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Resolver las siguientes integrales de tipo potencial:

1\displaystyle \int \cfrac{1}{x^{2}\sqrt[5]{x^{2}}}\, dx

Para resolver la integral subimos el denominador y simplificamos las potencias, luego aplicamos la integral inmediata de potencias, es decir, {\int x^ndx = \cfrac{x^{n+1}}{n+1}}.

\displaystyle \int \cfrac{1}{x^{2}\sqrt[5]{x^{2}}}\, dx=\int x^{-2}x^{-\frac{2}{5}}dx=\int x^{-\frac{12}{5}}dx=\cfrac{x^{-\frac{12}{5}+1}}{-\frac{12}{5}+1}

 

=\cfrac{x^{-\frac{7}{5}}}{-\frac{7}{5}}=-\cfrac{5}{7\sqrt[5]{x^{7}}}+\textup{C}


2\displaystyle \int (x^4 -6x^2 -2x+4)dx

Comenzamos por separar la integral y aplicamos las integrales inmediatas correspondientes, es decir,
{\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}} y {\int dx = x}.\displaystyle \int (x^4 -6x^2 -2x+4)dx = \frac{x^5}{5} - \frac{6x^3}{3} -\frac{2x^2}{2} + 4x + \textup{C}

\displaystyle = \frac{x^5}{5} - 2x^3 - x^2 + 4x + \textup{C}


¿Conoces nuestras algebra clases?

3 \displaystyle \int \left(3\sqrt{x} + \cfrac{10}{x^6}\right)dx

Separamos la integral en dos, convertimos la raíz a potencia, finalmente aplicamos la integral de potencias {\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}}
\displaystyle \int \left(3\sqrt{x} + \cfrac{10}{x^6}\right)dx = 3\int x^{1/2}dx + 10\int x^{-6}dx

\displaystyle 3 \cfrac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} + 10 x^{-5} + \textup{C} = 2 x^{3/2} + \cfrac{10}{x^5} + \textup{C}

\displaystyle = 2\sqrt{x^3} + \cfrac{10}{x^5} + \textup{C}

4 \displaystyle \int \cfrac{x^2 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}dx

Comenzamos por separar la integral y simplificar las expresiones, para finalmente aplicar la integral de potencias {\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}}

\displaystyle \int \cfrac{x^2 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}dx = \int (x^{3/2} + x^{1/6})dx

\displaystyle = \cfrac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}} + \cfrac{x^{7/6}}{\frac{7}{6}} + \textup{C}= \frac{2}{5}\sqrt{x^5} + \frac{6}{7}\sqrt[6]{x^7} + \textup{C}

5 \displaystyle \int \left( \sqrt{5x} + \sqrt{\cfrac{5}{x}} \right)dx

Comenzaremos por separar la integral y aplicar la integral inmediata de potencias {\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}}

\displaystyle \int \left( \sqrt{5x} + \sqrt{\cfrac{5}{x}} \right)dx = \int (\sqrt{5}x^{1/2} + \sqrt{5}x^{-1/2})dx

\displaystyle = \sqrt{5}\int (x^{1/2} + x^{-1/2})dx = \sqrt{5} \left( \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2}\right) + \textup{C}

\displaystyle = 2\sqrt{5}\left(\frac{1}{3}\sqrt{x^3} + \sqrt{x}\right) + \textup{C}

6 \displaystyle \int \cfrac{3\sqrt{x} - 5\sqrt[3]{x^2}}{2\sqrt[4]{x}}dx

Separamos la integral y simplificamos las expresiones\displaystyle \int \left(\frac{3}{2}x^{1/4} - \frac{5}{2}x^{5/12}\right)dx = \frac{3}{2}\cfrac{x^{5/4}}{\frac{5}{4}} - \frac{5}{2}\cfrac{x^{17/12}}{\frac{17}{12}}

\displaystyle = \frac{6}{5}x^{5/4} - \frac{30}{17}x^{17/12} + \textup{C} = \frac{6}{5}\sqrt[4]{x^5} - \frac{30}{17}\sqrt[12]{x^{17}} + \textup{C}

7 \displaystyle \int \sin x \cos xdx

Para resolver la siguiente integral haremos un cambio de variable {u = \sin x \quad du=\cos x}

