Name: Ejercicios resueltos de integrales definidas
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Marta

27 octubre 2020

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¿Qué representa la integral definida y cómo la calculamos?
Ejercicios propuestos

¿Qué representa la integral definida y cómo la calculamos?

Recordemos que el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la integral definida se puede calcular utilizando

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x)} = F(b) - F(a)$

donde $F(x)$ es cualquier antiderivada de $f(x)$ (o primitiva).

Además, recordemos que la integral definida mide el área debajo de la curva de $f(x)$ entre los puntos $a$ y $b$ , tal y como se aprecia en la siguiente figura:

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Ejercicios propuestos

Resuelve las siguientes integrales definidas:

1 $\displaystyle \int_{-2}^{-1}{\frac{dx}{(x - 1)^3}}$

La primera integral la podemos resolver con la fórmula para integrar una potencia. Notemos primero que

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}{\frac{dx}{(x - 1)^3}} = \int_{-2}^{-1}{(x - 1)^{-3}dx}$

Por lo que podemos utilizar la fórmula

$\displaystyle \int{u^n dx} = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$

con el cambio de variable $u = x - 1$ y $du = dx$ (notemos que en integrales definidas no es necesaria la constante de integración). De esta manera, obtenemos,

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}{\frac{dx}{(x - 1)^3}} = \left. \frac{(x - 1)^{-3 + 1}}{-3 + 1} \right|_{-2}^{-1} = \left. \frac{(x - 1)^{-2}}{-2} \right|_{-2}^{-1}$

Es decir,

$\begin{align*} \int_{-2}^{-1}{\frac{dx}{(x - 1)^3}} & = \frac{1}{-2}\left. \frac{1}{(x - 1)^{2}} \right|_{-2}^{-1}\\& = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{(-1 - 1)^2} - \frac{1}{(-2 - 1)^2} \right]\\& = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{(-2)^2} - \frac{1}{(-3)^2} \right]\\& = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right]\\& = -\frac{1}{2} \left[ \frac{9 - 4}{36} \right]\\& = -\frac{1}{2} \left[ \frac{5}{36} \right] = -\frac{5}{72}\end{align*}$

2 $\displaystyle \int_{0}^{3}{\frac{dx}{\sqrt{1 + x}}}$

Al igual que en el caso anterior, esta integral la resolvemos con la fórmula de la integral de una potencia:

$\displaystyle \int_{0}^{3}{\frac{dx}{\sqrt{1 + x}}} = \int_{0}^{3}{(1 + x)^{-1/2}} = \left. \frac{(1 + x)^{1/2}}{1/2} \right|_{0}^{3}$

simplificamos un poco,

$\displaystyle = \left. 2\sqrt{1 + x}\right|_{0}^{3}$

Y evaluamos en los límites de la integral:

$\begin{align*} \int_{0}^{3}{\frac{dx}{\sqrt{1 + x}}} & = 2\left[ \sqrt{3 + 1} - \sqrt{0 + 1} \right]\\& = 2[\sqrt{4} - \sqrt{1}]\\& = 2(2 - 1) = 2(1) = 2\end{align*}$

3 $\displaystyle \int_{0}^{4}{x\sqrt{x^2 + 9}dx}$

Esta integral se resuelve con un cambio de variable. Notemos que dentro de la raíz tenemos $u(x) = x^2 + 9$ . Si derivamos, tenemos $du = 2xdx$ ; que al despejar $xdx$ , nos da

$\displaystyle xdx = \frac{1}{2}du$

Además, como haremos cambio de variable, también debemos cambiar los límites de la integral. En particular,

$\begin{align*} x = 0 & \Longrightarrow u = (0)^2 + 9 = 9\\x = 4 & \Longrightarrow u = (4)^2 + 9 = 25\end{align*}$

Por lo tanto, la integral se conviete en

$\displaystyle \int_{0}^{4}{x\sqrt{x^2 + 9}dx} = \int_{9}^{25}{\frac{1}{2}\sqrt{u}du} = \frac{1}{2}\int_{9}^{25}{u^{1/2}du}$

Ahora resolvemos la integral utilizando la fórmula de la integral de una potencia:

$\begin{align*} \int_{0}^{4}{x\sqrt{x^2 + 9}dx} & = \frac{1}{2}\left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{9}^{25}\\& = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} \left[ (25)^{3/2} - (9)^{3/2} \right]\\& = \frac{1}{3} \left[ 5^3 - 3^3 \right]\\& = \frac{1}{3} ( 125 - 27 )\\& = \frac{98}{3}\end{align*}$

