Marta

1 marzo 2021

 

Calcular las integrales trigonométricas:

 

1 {\int(\cos x - sen\, x )dx}

 

Aplicando integrales inmediatas de funciones trigonométricas tenemos:
 
{\int(\cos x - sen\, x )dx = sen\, x + \cos x +C}

2{\int(3x^2 - \sec^2x)dx}

 

Aplicando la integral inmediata de potencias y de la función trigonométrica secante tenemos:
 
{\int(3x^2 - \sec^2x)dx = x^3 - tg\, x +C}

3{\int(e^x \cos e^x)dx}

 

Aplicando el cambio de variable {u = e^x}, tenemos una integral inmediata, entonces:
 
{\int(e^x \cos e^x)dx = sen\, e^x + C}

4{\int x sen\, (x^2 + 5)dx}

 

Aplicando el cambio de variable {u = x^2 + 5}, tenemos:
 
{\int x sen\, (x^2 + 5)dx = \frac{1}{2}\int sen\, (x^2 + 5)2xdx = -\frac{1}{2}\cos(x^2+5) + C}

5{\int \dfrac{sen\, (\ln x)}{x}dx}

 

Aplicando el cambio de variable {u = \ln x}, tenemos:
 
{\int \dfrac{sen\, (\ln x)}{x}dx = \int sen\,(\ln x)\dfrac{1}{x}dx = -\cos(\ln x) + C}

6{\int \cos^3xdx}

 

Comenzamos separando el {\cos^3x} y utilizamos la identidad trigonométrica {sen^2\,x + \cos^2x = 1}, entonces:
 
{\int \cos^3xdx = \int \cos^2x \cos x dx = \int (1-sen^2x)\cos xdx}
 
{=\int (\cos x - sen^2\,x\cos x)dx = \int \cos xdx -\int sen^2\,x\cos xdx }
 
Hacemos un cambio de variable {u = sen\, x} y {du = \cos xdx} a la segunda integral
 
{=\int \cos xdx - \frac{1}{3}\int 3sen^2\,x\cos xdx = sen\,x - \frac{1}{3}sen^3\,x + C}

7{\int sen^4\,xdx}

 

Utilizamos la identidad trigonométrica {sen^2\,x + \cos^2x = 1} y obtenemos:
 
{\int sen^4\,xdx = \int \left( \frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2dx = \int \frac{1 - 2 \cos 2x + \cos^2 2x}{4}dx}
 
{= \frac{1}{4}\int dx - \frac{1}{4}\int 2\cos 2x dx + \frac{1}{4}\int \cos^2 2xdx}
 
utilizando la identidad {\cos^2 2x = \frac{1+\cos 4x}{2}} para la tercer integral, tenemos:
 
{= \frac{1}{4}x -\frac{1}{4}sen\,2x + \frac{1}{4}\int \frac{1+\cos 4x}{2}dx }
 
{= \frac{1}{4}x -\frac{1}{4}sen\,2x + \frac{1}{8}x + \frac{1}{32}sen\,4x + C}
 
{= \frac{3}{8}x -\frac{1}{4}sen\,2x + \frac{1}{32}sen\,4x + C}

8{\int sen^5\, x \cos^2xdx}

 

Comenzamos separando los senos y usando la identidad trigonométrica {sen^2\,x + \cos^2x = 1}, entonces:
 
{\int sen^5\, x \cos^2xdx = \int sen\, x sen^4x \cos^2xdx}
 
{= \int (1-\cos^2x)^2sen\,x \cos^2xdx}
 
{= \int (1 - 2\cos^2x + \cos^4x)sen\,x \cos^2xdx}
 
{= \int (\cos^2x sen\, x - 2\cos^4xsen\, x + \cos^6x sen\, x)dx}
 
Hacemos los cambios de variables para cada una de las integrales y obtenemos:
 
{= -\frac{1}{3}\cos^3x + \frac{2}{5}cos^5x - \frac{1}{7}cos^7x + C}

9{\int \dfrac{dx}{sen\,x \cos x}dx}

 

Usando que {1 = sen^2\,x + \cos^2x}, tenemos:
 
{\int \frac{dx}{sen\,x \cos x}dx = \int \frac{sen^2\,x + \cos^2x}{sen\,x \cos x}dx = \int \frac{sen\, x}{\cos x}dx + \int \frac{\cos x}{sen\, x}dx
 
Haciendo los cambios de variable a cada integral tenemos:
 
{= - \ln (\cos x) + \ln (sen\, x) + C = \ln (\frac{sen\, x}{\cos x}) + C = \ln (tg\, x) + C}

10{\int sen^2 4xdx}

 

Utilizamos la identidad {sen^2\, 4x = \frac{1-\cos 8x}{2}}
 
{\int sen^2\, 4xdxdx = \int \frac{1-\cos 8x}{2} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{16}sen\,8x + C}

11{\int \cos^5xdx}

 

Separamos el coseno y utilizando la identidad trigonométrica {sen^2\,x + \cos^2x = 1}
 
{\int \cos^5xdx = \int \cos^4x\cos xdx = \int (1 - sen^2\,x)^2\cos xdx}
 
{=\int \cos xdx - 2\int sen^2\,x\cos xdx + \int sen^4x\cos xdx}
 
Haciendo los cambios de variables a cada integral, tenemos:
 
{= sen\,x - \frac{2}{3}sen^3\, x + \frac{1}{5}sen^5\,x + C}

12{\int \dfrac{dx}{\sqrt{x} \cos^2 \sqrt{x}}dx}

 

Hacemos el cambio de variable {u = \sqrt{x}}
 
{\int \dfrac{dx}{\sqrt{x} \cos^2 \sqrt{x}}dx = 2\int \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\cos^2\sqrt{x}}dx = 2tg\,\sqrt{x} + C}

13{\int \dfrac{sen^2\,x}{\cos^4x}dx}

 

Separamos los cosenos y haciendo el cambio {tg\, x= \frac{sen\, x}{\cos x}}, tenemos:
 
{\int\frac{sen^2\,x}{\cos^4x}dx = \int \frac{sen^2\,x}{\cos^2x} \frac{1}{\cos^2x}dx = \int tg^2\,x\frac{1}{\cos^2x}dx}
 
Usando el cambio de variable {u = tg\,x} y {\frac{1}{\cos^2x} = sec^2\, x}
 
{= \frac{1}{3}tg^3\,x + C}

14{\int \dfrac{sen\,x + tg\, x}{\cos x}dx}

 

Separamos las integrales y haciendo el cambio de variable {u = \cos x} para la primer integral, tenemos:
 
{\int \frac{sen\,x + tg\, x}{\cos x}dx = \int \frac{sen\,x}{\cos x}dx + \int \frac{tg\, x}{\cos x}dx}
 
{= \int \frac{sen\,x}{\cos x}dx + \int tg\, x \sec xdx = -\ln (\cos x) + \sec x + C}

15{\int \dfrac{dx}{sen\,x\cos x}dx}

 

Usando {1 = sen^2\,x + \cos^2x} y separando las integrales, tenemos:
 
{\int \frac{dx}{sen\,x\cos x}dx = \int \frac{sen^2\,x + \cos^2x}{sen\,x \cos x}dx = \int \frac{sen\,x}{\cos x}dx + \int \frac{\cos x}{sen\, x}dx}
 
Haciendo los cambios de variables para cada integral, tenemos:
 
{= -\ln (\cos x) + \ln (sen\, x) + C = \ln (tg\, x) + C}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