\displaystyle \int \sin x \cos xdx = \sin^2x + \textup{C}

8 \displaystyle \int \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}dx

Para resolver la siguiente integral haremos un cambio de variable {u = \sin \frac{x}{2} \quad du=\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}}

\displaystyle \int \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}dx = 2\cfrac{\sin^3}{3} + \textup{C}

\displaystyle = \frac{2}{3}\sin^3 + \textup{C}

9 \displaystyle \int (\tan^3 x + \tan^5 x)dx

Comenzamos factorizando el término en común {\tan^3 x} y utilizando la identidad {1 + \tan^2x = sec^2x}

\displaystyle \int (\tan^3 x + \tan^5 x)dx = \int \tan^3 x (1 + \tan^2 x)dx

\displaystyle = \int \tan^3 x \sec^2 xdx

Haciendo el cambio de variable {u = \tan x \quad du=\sec^2 x}

\displaystyle = \cfrac{\tan^4}{4} + \textup{C}

10 \displaystyle \int \sec^2 x \sqrt{\tan x}dx

Para resolver la integral comenzamos haciendo el cambio de variable {u = \tan x \quad du=\sec^2 x}

\displaystyle \int \sec^2 x \sqrt{\tan x}dx = \frac{2}{3}\tan^{3/2} + \textup{C}

11 \displaystyle \int \cot x \sqrt{\ln \sin x}dx

Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable {u=\ln \sin x \quad du = \cfrac{1}{\sin x}\cos x dx= \cot xdx},\displaystyle \int \cot x \sqrt{\ln \sin x}dx = \int \cot x (\ln \sin x)^{1/2}dx

\displaystyle = \cfrac{(\ln \sin x)^{3/2}}{\frac{3}{2}} + \textup{C} = \frac{2}{3}\sqrt{(\ln \sin x)^3} + \textup{C}

12 \displaystyle \int \cfrac{\sin 3x}{\sqrt{2 + \cos 3x}}dx

Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable {u = 2 + \cos 3x \quad du = -3 \sin 3x dx},\displaystyle \int \cfrac{\sin 3x}{\sqrt{2 + \cos 3x}}dx = -\frac{1}{3} \int \cfrac{3\sin 3x}{\sqrt{2 + \cos 3x}}dx

\displaystyle = -\frac{1}{3} \int 3\sin 3x(\sqrt{2 + \cos 3x})^{-1/2}dx = -\frac{1}{3}\cfrac{(2 + \cos 3x)^{1/2}}{\frac{1}{2}} + \textup{C}

\displaystyle = -\frac{2}{3}\sqrt{2 + \cos 3x} + \textup{C}

13 \displaystyle \int \left(\cfrac{\sec x}{1 + \tan x}\right)^2dx

Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable {u = 1 + \tan x \quad du = \sec^2 xdx},\displaystyle \int \left(\cfrac{\sec x}{1 + \tan x}\right)^2dx = \int \cfrac{\sec^2 x}{(1 + \tan x)^2}dx

\displaystyle = \int \sec^2 x(1 + \tan x)^{-2}dx = -\cfrac{1}{1 + \tan x}+ \textup{C}

14 \displaystyle \int \cos x \sqrt{\sin x}dx

Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable {u = \sin x \quad du = \cos xdx},\displaystyle \int \cos x \sqrt{\sin x}dx = \int \cos x (\sin x)^{1/2}dx

\displaystyle = \cfrac{(\sin x)^{3/2}}{\frac{3}{2}} + \textup{C}= \frac{2}{3}\sqrt{\sin^3 x}+ \textup{C}

15 \displaystyle \int \sec^3 x \tan xdx

Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable {u = \sec x \quad du = \sec x \tan xdx},\displaystyle \int \sec^3 x \tan xdx = \int \sec^2 x (\sec x \tan x)dx

\displaystyle = \cfrac{\sec^3x}{3} + \textup{C}

16 \displaystyle \int \cfrac{dx}{x(1+\ln x)^3}dx

Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable {u = 1 + \ln x \quad du = \cfrac{1}{x}dx},\displaystyle \int \cfrac{dx}{x(1+\ln x)^3}dx = \int \frac{1}{x}(1+\ln x)^{-3}dx

