Integrales logaritmicas

 

{\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=ln\; x+c}

 

{\displaystyle\int\frac{u'}{u}dx=ln\; u+c}

 

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Vamos

Integrales exponenciales

 

{\displaystyle\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{ln\; a}+c}

 

{\displaystyle\int e^{x} dx=e^{x}+c}

 

{\displaystyle\int a^{u} \cdot u'dx=\frac{a^{u}}{ln\; a}+c}

 

{\displaystyle\int e^{u} \cdot u' dx=e^{u}+c}

 

 

Ejercicios de integrales

 

1{\displaystyle\int\frac{x^{2}}{x^{3}+8}dx}

 

Hacemos

 

{u=x^{3}+8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=3x^{2}}

 

Completamos la integral

 

{\displaystyle\int\frac{x^{2}}{x^{3}+8}dx=\frac{1}{3}\int\frac{3x^{2}}{x^{3}+8}dx=\frac{1}{3}ln\; \left(x^3+8 \right)+c}

 

2{\displaystyle\int cotg\; x \; dx}

 

Hacemos

 

{\displaystyle\int cotg\; x\; dx= \int\frac{cos\; x}{sen\; x}dx \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u=sen\; x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=cos\; x }

 

La integral es

 

{\displaystyle\int cotg\; x\; dx= \int\frac{cos\; x}{sen\; x}dx=ln\; sen\; x +c}

 

3{\displaystyle\int\frac{sen\; 2x}{1+sen^{2}x}dx}

 

Hacemos

 

{u=1+sen^{2}x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=2sen\; x \cdot cos\; x=sen\; 2x}}

 

Completamos la integral

 

{\displaystyle\int\frac{sen\; 2x}{1+sen^{2}x}dx=ln\; \left(1+ sen^{2}x \right)+c}

 

4{\displaystyle\int\frac{dx}{tg\; x}}

 

Hacemos

 

{\displaystyle\int\frac{dx}{tg\; x}=\int\frac{cos\; x \; dx}{sen\; x} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u=sen\; x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=cos\; x}}

 

La integral es

 

{\displaystyle\int\frac{dx}{tg\; x}=\int\frac{cos\; x \; dx}{sen\; x}=ln\; \left(sen\; x \right)+c}

 

5{\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)}dx}

 

Hacemos

 

{u=1+\sqrt{x} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}}

 

Completamos la integral

 

{\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)}=2 \displaystyle\int\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1+\sqrt{x}}=2 ln\left(1+\sqrt{x} \right)+c}

 

6{\displaystyle\int\frac{2x^{3}+x^{2}-x}{x^{2}}dx}

 

Hacemos

 

{\displaystyle\int\frac{2x^{3}+x^{2}-x}{x^{2}}dx=\int\left( 2x+1-\frac{1}{x}\right) \; dx}

 

La integral es

 

{\displaystyle\int\frac{2x^{3}+x^{2}-x}{x^{2}}dx=\int\left( 2x+1-\frac{1}{x}\right) \; dx=x^{2}+x- ln\; x+c}

 

7{\displaystyle\int\frac{2^{x}}{3^{x}}dx}

 

Hacemos

 

{\displaystyle\int\frac{2^{x}}{3^{x}}dx=\int\left( \frac{2}{3}\right)^{x} dx}

 

La integral es

 

{\displaystyle\int\frac{2^{x}}{3^{x}}dx=\int\left( \frac{2}{3}\right)^{x} dx=\frac{\displaystyle\left( \frac{2}{3}\right)^{x}}{ln \left( \displaystyle\frac{2}{3}\right)}+c}

 

8{\displaystyle\int x\; e^{x^{2}}dx}

 

Hacemos

 

{u=x^{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=2x}

 

La integral es

 

{\displaystyle\int x\; e^{x^{2}}dx=\frac{1}{2} \int 2x\; e^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+c}

 

9{\displaystyle\int  e^{sen^{2}x}sen\; 2x \; dx}

 

Hacemos

 

{u=sen^{2}x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=2sen\; x\; cos\; x=sen\; 2x }

 

La integral es

 

{\displaystyle\int  e^{sen^{2}x}sen\; 2x \; dx=e^{sen^{2}x}+c}

 

10{\displaystyle\int \frac{e^{tg\; x}}{cos^{2}x}dx}

 

Hacemos

 

{u=tg\; x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=sec^{2}x=\frac{1}{cos^{2}x}}

 

La integral es

 

{\displaystyle\int \frac{e^{tg\; x}}{cos^{2}x}dx=e^{tg\; x}+c}

 

11{\displaystyle\int \frac{5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}

 

Hacemos

 

{u=\sqrt{x} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}}

 

La integral es

 

{\displaystyle\int \frac{5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx=2\displaystyle\int \frac{5^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}dx=2\cdot \frac{5^{\sqrt{x}}}{ln\; 5}+c}

 

12{\displaystyle\int cos\; 5x\; e^{sen\; 5x}dx}

 

Hacemos

 

{u=sen\; 5x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=5cos\; 5x}

 

La integral es

 

{\displaystyle\int cos\; 5x\; e^{sen\; 5x}dx=\displaystyle\frac{1}{5}\int 5cos\; 5x\; e^{sen\; 5x}dx=\frac{1}{5}e^{sen\; 5x}+c}

 

13{\displaystyle\int \frac{e^{-2x}+e^{2x}}{2}dx}

 

Hacemos

 

{u=\pm 2x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ u'=\pm 2}

 

La integral es

 

{\displaystyle\int \frac{e^{-2x}+e^{2x}}{2}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{-1}{2}\int e^{-2x}(-2)dx + \frac{1}{2}\int e^{2x}2dx \right)=-\frac{e^{-2x}}{4}+\frac{e^{2x}}{4}+c}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