Recordando la integral del seno

 

Recordemos que la derivada de la función \cos{x} es -\sin{x}, esto nos dice directamente que la derivada de -\cos{x} es \sin{x}. Ahora, la integral indefinida es considera la operación inversa a integrar, por lo tanto, se sigue que la integral de \sin{x} debe de ser -\cos{x}, sin embargo, recordemos que la derivada de cualquier constante es cero, así que también se tiene que la derivada de -\cos{x} + C también es \sin{x}, así, la antiderivada o integral de \sin{x} es, en realidad, -\cos{x} + C, en otras palabras

 

\displaystyle \int{\sin{x}dx} = -\cos{x} + C

 

También debemos de recordar la regla de la cadena, de donde se sigue que la derivada de -\cos{(u(x))} + C es \sin{(u(x))}u'(x), así, también se sigue que

 

\displaystyle \int{\sin{(u(x))}u'(x)dx} = -\cos{(u(x))} + C

 

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Ejercicios de integración de la función seno

 

Para estos ejercicios tendremos en cuenta que ya se conocen las propiedades básicas de integrales y que se tiene conocimiento de resolución de integrales por sustitución, por partes, etc. En caso de no recordar estos métodos te invitamos a ver nuestros artículos donde los explicamos.

 

1 \displaystyle \int{(3 - \sin{x}) dx}
 

Integraremos directamente

 

    \begin{align*} \int{(3 - \sin{x}) dx} &= \int{3 dx} - \int{\sin{x} dx}\\&= 3x - (-\cos{x}) + C\\&= 3x +\cos{x} + C\\\end{align*}

 

2 \displaystyle \int{\sin{(3x + 5)} dx}
 

Integraremos por el método de sustitución.

 

Tomaremos

 

\displaystyle u = 3x + 5 \quad \Rightarrow \quad du = 3 dx \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{3}

 

Sustituyendo en la integral tenemos

 

    \begin{align*} \int{\sin{(3x + 5)} dx} &= \int{\sin{u} \frac{du}{3}}\\&= \frac{1}{3}\int{\sin{u} du}\\&= \frac{1}{3}(- \cos{u}) + C\\&= -\frac{\cos{u}}{3}+ C\\&= -\frac{\cos{(3x + 5)}}{3}+ C\\\end{align*}

 

3 \displaystyle \int{(x + 1)\sin{(x^2 + 2x + 3)} dx}
 

Integraremos esta función por sustitución.

 

Tomemos

 

\displaystyle u = x^2 + 2x + 3 \quad \Rightarrow \quad du = (2x + 2)dx = 2(x + 1)dx

 

Multipliquemos y dividamos nuestra integral por 2 para no alterar su valor (esto se conoce como agregar un 1 algebraico), posteriormente sustituyamos y resolvamos

 

    \begin{align*} \int{(x + 1)\sin{(x^2 + 2x + 3)} dx} &= \frac{2}{2}\int{(x + 1)\sin{(x^2 + 2x + 3)} dx}\\&= \frac{1}{2}\int{2(x + 1)\sin{(x^2 + 2x + 3)} dx}\\&= \frac{1}{2}\int{\sin{(x^2 + 2x + 3)} 2(x + 1)dx}\\&= \frac{1}{2}\int{\sin{u} du}\\&= \frac{1}{2}(-\cos{u}) + C\\&= -\frac{\cos{u}}{2} + C\\&= -\frac{\cos{(x^2 + 2x + 3)}}{2} + C\\\end{align*}

 

4 \displaystyle \int{e^{x} \sin{x}dx}
 

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

\displaystyle \int{u dv} = uv - \int{vdu}

 

Decidamos que parte de la función será u(x) y cual será dv. En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

\displaystyle u = e^{x} \quad \Rightarrow \quad du = e^{x} dx

 

y

 

\displaystyle dv =\sin{x} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{\sin{x}dx} = -\cos{x}

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

    \begin{align*} \int{e^{x} \sin{x}dx} &= e^{x} (-\cos{x}) - \int{-\cos{x} e^{x}dx}\\\end{align*}

 

Volveremos a aplicar la integración por partes para integrar

 

\displaystyle - \int{-\cos{x} e^{x}dx},

 

en este caso u y dv serán

 

\displaystyle u = e^{x} \quad \Rightarrow \quad du = e^{x} dx

 

y

 

\displaystyle dv = -\cos{x} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{-\cos{x}dx} = -\sin{x}

 

    \begin{align*} - \int{-\cos{x} e^{x}dx} &= - \left[e^{x}(-\sin{x}) - \int{-\sin{x}e^{x}dx} \right]\\&= - \left[-e^{x}\sin{x} + \int{\sin{x}e^{x}dx} \right]\\&= e^{x}\sin{x} - \int{\sin{x}e^{x}dx}\\\end{align*}

