Name: Ejercicios de areas de funciones
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Ejercicios propuestos

1 Calcular el área del recinto limitado por la curva $y=4x-x^{2}$ y el eje $\textup{OX}$ .

Calcular el área del recinto limitado por la curva $y=4x-x^{2}$ y el eje $\textup{OX}$ .

1 En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje $\textup{OX}$ para representar la curva y conocer los límites de integración.

$0=4x-x^{2}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x=4$

representación gráfica del área debajo de una parabola

2 En segundo lugar se calcula la integral:

$\displaystyle A=\int_{0}^{4}(4x-x^{2})dx=\left [ 2x^{2}-\cfrac{x^{3}}{3} \right ]^{4}_{0}=\cfrac{32}{3}\, u^{2}$

2 Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva $y=\ln x$ entre el punto de corte con el eje $\textup{OX}$ y el punto de abscisa $x=e$ .

Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva $y=\ln x$ entre el punto de corte con el eje $\textup{OX}$ y el punto de abscisa $x=e$ .

1 En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

$\ln x =0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; e^{0}=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1,0)$

representación gráfica del área debajo de una funcion logaritmica

$\displaystyle A= \int_{1}^{e}\ln x\, dx$

2 La integral se resuelve mediante integración por partes

$u=\ln x\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=\cfrac{1}{x}$

${v}'=1\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=x$

$\displaystyle \int \ln x\, dx=x\ln x-\int dx = x\ln x-x+\textup{C}$

$\displaystyle \int_{1}^{e}\ln x\, dx=\left [ x(\ln x-1) \right ]^{e}_{1}=0+1=1\, u^{2}$

3 Hallar el área limitada por la recta $x+y=10$ , el eje $\textup{OX}$ y las ordenadas de $x =2$ y $x=8$ .

Hallar el área limitada por la recta $x+y=10$ , el eje $\textup{OX}$ y las ordenadas de $x =2$ y $x=8$ .

representación gráfica del área debajo de una recta

$\displaystyle A=\int_{2}^{8}(10-x)\, dx=\left [ 10x-\cfrac{x^{2}}{2} \right ]_{2}^{8}=30\, u^{2}$

4 Calcular el área limitada por la curva $y=6x^{2}-3x^{3}$ y el eje de abscisas.

Calcular el área limitada por la curva $y=6x^{2}-3x^{3}$ y el eje de abscisas.

1 Calculamos los cruces de la función con el eje de las abscisas

$6x^{2}-3x^{3}=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 3x^{2}(2-x)=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=2$

representación gráfica del área debajo de una funcino polinomial

2 Planteamos y resolvemos la integral definida

$\displaystyle A=\int_{0}^{2}(6x^{2}-3x^{3})dx=\left [ 2x^{3}-\cfrac{3}{4}\, x^{4} \right ]_{0}^{2}=16-12=4\, u^{2}$

5 Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva $f(x)=x^{3}-6x^{2}+8x$ y el eje $\textup{OX}$ .

Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x³ − 6x² + 8x y el eje OX.

1 Calculamos los cruces de la función con el eje de las abscisas

$x^{3}-6x^{2}+8x=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x(x^{2}-6x+8)=0$

$x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=2\; \; \; \; \; x_{3}=4$

representación gráfica del área entre una funcion polinomial y el eje x

2 Planteamos una integral definida

$\displaystyle A=\int_{0}^{2}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx+\left | \int_{2}^{4}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx \right |$

El área sobre el eje $\textup{OX}$ es igual al área en valor absoluto del área bajo el eje $\textup{OX}$ (en el intervalo dado), por tanto se puede escribir:

3 Resolvemos las integrales

$\displaystyle A=2\int_{0}^{2}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx=2\left [ \cfrac{x^{4}}{4}-2x^{3}+4x^{2} \right ]_{0}^{2}=8\, u^{2}$

6 Calcular el área del círculo de radio $r$ .

Calcular el área del círculo de radio $r$ .

1 Partimos de la ecuación de la circunferencia y despejamos la $y$

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$

representación gráfica del área de un circulo en el plano cartesiano

2 El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante, por lo que

$\displaystyle A_{1}=\int _{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\, dx$

3 Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

$\displaystyle \int \sqrt{r^{2}-x^{2}}\, dx$

$x=r\sin t$

$dx=r\cos t\, dt$

$\displaystyle \int\sqrt{r^{2}-x^{2}}\, dx=\int \sqrt{r^{2}-r^{2}\sin ^{2}t}\, r\cos t\, dt=\int \sqrt{r^{2}(1-\sin ^{2}t)}\, r\cos t\, dt$

$\displaystyle \int r^{2}\cos^{2}t\, dt=r^{2}\int \cos^{2}t\, dt=r^{2}\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\, dt=r^{2}\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\sin 2t \right ]+\textup{C}$