\displaystyle = -\cfrac{(1+\ln x)^{-2}}{-2} + \textup{C} = -\cfrac{1}{2(1 + \ln x)^2} + \textup{C}

17 \displaystyle \int \sqrt{x\sqrt{x}}dx

Comenzamos por escribir la raíz en su forma exponencial y luego simplificamos\displaystyle \int \sqrt{x\sqrt{x}}dx = \int (x(x)^{1/2})^{1/2}dx = \int (x^{3/2})^{1/2}dx

\displaystyle = \int x^{3/4}dx = \cfrac{x^{7/4}}{\frac{7}{4}} + \textup{C}

\displaystyle = \frac{4}{7}\sqrt[4]{x^7} + \textup{C}

18 \displaystyle \int \sqrt[3]{x\sqrt{\frac{2}{x}}}dx

Comenzamos por escribir la raíz en su forma exponencial y luego simplificamos\displaystyle \int \sqrt[3]{x\sqrt{\frac{2}{x}}}dx = \int \left(x(2x^{-1})^{1/2}\right)^{1/3}dx

\displaystyle = \int \left(x(2^{1/2}x^{-1/2})\right)^{1/3}dx = \int \left(2^{1/2}x^{1/2}\right)^{1/3}dx

\displaystyle = \int 2^{1/6}x^{1/6}dx = \cfrac{\sqrt[6]{2}x^{7/6}}{\frac{7}{6}} + \textup{C}

\displaystyle = \frac{6}{7}\sqrt[6]{2x^7} + \textup{C}

19 \displaystyle \int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin ^3x}}dx

Comenzamos con un cambio de variable {u = \sin x \quad du = \cos xdx}

\displaystyle \int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin ^3x}}dx = \int \cos x (\sin x)^{-3/2}dx

\displaystyle = \cfrac{(\sin x)^{-1/2}}{-\frac{1}{2}} + \textup{C} = -\cfrac{2}{\sqrt{\sin x}} + \textup{C}

20 \displaystyle \int \cfrac{(2\ln x)^2}{4x}dx

Observemos que al distribuir el cuadrado podemos simplificar la expresión y luego aplicamos un cambio de variable {u = \ln x \quad du = \cfrac{1}{x}dx}

\displaystyle \int \cfrac{(2\ln x)^2}{4x}dx = \int \cfrac{4\ln^2 x}{4x}dx = \int \cfrac{\ln^2 x}{x}dx

\displaystyle = \cfrac{\ln^3x}{3} + \textup{C}

21 \displaystyle \int \cfrac{\ln x^2}{x}dx

Aplicamos un cambio de variable {u = \ln x^2 \quad du = \cfrac{1}{x^2}(2x)dx = \cfrac{2}{x}dx}

\displaystyle \int \cfrac{\ln x^2}{x}dx = \frac{1}{2} \int \cfrac{2\ln x^2}{x}dx

\displaystyle = \cfrac{\ln^2x^2}{2} + \textup{C}

22 \displaystyle \int \cfrac{\sqrt{7 + 2\tan x}}{\cos^2x}dx

Comenzamos con un cambio de variable {u = 7 + 2\tan x \quad du = 2\sec^2xdx}

\displaystyle \int \cfrac{\sqrt{7 + 2\tan x}}{\cos^2x}dx =\frac{1}{2} \int \sqrt{7 + 2\tan x}\cdot2\sec^2xdx

\displaystyle = \frac{1}{2}\int (7 + 2\tan x)^{1/2}\cdot 2\sec^2xdx = \frac{1}{2}\cfrac{(7 + 2\tan x)^{3/2}}{\frac{3}{2}} + \textup{C}

\displaystyle = \frac{1}{3}\sqrt{(7 + 2\tan x)^3} + \textup{C}

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Vamos

Calcular las integrales logarítmicas:

1 \displaystyle \int \cfrac{x^2}{x^3 + 8}dx

Comenzamos con un cambio de variable {u =x^3 + 8 \quad du = 3x^2dx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cfrac{x^2}{x^3 + 8}dx = \frac{1}{3}\int \cfrac{3x^2}{x^3 + 8}dx