4 $\displaystyle \int_{2}^{3}{\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}dx}$

Al igual que en el caso anterior, hacemos el siguiente cambio de variable

$\displaystyle u(x) = x^2 - 1$

donde, al derivar, tenemos $du = 2xdx$ . Por tanto, al despejar $xdx$ (ya que es lo que tenemos dentro del integrando), obtenemos

$\displaystyle xdx = \frac{1}{2}du$

Ahora obtenemos los nuevos límites:

$\begin{align*} x = 2 & \Longrightarrow u = 2^2 - 1 = 3\\x = 3 & \Longrightarrow u = 3^3 - 1 = 8\end{align*}$

Por tanto, la integral se convierte en

$\displaystyle \int_{2}^{3}{\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}dx} = \int_{3}^{8}{\frac{du}{2\sqrt{u}}} = \frac{1}{2} \int_{3}^{8}{u^{-1/2}du}$

Integramos con la fórmula de la integral de una potencia:

$\begin{align*} \int_{2}^{3}{\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}dx} & = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{1/2}}{1/2} \right]_{3}^{8}\\& = \frac{1}{2} \cdot 2 \left[ \sqrt{8} - \sqrt{3} \right]\\& = \sqrt{8} - \sqrt{3}\end{align*}$

5 $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{dx}{1 + x^2}}$

Esta integral se resuelve muy rápido si recordamos que

$\displaystyle \int{\frac{dx}{1 + x^2}} = \arctan(x) + C$

Por lo que la integral se resuelve de inmediato:

$\begin{align*} \int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{dx}{1 + x^2}} & = \left. \arctan x \right|_{1}^{\sqrt{3}}\\& = \arctan \sqrt{3} - \arctan 1\\& = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\\& = \frac{\pi}{12}\end{align*}$

Recordemos que $\tan(\pi/4) = 1$ y $\tan(\pi/3) = \sqrt{3}$ (recordar esos valores es útil cuando deseamos encontrar los valores de la arco-tangente).

6 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin^2 x dx}$

Para resolver esta integral necesitamos una identidad trigonométrica. En particular, como tenemos a $\sin x$ elevado a una potencia par (2 en este caso), entonces necesitamos de alguna potencia que reduzca hasta alguna potencia impar. Esta la podemos obtener a partir de la identidad del ángulo doble para coseno:

$\displaystyle \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

que, al despejar $\sin^2 x$ , obtenemos

$\displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

De esta forma, la integral se convierte en

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin^2 x dx} = \int_{0}^{\pi}{\frac{1 - \cos 2x}{2} dx}$

La cual ya se puede integrar de una forma más sencilla:

$\begin{align*} \int_{0}^{\pi}{\frac{1 - \cos 2x}{2} dx} & = \int_{0}^{\pi}{\frac{1}{2}dx} - \int_{0}^{\pi}{\frac{\cos 2x}{2}dx}\\& = \left. \frac{x}{2} \right|_{0}^{\pi} - \left. \frac{\sin 2x}{4} \right|_{0}^{\pi}\\& = \frac{1}{2} (\pi - 0) - \frac{1}{4} (\sin 2\pi - \sin 0)\\& = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} (0 - 0) = \frac{\pi}{2}\end{align*}$

7 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\tan^2 x dx}$

Es un poco complicado encontrar —por medio de prueba y error— alguna función $F(x)$ tal que $F'(x) = \tan^2 x$ ). Por este motivo, es mejor transformar a la $\tan^2 x$ utilizando una identidad pitagórica. Es decir,

$\displaystyle \tan^2 x + 1 = \sec^2 x$

Por lo que $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ . Así, la integral se convierte en

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\tan^2 x dx} = \int_{0}^{\pi}{(\sec^2 x - 1) dx}$

Como

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \tan x \right] = \sec^2 x$

entonces la integral la podemos resolver de inmediato:

$\begin{align*} \int_{0}^{\pi}{(\sec^2 x - 1) dx} & = \left[ \tan x - x \right]_{0}^{\pi}\\& = \tan \pi - \pi - (\tan 0 - 0)\\& = 0 - \pi - (0)\\& = - \pi\end{align*}$

8 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin x \cos x dx}$

Para esta integral no necesitamos utilizar ninguna identidad trigonométrica, ya que ni $\sin x$ ni $\cos x$ se encuentran elevados a alguna potencia. Por lo tanto, podemos tomar

$\displaystyle u(x) = \sin x$

Por lo tanto,

$\displaystyle du = \cos x dx$

Observa que el cambio de variable no es biyectivo (uno-a-uno) en el dominio. Por lo tanto, será necesario regresar a la variable original antes de evaluar:

