Ejercicios propuestos

1 Calcular el área del recinto limitado por la curva y=4x-x^{2} y el eje \textup{OX}.

 

Calcular el área del recinto limitado por la curva y=4x-x^{2} y el eje \textup{OX}.

 

1 En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje \textup{OX} para representar la curva y conocer los límites de integración.

 

0=4x-x^{2}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x=4

 

representación gráfica del área debajo de una parabola

 

2 En segundo lugar se calcula la integral:

 

\displaystyle A=\int_{0}^{4}(4x-x^{2})dx=\left [ 2x^{2}-\cfrac{x^{3}}{3} \right ]^{4}_{0}=\cfrac{32}{3}\, u^{2}

2 Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y=\ln x entre el punto de corte con el eje \textup{OX} y el punto de abscisa x=e.

 

Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y=\ln x entre el punto de corte con el eje \textup{OX} y el punto de abscisa x=e.

 

1 En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

 

\ln x =0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; e^{0}=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1,0)

 

representación gráfica del área debajo de una funcion logaritmica

 

 

\displaystyle A= \int_{1}^{e}\ln x\, dx

 

2 La integral se resuelve mediante integración por partes

 

u=\ln x\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=\cfrac{1}{x}

 

{v}'=1\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=x

 

\displaystyle \int \ln x\, dx=x\ln x-\int dx = x\ln x-x+\textup{C}

 

\displaystyle \int_{1}^{e}\ln x\, dx=\left [ x(\ln x-1) \right ]^{e}_{1}=0+1=1\, u^{2}

3 Hallar el área limitada por la recta x+y=10, el eje \textup{OX} y las ordenadas de x =2 y x=8.

 

Hallar el área limitada por la recta x+y=10, el eje \textup{OX} y las ordenadas de x =2 y x=8.

 

representación gráfica del área debajo de una recta

 

\displaystyle A=\int_{2}^{8}(10-x)\, dx=\left [ 10x-\cfrac{x^{2}}{2} \right ]_{2}^{8}=30\, u^{2}

4 Calcular el área limitada por la curva y=6x^{2}-3x^{3} y el eje de abscisas.

 

Calcular el área limitada por la curva y=6x^{2}-3x^{3} y el eje de abscisas.

 

1 Calculamos los cruces de la función con el eje de las abscisas

 

6x^{2}-3x^{3}=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 3x^{2}(2-x)=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=2

 

representación gráfica del área debajo de una funcino polinomial

 

2 Planteamos y resolvemos la integral definida

 

\displaystyle A=\int_{0}^{2}(6x^{2}-3x^{3})dx=\left [ 2x^{3}-\cfrac{3}{4}\, x^{4} \right ]_{0}^{2}=16-12=4\, u^{2}

5 Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x)=x^{3}-6x^{2}+8x y el eje \textup{OX}.

 

Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x³ − 6x² + 8x y el eje OX.

 

1 Calculamos los cruces de la función con el eje de las abscisas

 

x^{3}-6x^{2}+8x=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x(x^{2}-6x+8)=0

 

x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=2\; \; \; \; \; x_{3}=4

 

representación gráfica del área entre una funcion polinomial y el eje x

2 Planteamos una integral definida

 

\displaystyle A=\int_{0}^{2}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx+\left | \int_{2}^{4}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx \right |

 

El área sobre el eje \textup{OX} es igual al área en valor absoluto del área bajo el eje \textup{OX} (en el intervalo dado), por tanto se puede escribir:

 

3 Resolvemos las integrales

 

\displaystyle A=2\int_{0}^{2}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx=2\left [ \cfrac{x^{4}}{4}-2x^{3}+4x^{2} \right ]_{0}^{2}=8\, u^{2}

6 Calcular el área del círculo de radio r.

 

Calcular el área del círculo de radio r.