\displaystyle = \ln (x^3 + 8) + \textup{C}


2 \displaystyle \int \cot xdx

Comenzamos utilizando la definición {\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}}, luego con un cambio de variable {u =\sin x \quad du = \cos xdx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cot xdx = \int \cfrac{\cos x}{\sin x}dx

\displaystyle = \ln (\sin x) + \textup{C}

3 \displaystyle \int \cfrac{\sin 2x}{1 - \sin^2 x}dx

Comenzamos utilizando las identidades {\sin 2x = 2\sin x\cos x} y {1 -\sin^2 x = \cos^2 x}, simplificamos, hacemos un cambio de variable {u =\cos x \quad du = -\sin xdx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cfrac{\sin 2x}{1 - \sin^2 x}dx = \int \cfrac{2\sin x\cos x}{cos^2 x}dx

\displaystyle =\int \cfrac{2\sin x}{cos x}dx = -2\ln (\cos x) + \textup{C}

4 \displaystyle \int \tan 5xdx

Comenzamos utilizando la definición {\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}} y hacemos un cambio de variable {u =\cos 5x \quad du = -5\sin 5xdx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \tan 5xdx = -\frac{1}{5}\int \cfrac{5\sin 5x}{\cos 5x}dx

\displaystyle = -\frac{1}{5}\ln (\cos 5x) + \textup{C}

5 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\tan x}

Comenzamos utilizando la definición {\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}} y hacemos un cambio de variable {u =\sin x \quad du = \cos xdx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cfrac{dx}{\tan x} = \int \cfrac{\cos x}{\sin x}dx = \ln (\sin x) + \textup{C}

6 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}(1 +\sqrt{x})}dx

Comenzamos con un cambio de variable {u =1 + \sqrt{x} \quad du = \frac{1}{2\sqrt{2}}dx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}(1 +\sqrt{x})}dx = 2\int \cfrac{dx}{2\sqrt{x}(1 +\sqrt{x})}dx

\displaystyle = 2\ln (1 +\sqrt{x}) + \textup{C}

7 \displaystyle \int \cfrac{2x^3 + x^2 - x}{x^2}dx

Comenzamos separando la integral y aplicando la integrales inmediatas correspondientes {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cfrac{2x^3 + x^2 - x}{x^2}dx = \int \left(2x + 1 - \frac{1}{x}\right)dx

\displaystyle = \cfrac{2x^2}{2} + x - \ln x + \textup{C} = 2x^2 + x - \ln x + \textup{C}

8 \displaystyle \int \cfrac{3x^3 +5x}{x^2+1}dx

Comenzamos por separar y simplificar la integral, hacemos un cambio de variable {u = x^2 + 1 \quad du=2xdx} y aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cfrac{3x^3 +5x}{x^2+1}dx = \int \cfrac{3x^3 +3x + 2x}{x^2+1}dx = \int \cfrac{3x(x^2 + 1) + 2x}{x^2+1}dx

\displaystyle = \int \left(3x + \cfrac{2x}{x^2+1}\right)dx = \frac{3x^2}{2} + \ln(x^2 +1) + \textup{C}

9 \displaystyle \int \cfrac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}dx

Comenzamos con un cambio de variable {u =\sin x + \cos x \quad du = (\cos x - \sin x)dx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cfrac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}dx = \ln (\sin x + \cos x) + \textup{C}

10 \displaystyle \int \cfrac{dx}{(1+x^2)\arctan x}

Comenzamos con un cambio de variable {u =\arctan x \quad du = \frac{1}{1+\tan^2}dx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cfrac{dx}{(1+x^2)\arctan x} = \ln(\arctan x) + \textup{C}

11 \displaystyle \int \cfrac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx

Comenzamos con la definición {\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}}, luego un cambio de variable {u = \cos\sqrt{x} \quad du =-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}} y aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}

\displaystyle \int \cfrac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx = \int \cfrac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}\cos \sqrt{x}}dx = -2\int \cfrac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cos \sqrt{x}}dx

\displaystyle = -\ln(\cos \sqrt{x}) + \textup{C}

Resolver las siguientes integrales exponenciales:

1 \displaystyle \int \cfrac{2^x}{3^x}dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos por factorizar el exponente para poder aplicar la integral inmediata {\int a^xdx = \cfrac{1}{\ln a}a^x}