 

Sustituyendo todo esto en nuestra primer integral tenemos que aparece la integral que deseamos calcular del lado izquierdo y del lado derecho pero con signo negativo, por lo tanto lo único que necesitamos hacer es despejar la integral que deseamos encontrar

 

    \begin{align*} \int{e^{x} \sin{x}dx} &= - e^{x} \cos{x} +e^{x}\sin{x} - \int{\sin{x}e^{x}dx} \\2\int{e^{x} \sin{x}dx} &= - e^{x} \cos{x} +e^{x}\sin{x}\\\int{e^{x} \sin{x}dx} &= \frac{e^{x} \sin{x} - e^{x}\cos{x}}{2}\\\int{e^{x} \sin{x}dx} &= \frac{e^{x}}{2} (\sin{x} - \cos{x}) + c\\\end{align*}

 

5 \displaystyle \int{e^{x} \sin{e^{x}}dx}
 

Integraremos por sustitución.

 

Tomaremos

 

\displaystyle u = e^{x} \quad \Rightarrow \quad du = e^{x} dx

 

y

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

    \begin{align*} \int{e^{x} \sin{e^{x}}dx} &= \int{ \sin{e^{x}}e^{x}dx}\\&= \int{ \sin{u}du}\\&= - \cos{u} + C\\&= - \cos{e^{x}} + C\\\end{align*}

 

6 \displaystyle \int{\sin^{2}{(2x)} dx}
 

Para integrar esta función primero necesitamos simplificar dicha función, para esto recordemos la siguiente identidad trigonométrica

 

\displaystyle \sin^{2}{(x)} = \frac{1 - \cos{(2x)}}{2}.

 

    \begin{align*} \int{\sin^{2}{(2x)} dx} &= \int{\frac{1 - \cos{(4x)}}{2} dx}\\&=\int{\frac{1}{2} dx} + \int{\frac{- \cos{(4x)}}{2} dx}\\&=\int{\frac{1}{2} dx} - \int{\frac{ \cos{(4x)}}{2} dx}\\&=\int{\frac{1}{2} dx} - \int{\frac{ \cos{(4x)}}{2} dx}\\&=\frac{1}{2} \int{dx} - \frac{1}{2} \int{\cos{(4x)} dx}\\&= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \int{\cos{(4x)} dx}\\\end{align*}

 

para resolver la integral

 

\displaystyle \int{\cos{(4x)} dx}

 

usaremos sustitución, tomemos

 

\displaystyle u = 4x \qquad \Rightarrow \qquad du = 4dx \qquad \Rightarrow \qquad dx = \frac{du}{4}

 

Por lo tanto

 

    \begin{align*} \int{\cos{(4x)} dx} &=\int{\cos{u} \frac{du}{4}}\\&=\frac{1}{4}\int{\cos{u} du}\\&=\frac{1}{4} \sin{u}\\&= \frac{1}{4}\sin{(4x)}\end{align*}

 

Sustituyendo en la integral anterior obtenemos

 

    \begin{align*} \int{\sin^{2}{(2x)} dx} &= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \frac{1}{4}\sin{(4x)} + C\\&= \frac{x}{2} - \frac{1}{8} \sin{(4x)} + C\\\end{align*}

 

7 \displaystyle \int{\sin^{3}{x} dx}
 

Primero escribamos nuestra integral de una forma más agradable

 

    \begin{align*} \int{\sin^{3}{x} dx} &= \int{\sin^{2}{x} \sin{x} dx}\\&= \int{(1 - \cos^{2}{x})\sin{x} dx}\\&= \int{(\sin{x} - \cos^{2}{x}\sin{x}) dx}\\&= \int{\sin{x}dx} + \int{-\cos^{2}{x}\sin{x}dx}\\&= - \cos{x} + \int{-\cos^{2}{x}\sin{x}dx}\\\end{align*}

 

Solo nos falta integrar

 

\displaystyle \int{-\cos^{2}{x}\sin{x}dx}

 

Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos

 

\displaystyle u =\cos{x} \quad \Rightarrow \quad du = -\sin{x}dx.

 

Por lo tanto

 

    \begin{align*} \int{-\cos^{2}{x}\sin{x}dx} &= \int{\cos^{2}{x}(-\sin{x})dx}\\&= \int{u^2 du}\\&= \frac{u^3}{3}\\&= \frac{\cos^3{x}}{3}\\\end{align*}

 

Así, sustituyendo en la integral original

 

    \begin{align*} \int{\sin^{3}{x} dx} &= - \cos{x} + \frac{\cos^3{x}}{3} + C \\\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