1 Partimos de la ecuación de la circunferencia y despejamos la y

 

x^{2}+y^{2}=r^{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}

 

representación gráfica del área de un circulo en el plano cartesiano

 

2 El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante, por lo que

 

\displaystyle A_{1}=\int _{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\, dx

 

3 Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

 

\displaystyle \int \sqrt{r^{2}-x^{2}}\, dx

 

x=r\sin t

 

dx=r\cos t\, dt

 

\displaystyle \int\sqrt{r^{2}-x^{2}}\, dx=\int \sqrt{r^{2}-r^{2}\sin ^{2}t}\, r\cos t\, dt=\int \sqrt{r^{2}(1-\sin ^{2}t)}\, r\cos t\, dt

 

\displaystyle \int r^{2}\cos^{2}t\, dt=r^{2}\int \cos^{2}t\, dt=r^{2}\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\, dt=r^{2}\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\sin 2t \right ]+\textup{C}

 

4 Hallamos los nuevos límites de integración y sustituimos

 

[\begin{matrix} \; \; \; x=0\; \; \; & \; \; \; 0=r\sin t\; \; \; &\; \; \; \sin t=0 \; \; \; & \; \; \; t=0\; \; \; \\ & & & & \\ x=r & r=r\sin t & \sin t=1 & t=\cfrac{\pi }{2} \end{matrix}

 

A_{1}=r^{2}\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\, \sin 2t \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=r^{2}\left ( \cfrac{\pi }{4}-0 \right )=\cfrac{1}{4}\, \pi r^{2}

 

A=4A_{1}=\pi r^{2}

7 Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

 

representación gráfica del área de una elipse en el plano cartesiano

 

1 Partimos de la ecuación de la elipse

 

\cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y=\pm \cfrac{b}{a}\, \sqrt{a^{2}-x^{2}}

 

2 Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

 

\displaystyle A=4\int_{0}^{a}\cfrac{b}{a}\, \sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx

 

\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx

 

3 Resolvemos la integral aplicando un cambio de variable

 

x= a\sin t

 

dx=a\cos t \, dt

 

\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx=\int \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\, a\cos t\, dt=\int \sqrt{a^{2}(1-\sin^{2}t)}\, a\cos t\, dt

 

\displaystyle \int a^{2}\cos^{2}t\, dt=a^{2}\int \cos^{2}t\, dt=a^{2}\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\, dt=a^{2}\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\sin^{2}2t \right ]+\textup{C}

 

4 Hallamos los nuevos límites de integración y sustituimos

 

\begin{matrix} \; \; \; x=0\; \; \; & \; \; \; 0=r\sin t\; \; \; &\; \; \; \sin t=0 \; \; \; & \; \; \; t=0\; \; \; \\ & & & & \\ x=a & a=a\sin t & \sin t=1 & t=\cfrac{\pi }{2} \end{matrix}

 

\displaystyle A=4\int_{0}^{a}\cfrac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx=\cfrac{4b}{a}\cdot a^{2}\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\sin^{2}2t \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=4ab\left ( \cfrac{\pi }{4} \right )=\pi ab

8 Calcular el área limitada por la curva y=x^{2}-5x+6 y la recta y = 2x.

 

Calcular el área limitada por la curva y=x^{2}-5x+6 y la recta y=2x.

 

1 En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

 

\left\{\begin{matrix} y=x^{2}-5x+6\\ y=2x\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow\; \; \; \; \; x_{1}=1\; \; \; x_{2}=6

 

representación gráfica del área entre una recta y una parabola

 

2 De x=1 a x=6, la recta queda por encima de la parábola, por lo que

 

\displaystyle A=\int_{1}^{6}(2x-x^{2}+5x-6)\, dx=A=\int_{1}^{6}(-x^{2}+7x-6)\, dx=\left [ -\cfrac{x^{3}}{3}+\cfrac{7x^{2}}{2}-6 \right ]_{1}^{6}

 

=\left ( -\cfrac{6^{3}}{3}+\cfrac{7\cdot 6^{2}}{2}-36 \right )-\left ( -\cfrac{1}{3}+\cfrac{7}{2}-6 \right )=\cfrac{125}{6}\, u^{2}

9 Calcular el área limitada por la parábola y^{2}=4x y la recta y=x.

 

Calcular el área limitada por la parábola y^{2}=4x y la recta y=x.