\displaystyle \int \cfrac{2^x}{3^x}dx = \int \left( \cfrac{2}{3}\right)^x

\displaystyle = \cfrac{1}{\ln \frac{2}{3}}\left(\cfrac{2}{3}\right)^x + \textup{C}


2 \displaystyle \int xe^{x^2}dx

Comenzamos con un cambio de variable {u = x^2 \quad du = 2x}, y aplicamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}

\displaystyle \int xe^{x^2}dx = \frac{1}{2}\int 2xe^{x^2}dx = e^{x^2} + \textup{C}

3 \displaystyle \int e^{\sin2x}\cos 2xdx

Comenzamos con el cambio de variable {u = \sin 2x \quad du = 2\cos 2x} y aplicamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}

\displaystyle \int e^{\sin2x}\cos 2xdx = \frac{1}{2}\int 2e^{\sin2x}\cos 2xdx

\displaystyle = e^{\sin 2x} + \textup{C}

4 \displaystyle \int \cfrac{e^{\tan x}}{\cos^2 x}dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos con la definición {\cfrac{1}{\cos x} = \sec x}, aplicamos un cambio de variable {u = \tan x \quad du = \sec^2xdx} y finalmente utilizamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}

\displaystyle \int \cfrac{e^{\tan x}}{\cos^2 x}dx = \int e^{\tan x}\sec^2 xdx = e^{\tan x} + \textup{C}

5 \displaystyle \int \cfrac{5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos haciendo un cambio de variable {u = \sqrt{x} \quad du = \cfrac{1}{2\sqrt{x}}dx} para poder aplicar la integral inmediata {\int a^xdx = \cfrac{1}{\ln a}a^x}

\displaystyle \int \cfrac{5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx = 2 \int \cfrac{5^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}dx

\displaystyle = \frac{1}{\ln 5}5^{\sqrt{x}} + \textup{C}

6 \displaystyle \int \cos 5x e^{\sin 5x}dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos con el cambio de variable {u = \sin 5x \quad du = 5\cos 5xdx} y finalmente utilizamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}

\displaystyle \int \cos 5x e^{\sin 5x}dx = \frac{1}{5}\int 5\cos 5x e^{\sin 5x}dx

\displaystyle = e^{\sin 5x} + \textup{C}

7 \displaystyle \int \cot x e^{\ln\sin x}dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos con el cambio de variable {u = \ln \sin x \quad du = \cfrac{1}{\sin x}\cos xdx = \cfrac{\cos x}{\sin x}dx = \cot xdx} y finalmente utilizamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}

\displaystyle \int \cot x e^{\ln\sin x}dx = e^{\ln \sin x} + \textup{C}

8 \displaystyle \int \cfrac{e^{-2x} + e^{2x}}{2}dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos separando la integral, hacemos los cambios de variable correspondientes {u = 2x \quad du = 2dx} y {u = -2x \quad du = -2dx}, finalmente utilizamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}

\displaystyle \int \cfrac{e^{-2x} + e^{2x}}{2}dx = \frac{1}{2}\int (e^{-2x} + e^{2x})dx

\displaystyle = \frac{1}{4}\int (-2e^{-2x} + 2e^{2x})dx = \frac{1}{4}(-e^{-2x}) + e^{2x} + \textup{C}

9 \displaystyle \int \cfrac{4^x + 5\cdot 16^x}{1+5\cdot 4^x}dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos simplificando la expresión y utilizamos la integral inmediata {\int a^xdx = \cfrac{1}{\ln a}a^x}

\displaystyle \int \cfrac{4^x + 5\cdot 16^x}{1+5\cdot 4^x}dx = \int \cfrac{4^x (1 + 5\cdot 4^x)}{1+5\cdot4^x}dx

\displaystyle = \int 4^xdx = \frac{1}{\ln 4} 4^x + \textup{C}

Calcular las integrales trigonométricas:

1 \displaystyle \int (\cos x - \sin x)dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos por separar la integral y aplicar las integrales inmediatas {\int \cos xdx = \sin x} y {\int \sin xdx = -\cos x}

