Definición de integrales de funciones racionales

En la integración de funciones racionales se trata de hallar la integral {\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)}dx}, siendo {P(x)} y {Q(x)} polinomios.

 

En primer lugar, supondremos el grado de {P(x)} es menor que el de {Q(x)}, si no fuera así se dividiría.

{\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)}dx = \int C(x)dx + \int\frac{R(x)}{Q(x)}dx}

{C(x)} es el cociente y {R(x)} el resto de la división polinómica.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes casos:

 

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Vamos

El denominador tiene sólo raíces reales simples

Tener raíces significa tener factores lineales que no se repiten, es decir,

{Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\cdot}

La fracción {\frac{P(x)}{Q(x)}} puede escribirse así:

 

{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{(x-a)} + \frac{B}{(x-b)} + \frac{C}{(x-c)} + \cdots}

{A, B} y {C} son números que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a {x}.

 

Ejemplo

{\displaystyle \int \cfrac{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x}dx}

Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por descomponer el denominador en factores
{\cfrac{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{B}{x-1} + \cfrac{C}{x+2}}

 

Se efectúa la suma:

{\cfrac{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x} = \cfrac{A(x-1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x-1)}{x(x-1)(x+2)}}

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

{2x^2+5x-1 = A(x-1)(x+2) + Bx(x+2) - Cx(x-1)}

Calculamos los coeficientes de {A, B} y {C} dando a la {x} los valores que anulan al denominador.

{\begin{matrix} x=0 & -1 = A(-1)(2) & A=\frac{1}{2}\\ & & \\ x=1 & 6=B(1)(3) & B=2\\ & & \\ x=-2 & -3 = C(-2)(-3) & C=-\frac{1}{2} \end{matrix}}

Se calculan las integrales de las fracciones simples:

 

\displaystyle \int \cfrac{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x}dx = \frac{1}{2}\int \cfrac{dx}{x} + 2\int \cfrac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \cfrac{dx}{x+2}

Haciendo cambios de variables respectivamente {u = x \quad du = dx}, {v= x-1 \quad dv = dx} y {w = x+2 \quad dw = dx}, para finalmente aplicar la integral inmediata {\int \frac{dx}{x} = \ln x + \textup{C}}

\displaystyle = \frac{1}{2}\ln x - 2\ln (x-1) - \frac{1}{2}\ln (x+2) + \textup{C}

Otra forma de hallar los coeficientes es realizando las operaciones e igualando coeficientes.

 

{2x^2+5x-1 = (A + B + C)x^2 + (A + 2B - C)x - 2A}

Igualamos coeficientes:

{\left\{ \begin{matrix} 2 & = & A + B + C \\ 5 & = & A + 2B - C \\ -1 & = & -2A \end{matrix} \right.}
Resolviendo el sistema encontramos el valor de {A = \frac{1}{2}}, sustituyendolo en las primeras dos ecuaciones tenemos:

{\left\{ \begin{matrix} 2 - \frac{1}{2} & = & B + C \\ & & \\ 5 - \frac{1}{2} & = & 2B - C \end{matrix} \right.}

{\left\{ \begin{matrix} \frac{3}{2} & = & B + C \\ & & \\ \frac{9}{2} & = & 2B - C \end{matrix} \right.}

 

Para finalmente, encontrar los valores {B = 2} y {C = -\frac{1}{2}}.

El denominador tiene raíces reales simples y con repetición

En este caso podríamos tener factores de la siguiente forma:

{Q(x)=(x-a)^n(x-a)^{n-1}(x-a)^{n-2}\cdots (x-a)}

La fracción {\frac{P(x)}{Q(x)}} puede escribirse así:

 

{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{(x-a)^n} + \frac{B}{(x-a)^{n-1}} + \frac{C}{(x-a)^{n-2}} + \cdots + \frac{Z}{x-a}}

{A, B, C} y {Z} son números que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a {x}.