1 Calculamos los puntos de intersección de las funciones

 

\left\{\begin{matrix} y^{2}=4x\\ y=x \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow\; \; \; \; \; y^{2}=4y\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (4,0)

 

representación gráfica del área entre una parabola y una recta

 

2 De x=0 a x=4, la parábola queda por encima de la recta, por lo que

 

\displaystyle A=\int_{0}^{4}\sqrt{4x}\, dx-\int_{0}^{4}x\, dx=\int_{0}^{4}\left ( \sqrt{4x}-x \right )\, dx=\left [ \cfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-\cfrac{x^{2}}{2} \right ]_{0}^{4}=\cfrac{8}{3}\, u^{2}

10 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y=x^{2} e y=-x^{2}+4x.

 

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y=x^{2} e y=-x^{2}+4x.

 

1 En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

 

y=\cfrac{x^{2}}{3}

 

x_{v}=0\; \; \; y_{v}=0\; \; \; V(0,0)

 

y=-x^{2}+4x

 

x_{v}=-\cfrac{4}{-2}=2\; \; \; y_{v}=4\; \; \; V(2,4)

 

-x^{2}+4x=0\; \; \; x_{1}=0\; \; \; x_{2}=4

 

2 Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

 

\left\{\begin{matrix} y=\cfrac{x^{2}}{3}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \\ y=-x^{2}+4x \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (3,3)

 

representación gráfica del área entre dos parabolas

 

\displaystyle \int_{0}^{3}\left ( -x^{2}+4x-\cfrac{x^{2}}{3} \right )\, dx=\int_{0}^{3}\left ( -\cfrac{4}{3}\, x^{2}+4x \right )\, dx

 

=\left [ -\cfrac{4}{9}\, x^{3}+2x^{2} \right ]_{0}^{3}=-12+18=6\, u^{2}

11 Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y=x^{2}-2x, y=-x^{2}+4x.

 

Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y=x^{2}-2x, y=-x^{2}+4x.

 

1 Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

 

x_{v}=\cfrac{2}{2}=1\; \; \; \; \; y_{v}=1^{2}-2\cdot 1=-1\; \; \; \; \; V(1,-1)

 

0=x^{2}-2x\; \; \; \; \; 0=x(x-2)\; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (2,0)

 

x_{v}=\cfrac{-4}{-2}=2\; \; \; \; \; y_{v}=-2^{2}+4\cdot 2=4\; \; \; \; \; V(2,-4)

 

0=-x^{2}+4x\; \; \; \; \; 0=x(-x+4)\; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (4,0)

 

\left\{\begin{matrix} y=x^{2}-2x\; \; \; \\ y=-x^{2}+4x \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x^{2}-2x=-x^{2}+4x\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; (0,0)\; \; \; (3,3)

 

representación gráfica del área limitada entre dos parabolas

 

2 Consideramos las áreas que quedan sobre y debajo del eje de las abscisas para poder calcular el área total

 

\displaystyle A_{1}=\int_{0}^{2}(x^{2}-2x)\, dx=\left [ \cfrac{x^{3}}{3}-x^{2} \right ]_{0}^{2}=-\cfrac{4}{3}\; \; \; \left | A_{1}\right |=\cfrac{4}{3}\, u^{2}

 

\displaystyle A_{2}=\int_{0}^{3}(-x^{2}+4x)\, dx=\left [ -\cfrac{x^{3}}{3}+2x^{2} \right ]_{0}^{3}=9\; \; \; A_{2}=9\, u^{2}

 

\displaystyle A_{3}=\int_{2}^{3}(x^{2}-2x)\, dx=\left [ \cfrac{x^{3}}{3}-x^{2} \right ]_{2}^{3}=\cfrac{4}{3}\; \; \; A_{3}=\cfrac{4}{3}\, u^{2}

 

A=\left | A_{1} \right |+A_{2}-A_{3}=\cfrac{4}{3}+9-\cfrac{4}{3}=9\, u^{2}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