\displaystyle \int (\cos x - \sin x)dx = \sin x + \cos x + \textup{C}


2 \displaystyle \int (3x^2 -\sec^2x)dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos por separar la integral y aplicar las integrales inmediatas {\int x^ndx = \cfrac{x^{n+1}}{n}} y {\int \sec^2 x dx= \tan x}

\displaystyle \int (3x^2 -\sec^2x)dx = \cfrac{3x^3}{3} - \tan x + \textup{C}

\displaystyle = x^3 - \tan x + \textup{C}

3 \displaystyle \int e^x\cos e^xdx

Para resolver la siguiente integral comenzamos con un cambio de variable {u = e^x \quad du = e^xdx} y aplicar la integral inmediata {\int \cos xdx = \sin x}

\displaystyle \int e^x\cos e^xdx = \sin e^x + \textup{C}

4 \displaystyle \int x\sin(x^2 +5)dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos con un cambio de variable {u = x^2 + 5 \quad du = 2x dx} y aplicar la integral inmediata {\int \sin xdx = -\cos x}

\displaystyle \int x\sin(x^2 +5)dx = \frac{1}{2} \int 2x\sin(x^2 +5)dx

\displaystyle = -\cos (x^2+5) + \textup{C}

5 \displaystyle \int \cfrac{\sin(\ln x)}{x}dx

Para resolver la siguiente integral comenzamos con un cambio de variable {u = \ln x \quad du = \frac{1}{x} dx} y aplicar la integral inmediata {\int \sin xdx = -\cos x}

\displaystyle \int \cfrac{\sin(\ln x)}{x}dx = -\cos (\ln x) + \textup{C}

6 \displaystyle \int \cos^3 xdx

Para resolver la siguiente integral comenzamos utilizando la identidad {\cos^2x = 1 - \sin^2x}, separamos las integrales hacemos el cambio de variable {u = \sin x \quad du = \cos xdx} y aplicamos las integrales inmediatas {\int \cos xdx = \sin x} y {\int x^ndx = \cfrac{x^{n+1}}{n}}

\displaystyle \int \cos^3 xdx = \int \cos x \cos^2xdx = \int \cos x(1-\sin^2x)dx

\displaystyle = \int (\cos x - \cos x \sin^2x)dx = \sin x - \cfrac{\sin^3x}{3} + \textup{C}

7 \displaystyle \int \sin^4xdx

Para resolver la siguiente integral comenzamos utilizando las identidades {\sin^2x = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x} y {\cos^2x = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x}

\displaystyle \int \sin^4xdx = \int (\sin^2x)^2 dx = \int (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x)^2dx

\displaystyle = \int (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos^2 2x)dx

\displaystyle = \int (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 4x))dx

\displaystyle = \int (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x)dx

\displaystyle = \int (\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x)dx

separamos las integrales hacemos cambios de variable {u = 2x \quad du = 2dx}, {v = 4x \quad dv = 4dx} y aplicamos la integral inmediata {\int \cos xdx = \sin x}

\displaystyle = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + \textup{C}

8 \displaystyle \int \sin^5x\cos^2xdx

Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas

    $$=\displaystyle \int(1-\cos^2 x)^2\sin x\cos^2xdx$$

Aplicando la sustitución u=\cos x tenemos

    $$=\displaystyle \int-(1-u^2)^2u^2du$$

Expandiendo \displaystyle -(1-u^2)^2u^2=-u^2+2u^4-u^6

    $$=\displaystyle \int-u^2+2u^4-u^6du$$

    $$=\displaystyle \int-u^2du+\int 2u^4du-\int u^6du=-\cfrac{u^3}{3}+\cfrac{2u^5}{5}-\cfrac{u^7}{7}$$