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin x \cos x dx} = \int_{x = 0}^{x = \pi}{u du}$

Calculamos la antiderivada:

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin x \cos x dx} = \left. \frac{u^2}{2} \right|_{x = 0}^{x = \pi}$

Regresamos a la variable anterior:

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin x \cos x dx} = \left. \frac{\sin^2 x}{2} \right|_{0}^{\pi}$

Ahora evaluamos en los límites de la integral:

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin x \cos x dx} = \frac{\sin^2 \pi - \sin^2 0}{2} = \frac{0 - 0}{2} = 0$

Que es el resultado que buscábamos.

Nota: si hubieramos tomado $u(x) = \cos x$ también habríamos podido calcular la intergral sencillamente.

9 $\displaystyle \int_{2}^{3}{\frac{x}{x^2 - 1}dx}$

Observa que en esta integral también tenemos un cambio de variable. En particular,

$\displaystyle u(x) = x^2 - 1$

de donde se sigue que $du = 2xdx$ . Por tanto,

$\displaystyle x d x = \frac{1}{2} du$

Además,

$\begin{align*} x = 2 & \Longrightarrow u = (2)^2 - 1 = 3\\x = 3 & \Longrightarrow u = (3)^2 - 1 = 8\end{align*}$

Por tanto, la integral se convierte en

$\displaystyle \int_{2}^{3}{\frac{x}{x^2 - 1}dx} = \int_{3}^{8}{\frac{1}{2}\frac{du}{u}}$

Que al resolver y evaluar, obtenemos,

$\begin{align*} \int_{2}^{3}{\frac{x}{x^2 - 1}dx} & = \frac{1}{2} \left. \ln | u | \right|_{3}^{8}\\& = \frac{1}{2}(\ln 8 - \ln 3)\\& = \frac{1}{2}\ln \left( \frac{8}{3} \right)\\& = \ln \sqrt{\frac{8}{3}}\end{align*}$

10 $\displaystyle \int_{2}^{3}{\frac{dx}{x\ln^4 x}}$

Aunque no se vea inmediatamente, esta integral también se puede resolver con un cambio de variable (notemos que no todas las integrales se resuelven con cambio de variable). Tomemos,

$\displaystyle u(x) = \ln x$

Por lo que

$\displaystyle du = \frac{dx}{x}$

Luego, los límites se transforman en

$\begin{align*} x = 2 & \Longrightarrow u = \ln 2\\x = 3 & \Longrightarrow u = \ln 3\end{align*}$

Por tanto, la integral se transforma en

$\displaystyle \int_{2}^{3}{\frac{dx}{x\ln^4 x}} = \int_{\ln 2}^{\ln 3}{\frac{du}{u^4}} = \int_{\ln 2}^{\ln 3}{u^{-4}du}$

Así, resolviendo la integral y evaluando en los límites, tenemos,

$\begin{align*} \int_{2}^{3}{\frac{dx}{x\ln^4 x}} & = \left. \frac{u^{-3}}{-3} \right|_{\ln 2}^{\ln 3}\\& = -\frac{1}{3} \left( \frac{1}{\ln^3 3} - \frac{1}{\ln^3 2} \right)\\& = \frac{1}{3\ln^3 2} - \frac{1}{3\ln^3 3}\end{align*}$

Que es lo más que podríamos simplificar.

11 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}{\sin^3 x dx}$

En esta integral tenemos una potencia impar de $\sin x$ . Necesitamos hacer un cambio de variable, donde $\sin x dx$ será parte del diferencial de la nueva variable. Por tanto, separamos de la siguiente manera:

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}{\sin^3 x dx} = \int_{0}^{\pi/2}{\sin^2 x \sin x dx}$

ahora utilizamos la identidad pitagórica $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ para obtener

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}{\sin^3 x dx} = \int_{0}^{\pi/2}{(1 - \cos^2 x) \sin x dx}$

Podemos tomar el cambio de variable $u(x) = \cos x$ , por lo que $du = -\sin x dx$ , así

$\displaystyle -du = \sin x dx$

Además, el cambio de variable sí es inyectivo en el intervalo de integración, por lo tanto:

$\begin{align*} x = 0 & \Longrightarrow u = 1\\x = \pi/2 & \Longrightarrow u = 0\end{align*}$

De este modo, la integral se convierte en

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}{\sin^3 x dx} = \int_{1}^{0}{-(1 - u^2) du}$