4 Hallamos los nuevos límites de integración y sustituimos

[ $\begin{matrix} \; \; \; x=0\; \; \; & \; \; \; 0=r\sin t\; \; \; &\; \; \; \sin t=0 \; \; \; & \; \; \; t=0\; \; \; \\ & & & & \\ x=r & r=r\sin t & \sin t=1 & t=\cfrac{\pi }{2} \end{matrix}$

$A_{1}=r^{2}\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\, \sin 2t \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=r^{2}\left ( \cfrac{\pi }{4}-0 \right )=\cfrac{1}{4}\, \pi r^{2}$

$A=4A_{1}=\pi r^{2}$

7 Hallar el área de una elipse de semiejes $a$ y $b$ .

representación gráfica del área de una elipse en el plano cartesiano

1 Partimos de la ecuación de la elipse

$\cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y=\pm \cfrac{b}{a}\, \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

2 Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será $4$ veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

$\displaystyle A=4\int_{0}^{a}\cfrac{b}{a}\, \sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx$

$\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx$

3 Resolvemos la integral aplicando un cambio de variable

$x= a\sin t$

$dx=a\cos t \, dt$

$\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx=\int \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\, a\cos t\, dt=\int \sqrt{a^{2}(1-\sin^{2}t)}\, a\cos t\, dt$

$\displaystyle \int a^{2}\cos^{2}t\, dt=a^{2}\int \cos^{2}t\, dt=a^{2}\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\, dt=a^{2}\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\sin^{2}2t \right ]+\textup{C}$

4 Hallamos los nuevos límites de integración y sustituimos

$\begin{matrix} \; \; \; x=0\; \; \; & \; \; \; 0=r\sin t\; \; \; &\; \; \; \sin t=0 \; \; \; & \; \; \; t=0\; \; \; \\ & & & & \\ x=a & a=a\sin t & \sin t=1 & t=\cfrac{\pi }{2} \end{matrix}$

$\displaystyle A=4\int_{0}^{a}\cfrac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx=\cfrac{4b}{a}\cdot a^{2}\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\sin^{2}2t \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=4ab\left ( \cfrac{\pi }{4} \right )=\pi ab$

8 Calcular el área limitada por la curva $y=x^{2}-5x+6$ y la recta $y = 2x$ .

Calcular el área limitada por la curva $y=x^{2}-5x+6$ y la recta $y=2x$ .

1 En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

$\left\{\begin{matrix} y=x^{2}-5x+6\\ y=2x\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow\; \; \; \; \; x_{1}=1\; \; \; x_{2}=6$

representación gráfica del área entre una recta y una parabola

2 De $x=1$ a $x=6$ , la recta queda por encima de la parábola, por lo que

$\displaystyle A=\int_{1}^{6}(2x-x^{2}+5x-6)\, dx=A=\int_{1}^{6}(-x^{2}+7x-6)\, dx=\left [ -\cfrac{x^{3}}{3}+\cfrac{7x^{2}}{2}-6 \right ]_{1}^{6}$

$=\left ( -\cfrac{6^{3}}{3}+\cfrac{7\cdot 6^{2}}{2}-36 \right )-\left ( -\cfrac{1}{3}+\cfrac{7}{2}-6 \right )=\cfrac{125}{6}\, u^{2}$

9 Calcular el área limitada por la parábola $y^{2}=4x$ y la recta $y=x$ .

Calcular el área limitada por la parábola $y^{2}=4x$ y la recta $y=x$ .

1 Calculamos los puntos de intersección de las funciones

$\left\{\begin{matrix} y^{2}=4x\\ y=x \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow\; \; \; \; \; y^{2}=4y\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (4,0)$

representación gráfica del área entre una parabola y una recta

2 De $x=0$ a $x=4$ , la parábola queda por encima de la recta, por lo que

$\displaystyle A=\int_{0}^{4}\sqrt{4x}\, dx-\int_{0}^{4}x\, dx=\int_{0}^{4}\left ( \sqrt{4x}-x \right )\, dx=\left [ \cfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-\cfrac{x^{2}}{2} \right ]_{0}^{4}=\cfrac{8}{3}\, u^{2}$

10 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones $3y=x^{2}$ e $y=-x^{2}+4x$ .

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones $3y=x^{2}$ e $y=-x^{2}+4x$ .

1 En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

$y=\cfrac{x^{2}}{3}$

$x_{v}=0\; \; \; y_{v}=0\; \; \; V(0,0)$

$y=-x^{2}+4x$

$x_{v}=-\cfrac{4}{-2}=2\; \; \; y_{v}=4\; \; \; V(2,4)$

$-x^{2}+4x=0\; \; \; x_{1}=0\; \; \; x_{2}=4$

2 Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

$\left\{\begin{matrix} y=\cfrac{x^{2}}{3}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \\ y=-x^{2}+4x \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (3,3)$

representación gráfica del área entre dos parabolas

$\displaystyle \int_{0}^{3}\left ( -x^{2}+4x-\cfrac{x^{2}}{3} \right )\, dx=\int_{0}^{3}\left ( -\cfrac{4}{3}\, x^{2}+4x \right )\, dx$

$=\left [ -\cfrac{4}{9}\, x^{3}+2x^{2} \right ]_{0}^{3}=-12+18=6\, u^{2}$

11 Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas $y=x^{2}-2x$ , $y=-x^{2}+4x$ .

Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas $y=x^{2}-2x$ , $y=-x^{2}+4x$ .

1 Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

$x_{v}=\cfrac{2}{2}=1\; \; \; \; \; y_{v}=1^{2}-2\cdot 1=-1\; \; \; \; \; V(1,-1)$

$0=x^{2}-2x\; \; \; \; \; 0=x(x-2)\; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (2,0)$

$x_{v}=\cfrac{-4}{-2}=2\; \; \; \; \; y_{v}=-2^{2}+4\cdot 2=4\; \; \; \; \; V(2,-4)$

$0=-x^{2}+4x\; \; \; \; \; 0=x(-x+4)\; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (4,0)$

$\left\{\begin{matrix} y=x^{2}-2x\; \; \; \\ y=-x^{2}+4x \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x^{2}-2x=-x^{2}+4x\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (3,3)$

representación gráfica del área limitada entre dos parabolas

2 Consideramos las áreas que quedan sobre y debajo del eje de las abscisas para poder calcular el área total

$\displaystyle A_{1}=\int_{0}^{2}(x^{2}-2x)\, dx=\left [ \cfrac{x^{3}}{3}-x^{2} \right ]_{0}^{2}=-\cfrac{4}{3}\; \; \; \left | A_{1}\right |=\cfrac{4}{3}\, u^{2}$

$\displaystyle A_{2}=\int_{0}^{3}(-x^{2}+4x)\, dx=\left [ -\cfrac{x^{3}}{3}+2x^{2} \right ]_{0}^{3}=9\; \; \; A_{2}=9\, u^{2}$

$\displaystyle A_{3}=\int_{2}^{3}(x^{2}-2x)\, dx=\left [ \cfrac{x^{3}}{3}-x^{2} \right ]_{2}^{3}=\cfrac{4}{3}\; \; \; A_{3}=\cfrac{4}{3}\, u^{2}$

$A=\left | A_{1} \right |+A_{2}-A_{3}=\cfrac{4}{3}+9-\cfrac{4}{3}=9\, u^{2}$

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Marta

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Morelos
Invité

4 Oct.

Excelente su aportación para los jóvenes. Mil Gracias.

Superprof
Administrateur

7 Oct.

¡Es un placer!

Rodríguez Alarcón
Invité

23 Abr.

Excelentes ejercicios. Gracias. Saludos

Superprof
Administrateur

24 Abr.

¡Gracias!

Castañeda
Invité

24 May.

Hola, muy buenos ejercicios, pero tengo una pregunta, en el ejercicio ocho, el área también no debería incluir el recinto debajo del eje x que también cubre la parabola? Ya que no está incluido en el dibujo

Karla Paulette Flores Silva
Editor

22 Jun.

Hola,

Muy cierto, pareciera en la imagen que no está coloreada esa diminuta sección, pero definitivamente se considera como parte del área que se desea calcular. Afortunadamente los cálculos del área son correctos.

Muchas gracias por tu pregunta, alguien más podría tener la misma duda,
¡saludos!

rodriguez
Invité

25 May.

hola.porfa alguienme podria ayudar a estos ejercicios encuentre el area bajo la curva de f, el ejex y las rectas x=a x=b para las siguientes funciones f. trece en cada caso .

f(x)= -4x+5 a=1, b =4
f(x)=x^3 a=-4, b =4
f(x)=2x^2-4 a=-5, b =5

Karla Paulette Flores Silva
Editor

24 Jun.

Hola, El área bajo la curva limitada por las rectas x=a y x=b se calcula mediante la integral definida de a a b, esto es A = ∫14 -4x+5 dx A = -4x2/2 + 5x |14 A = -2x2 + 5x |14 A = [-2(4)2 + 5(4)] – [-2(1)2 +5(1)] A = [-2(16) + 5(4)] – [-2(1) +5(1)] A = [-32 + 20] – [-2 + 5] A = [-12] – [3] = – 12 – 3 A = -15 El área bajo la curva es entonces 15 unidades cuadradas. Te invito a proceder de la misma manera con el… Lire la suite »

Aguilar
Invité

27 May.

Muchísimas gracias profesora, no entendía como se realizaban hasta que encontré esto
Un saludo 😀

Superprof
Administrateur

27 May.

¡Génial! Un saludo de nuestra parte 🙂

Ejercicios de áreas de funciones

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