Integral definida

 

Dada una función f(x) y un intervalo \left [ a,b \right ], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

 

ejemplo de grafica de integral definida

 

  • La integral definida se representa por \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx.
  • \displaystyle \int es el signo de integración.
  • a es  el límite inferior de la integración.
  • b es el límite superior de la integración.
  • f(x) es el integrando o función a integrar.
  • dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

 

 

 

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Propiedades de la integral definida

 

1 El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

 

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx=-\int_{b}^{a}f(x)\, dx

 

2 Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

 

\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\, dx=0

 

3 Si c es un punto interior del intervalo \left [ a,b \right ], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos \left [ a,c \right ] y \left [ c,b \right ].

 

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx=\int_{a}^{c}f(x)\, dx+\int_{c}^{b}f(x)\, dx

 

4 La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

 

\displaystyle \int_{a}^{b}\left [ f(x)+g(x) \right ]\, dx=\int_{a}^{b}f(x)\, dx+\int_{a}^{b}g(x)\, dx

 

5 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

 

\displaystyle \int_{a}^{b}k\cdot f(x)=k\cdot \int_{a}^{b}f(x)\, dx

 

Regla de Barrow

 

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado \left [ a,b \right ] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

 

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx=\left [ G(x) \right ]_{a}^{b}=G(b)-G(a)

 

Teorema fundamental del cálculo

 

\displaystyle \int F'(x)\, dx=f(x)

 

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

 

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

 

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es continua en un intervalo cerrado \left [ a,b \right ], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

 

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx=(b-a)\cdot f(c)

 

Representación gráfica del teorema del valor medio

 

 

Función integral

 

Sea f(t) una función continua en el intervalo \left [ a,b \right ].

A partir de esta función se define la función integral:

 

\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\, dt

 

que depende del límite superior de integración.

 

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

 

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la
curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

 

ejemplo de la funcion de la integral

 

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo \left [ a,b \right ].

 

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Marta

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Solorio
Solorio
Invité
17 May.

Excelente teoría introductoria al tema.

Superprof
Superprof
Administrateur
17 May.

Gracias por tu comentario, Solorio. Nos alegra que te guste ; )

Hernandez
Hernandez
Invité
1 Jun.

Excelente, muchas gracias por sus definiciones.

Ibañez Natalia
Ibañez Natalia
Invité
7 Sep.

Muchas gracias por tan apreciado articulo.

Superprof
Superprof
Administrateur
13 Sep.

¡Es un placer!

Pardo
Pardo
Invité
29 Sep.

Gracias por el aporte

Lopez Jimenez
Lopez Jimenez
Invité
7 Oct.

Como puedo resolver ²/⁶ (2x²+3)² dx

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Invité
8 Oct.

Creo que quisiste escribir (2/6)*(2x²+3)² dx (si no es correcto, podrias reformular la pregunta por favor? )

Sea la función f(x)=(2/6)*(2x²+3)² y deseamos encontrar la derivada, para lo cual utilizaremos la formula de derivación en el producto:

sea f(x)= u*v entonces f'(x)=u’*v + u*v’

f(x)=(2/6)*(2x²+3)² —> f'(x)= (16x^(3))/(3)+ 8x

Ruiz
Ruiz
Invité
15 Nov.

Buenas tardes, necesito informacion para citar.

Superprof
Superprof
Administrateur
15 Nov.

¡Hola Ruiz! Te aconsejamos usar el estilo de citación recomendado por tu profesor.
Aquí te dejamos un ejemplo de citación posible:

LA INTEGRAL DEFINIDA

Citación dentro del texto: (Material Didáctico – Superprof, 2019)

Bibliografía: Material Didáctico – Superprof. (2019). La Integral definida. [online] Accesible en: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integral-definida.html [Consultado el 15 Nov. 2019].