Al resolver la integral, obtenemos

$\begin{align*} \int_{0}^{\pi/2}{\sin^3 x dx} & = -\left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{0}\\& = -\left[ \left( 0 - \frac{0}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right)\right]\\& = -\left( \frac{1}{3} - 1 \right)\\& = -\left( -\frac{2}{3} \right)\\& = \frac{2}{3}\end{align*}$

12 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\cos x e^{\sin x}dx}$

Aquí podemos ver de inmediato que tenemos un cambio de variable. Tomamos

$\displaystyle u(x) = \sin x$

por lo que $du = \cos x$ . De este modo, la integral se vuelve

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\cos x e^{\sin x}dx} = \int_{x = 0}^{x = \pi}{e^{u}du}$

Que al integrar, se vuelve

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\cos x e^{\sin x}dx} = \left. e^{u} \right|_{x = 0}^{x = \pi}$

Regresamos a la variable anterior y evaluamos en los límites:

$\begin{align*} \int_{0}^{\pi}{\cos x e^{\sin x}dx} & = \left. e^{\sin x} \right|_{0}^{\pi}\\& = e^{\sin \pi} - e^{\sin 0}\\& = e^0 - e^0 = 0\end{align*}$

13 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}{x^2\cos x dx}$

Esta integral se resuelve por integración por partes. Primero resolvemos la integral sin preocuparnos por los límites y después evaluamos:

$\displaystyle \int{x^2 \cos x dx}$

Como tenemos un polinomio multiplicando a $\cos x$ , tomaremos $u = x^2$ y $dv = \cos x dx$ . De este modo

$\begin{align*} u = x^2 \qquad \Longrightarrow \qquad du = 2xdx\\dv = \cos xdx \qquad \Longrightarrow \qquad v = \sin x\end{align*}$

Por tanto, la integral es ahora

$\displaystyle \int{x^2 \cos x dx} = x^2\sin x - 2\int{x\sin x dx}$

Volvemos a repetir el procedimiento, ahora con

$\displaystyle \int{x\sin x dx}$

donde tomamos $u = x$ y $dv = \sin xdx$ . Aquí tenemos:

$\begin{align*} u = x \qquad \Longrightarrow \qquad du = dx\\dv = \sin xdx \qquad \Longrightarrow \qquad v = -\cos x\end{align*}$

por lo tanto, esta seguna integral se vuelve

$\begin{align*} \int{x\sin x dx} & = -x\cos x - \int{(-\cos x)dx}\\& = -x\cos x + \int{\cos x dx}\\& = -x\cos x + \sin x + C\end{align*}$

Sustituyendo en la integral original, tenemos

$\begin{align*} \int{x^2 \cos x dx} & = x^2\sin x - 2\int{x\sin x dx}\\& = x^2\sin x - 2\left[ -x\cos x + \sin x \right] + C\\& = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\\& = (x^2 - 2)\sin x + 2x\cos x + C\end{align*}$

Ahora que tenemos la integral indefinida, evaluamos en los límites de integración:

$\begin{align*} \int_{0}^{\pi}{x^2 \cos x dx} & = \left[ (x^2 - 2)\sin x + 2x\cos x \right]_{0}^{\pi}\\& = (\pi^2 - 2)\sin \pi + 2\pi\cos \pi - (0 - 2)\sin 0 + 2(0)\cos 0\\& = (\pi^2 - 2)(0) + 2\pi(-1) - 0 + 0\\& = -2\pi\end{align*}$

14 $\displaystyle \int_{-1}^{1}{(\arccos x)^2 dx}$

Resolver integrales con funciones trigonométricas es un poco más complicado. Por lo regular, intentamos algún cambio de variable como

$\displaystyle t = \arccos x$

(aunque no siempre funciona). Despejando $x$ , tenemos $x = \cos t$ . Por tanto,

$\displaystyle dx = -\sin t dt$

De aquí se sigue que

$\displaystyle \int{(\arccos x)^2 dx} = \int{-t^2\sin tdt } = -\int{t^2\sin tdt}$

Esta integral también se resuelve por partes. Tomamos primero $u = t^2$ y $dv = \sin t dt$ , por tanto

$\begin{align*} u = t^2 \qquad \Longrightarrow \qquad du = 2tdt\\dv = \sin tdt \qquad \Longrightarrow \qquad v = -\cos t\end{align*}$

Y la integral se vuelve

$\displaystyle \int{(\arccos x)^2 dx} = -\left[ -t^2\cos t + 2\int{t\cos t dt} \right]$

