; dx \end{array}

 

5Hacemos u = 1 + \cfrac{9}{4} \; x, luego su derivada es u' = \cfrac{9}{4}. Resolvemos la integral de la función potencia

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{4}{9} \int_0^1 \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{1}{2}}} \cdot \cfrac{9}{4} \; dx & = & \left. \cfrac{4}{9} \cdot \cfrac{2}{3} \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{3}{2}}} \right |_0^1 \\\\ & = & \left. \cfrac{8}{27} \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{3}{2}}} \right |_0^1 \\\\ & = & \cfrac{8}{27} \left (1 + \cfrac{9}{4} \cdot 1 \right )^{\frac{3}{2}}} - \cfrac{8}{27} \left (1 + \cfrac{9}{4} \cdot 0 \right )^{\frac{3}{2}}} \\\\ & = & \cfrac{13 \sqrt{13} - 8}{27} \end{array}

 

6Así, la longitud de arco es

 

\begin{array}{rcl} L & = & \cfrac{13 \sqrt{13} - 8}{27} \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