 

Ejemplo

{\displaystyle \int \cfrac{x^2 - 8}{x^3+2x^2}dx}

 

Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por descomponer el denominador en factores
{\cfrac{x^2 - 8}{x^3+2x^2} = \cfrac{x^2 - 8}{x^2(x + 2)} = \cfrac{A}{x^2} + \cfrac{B}{x} + \cfrac{C}{x+2}}

Se efectúa la suma:

{\cfrac{x^2 - 8}{x^3+2x^2} = \cfrac{A(x+2) + Bx(x+2) + Cx^2}{x^2(x+2)}}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

{x^2 - 8 = A(x+2) + Bx(x+2) + Cx^2}

 

Calculamos los coeficientes de {A, B} y {C} realizando las operaciones e igualando coeficientes.

{x^2 - 8 = (B + C)x^2 + (A + 2B)x + 2A}

Igualamos coeficientes:

{\left\{ \begin{matrix} 1 & = & B + C \\ 0 & = & A + 2B\\ -8 & = & 2A \end{matrix} \right.}
Resolviendo el sistema encontramos el valor de {A = -4}, sustituyendolo en la segunda ecuación tenemos:

{0 = -4+2B \quad B = \frac{4}{2} \quad B = 2}
Para finalmente, encontrar el valor de C:

{1 = B + C \quad 1 = 2 + C \quad C = 1-2 = -1}.

Se calculan las integrales de las fracciones:

\displaystyle \int \cfrac{x^2 - 8}{x^3+2x^2}dx = -4\int \cfrac{dx}{x^2} + 2 \int \cfrac{dx}{x} - \int \cfrac{dx}{x+2}

 

La 1er integral es una integral de potencias y haciendo cambios de variables respectivamente para la 2da y 3er integral {u = x \quad du = dx} y {v= x+2 \quad dv = dx}, para finalmente aplicar las integrales inmediatas {\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \textup{ y } \int \frac{dx}{x} = \ln x + \textup{C}}

 

\displaystyle = -4\int x^{-2}dx + 2\int \frac{du}{u} - \int \frac{dv}{v} = \frac{4}{x} + 2\ln x - \ln (x+2) + \textup{C}

El denominador tiene raíces complejas y simples

En este caso tenemos factores de la forma:

{Q(x)= ax^2 + bx + c}

 

La fracción {\frac{P(x)}{Q(x)}} puede escribirse así:

{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c}}

 

{A} y {B} son números a determinar[/latex].

 

Ejemplo

{\displaystyle \int \cfrac{2x^2 + 3}{x^3+ 3x}dx}

 

Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador comenzamos por descomponer el denominador en factores

{\cfrac{2x^2 + 3}{x^3+ 3x} = \cfrac{2x^2 + 3}{x(x^2 + 3)} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{Bx + C}{x^2 + 3}}

 

Se efectúa la suma:

{\cfrac{2x^2 + 3}{x^3+ 3x} = \cfrac{A(x^2+3) + (Bx + C)x}{x(x^2 + 3)}}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

{2x^2 + 3 = A(x^2+3) + (Bx + C)x = Ax^2 + 3A + Bx^2 + Cx}

 

Calculamos los coeficientes de {A, B} y {C} realizando las operaciones e igualando coeficientes.

{2x^2 + 3 = (A + B)x^2 + Cx + 3A}

 

Igualamos coeficientes:

{\left\{ \begin{matrix} 2 & = & A + B \\ 0 & = & C\\ 3 & = & 3A \end{matrix} \right.}

 

Resolviendo el sistema encontramos el valor de {A = \frac{3}{3} = 1} y {C = 0}, sustituyendo el valor de A en la primera ecuación tenemos:

{2 = 1 + B \quad B = 2 - 1 \quad B = 1}

 

Se calculan las integrales de las fracciones:

\displaystyle \int \cfrac{2x^2 + 3}{x^3+ 3x}dx = \int \cfrac{dx}{x} + \int \cfrac{xdx}{x^2 + 3}

 

Haciendo cambios de variables respectivamente {u = x \quad du = dx} y {v= x^2+3 \quad dv = 2xdx}, para finalmente aplicar la integral inmediata {\int \frac{dx}{x} = \ln x + \textup{C}}

 

\displaystyle = \int \frac{du}{u} - \frac{1}{2} \int \frac{dv}{v} = \ln x + \frac{1}{2} \ln (x^2+3) + \textup{C}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