Ahora tomamos $u = t$ y $dv = \cos t dt$ , así,

$\begin{align*} u = t \qquad \Longrightarrow \qquad du = dt\\dv = \cos tdt \qquad \Longrightarrow \qquad v = \sin t\end{align*}$

Con esto, la integral es

$\begin{align*} \int{(\arccos x)^2 dx} & = -\left[ -t^2\cos t + 2\int{t\cos t dt} \right]\\& = t^2\cos t - 2\left[ t\sin t - \int{ \sin t dt } \right]\\& = t^2\cos t - 2t\sin t - 2\cos t\\& = (t^2 - 2)\cos t - 2t\sin t\end{align*}$

Podemos regresar a la variable interior o podemos cambiar los límites de la integral. Optamos por la segunda opción:

$\begin{align*} x = -1 & \Longrightarrow t = \arccos(-1) = -\pi\\x = 1 & \Longrightarrow t = \arccos(1) = 0\end{align*}$

De este modo, la integral es

$\begin{align*} \int_{-1}^{1}{(\arccos x)^2 dx} & = \left[ (t^2 - 2)\cos t - 2t\sin t \right]_{-\pi}^{0}\\& = \left[ (-2)\cos 0 - 2(0)\sin 0 \right] - \left[ ((-\pi)^2-2)\cos(-\pi) - 2(-\pi)\sin(-\pi) \right]\\& = \left[ -2 \right] - \left[ (\pi^2-2)(-1) \right]\\& = -2 + \pi^2 - 2\\& = \pi^2 - 4\end{align*}$

15 $\displaystyle \int_{0}^{4}{\frac{dx}{1 + \sqrt{x}}}$

Por último, esta integral la resolveremos con un cambio de variable para deshacernos del radical. Tomamos $x = t^2$ , de este modo

$\displaystyle dx = 2tdt$

donde tomamos a $t \geq 0$ . De este modo, $t = \sqrt{x}$ y

$\begin{align*} x = 0 & \Longrightarrow t = \sqrt{0} = 0\\x = 4 & \Longrightarrow t = \sqrt{4} = 2\end{align*}$

Por tanto, la integral se vuelve

$\displaystyle \int_{0}^{4}{\frac{dx}{1 + \sqrt{x}}} = \int_{0}^{2}{\frac{2t}{1 + t}dt} = 2\int_{0}^{2}{\frac{t}{1 + t}dt}$

Notemos que debemos transformar el integrando un poco. Observemos que

$\displaystyle \frac{t}{1 + t} = \frac{t + 1 - 1}{1 + t} = 1 - \frac{1}{1 + t}$

Así, tenemos

$\begin{align*} \int_{0}^{4}{\frac{dx}{1 + \sqrt{x}}} & = 2\int_{0}^{2}{\frac{t}{1 + t}dt}\\& = 2\int_{0}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{1 + t} \right) dt}\\& = 2\left[ t - \ln(1 + t) \right]_{0}^{2}\\& = 2\left[ (2 - \ln 3) - (0 - \ln 1) \right]\\& = 2\left( 2 - \ln 3 \right)\\& = 4 - 2\ln 3\\& = 4 - \ln 3^2 = 4 - \ln 9\end{align*}$

Que es el resultado de la integral.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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lopez

Noviembre

esta mal la 3

Gaspar Leon

Mayo

Hola Lopez,

hemos revisado el ejercicio 3 y todo el procedimiento para encontrar la solución es correcto.
Te invitamos a que lo realices nuevamente y si tienes dudas, puedes preguntarnos.
Saludos

Hernandez

Abril

Como resolver un problema con el valor medio s cada intervalo y extrapolado a N (t)

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola,

Con gusto te apoyaremos, ¿podrías reformular tu pregunta? nos serviría también que nos mencionaras el contexto o el tema en el que tienes duda

¡saludos!

Maribel

Febrero

Integral Definida
(2, 3) 2x+3

vazquez

Junio

muchas gracias me ha ayudado a comprender los procedimientos matematicos

Superprof

Junio

¡Excelente!

Sepúlveda

Diciembre

Me ayudaste con mi tarea gracias.

Vane

Diciembre

Está bien explicado gracias

Andrea

Enero

Buenos Días cuales son las integrales definidas que se resuelven con la regla 7 llamada dominación

Abraham Cruz

Enero

Muchas gracias sus explicaciones son de mucha ayuda

Febrero

Por qué no se deshace el cambio de variable en la útima?

Superprof

Febrero

Hola, como la t se elimina por completo, no hay cambio de variable por hacer. Esperamos haber podido despejar tu duda. ¡Un saludo!

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