Sustituyendo de regreso la respuesta es

    $$=\displaystyle -\cfrac{\cos^3x}{3}+\cfrac{2\cos^5x}{5}-\cfrac{\cos^7x}{7}+C$$

9 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sin x\cos x}

Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas

    $$=\displaystyle \int\cfrac{\sec x}{\sin x}dx$$

    $$=\displaystyle \int\cfrac{\sec x}{\cos x\cfrac{\sin x}{\cos x}}dx$$

    $$=\displaystyle \int\cfrac{\sec^2 x}{\cfrac{\sin x}{\cos x}}dx$$

    $$=\displaystyle \int\cfrac{\sec^2 x}{\tan x}dx$$

Aplicando una sustitución trigonométrica u=\tan x, du=\sec^2(x)dx tenemos

    $$=\displaystyle \int\cfrac{1}{u}du={\rm ln}|u|+C$$

reemplazando de nuevo obtenemos el resultado

    $$={\rm ln}|\tan x|+C$$

10 \displaystyle \int \sin^2 4xdx

Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas

    $$=\displaystyle \int\cfrac{1}{2}(1-\cos(8x))dx$$

    $$=\displaystyle \cfrac{1}{2} (\int 1dx-\int \cos(8x)dx)$$

Estas ultimas integrales son iguales a

    $$=\displaystyle \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{8}\sin(8x))+C.$$

11 \displaystyle \int \cos^5 xdx

Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas

    $$=\displaystyle \int(1-\sin^{2}(x))^2\cos(x)dx$$

Aplicamos la sustitución u=\sin(x) y obtenemos

    $$=\displaystyle \int(1-u^2)^2du$$

Ahora expandimos (1-u^2)^2

    $$=\displaystyle \int 1-2u^2+u^4 du$$

    $$=\displaystyle \int du-\int 2u^2du+\int u^4du$$

    $$=\displaystyle u-\cfrac{2u^3}{3}+\cfrac{u^5}{5}+C$$

Sustituyendo de regreso se llega al siguiente resultado

    $$=\displaystyle \sin(x)-\cfrac{2\sin^3(x)}{3}+\cfrac{\sin^5(x)}{5}+C$$

12 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}}dx

Aplicamos la sustitución u=\sqrt{x} y du=\cfrac{dx}{2\sqrt{x}} y obtenemos

    $$=\displaystyle \int\cfrac{2du}{\cos^2(u)}$$

    $$=\displaystyle \int2\sec^{2}(u)du$$

    $$=\displaystyle 2\tan(u)+C$$

Sustituyendo de regreso se llega al siguiente resultado

    $$=\displaystyle 2\tan(\sqrt{x})+C.$$

13 \displaystyle \int \cfrac{\sin^2x}{\cos^4x}dx

Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas

    $$=\displaystyle \int\cfrac{\tan^2(x)}{\cos^2(x)}dx$$

Aplicamos la sustitución u=\tan(x), du=\cfrac{dx}{\cos^2(x)} y obtenemos

    $$=\displaystyle \int u^2du$$

    $$=\displaystyle \cfrac{u^3}{3}+C$$

Sustituyendo de regreso se llega al siguiente resultado

    $$=\displaystyle \cfrac{\tan^3(x)}{3}+C$$

14 \displaystyle \int \cfrac{\sin x + \tan x}{\cos x}dx

Aplicamos la sustitución u=\cos(x), du=-\sin(x)dx y obtenemos

    $$=\displaystyle -\int -\cfrac{(\cos(x)\sin(x)+\sin(x))}{\cos^2(x)}dx$$

    $$=\displaystyle \int -\cfrac{u+1}{u^2}du$$

Expandiendo se sigue

    $$=\displaystyle -\int \cfrac{1}{u}du+\int\cfrac{1}{u^2}du$$

    $$=\displaystyle -({\rm ln}(|u|)-\cfrac{1}{u})+C$$

Sustituyendo de regreso se llega al siguiente resultado

    $$=\displaystyle -({\rm ln}(|\cos(x)|)-\cfrac{1}{\cos(x)})+C$$

    $$=\displaystyle -({\rm ln}(|\cos(x)|)-\sec(x))+C$$

15 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sin x\cos x}dx

Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas

    $$=\displaystyle \int\cfrac{\sec x}{\sin x}dx$$

    $$=\displaystyle \int\cfrac{\sec x}{\cos x\cfrac{\sin x}{\cos x}}dx$$

    $$=\displaystyle \int\cfrac{\sec^2 x}{\cfrac{\sin x}{\cos x}}dx$$

    $$=\displaystyle \int\cfrac{\sec^2 x}{\tan x}dx$$

Aplicando una sustitución trigonométrica u=\tan x, du=\sec^2(x)dx tenemos

    $$=\displaystyle \int\cfrac{1}{u}du={\rm ln}|u|+C$$

reemplazando de nuevo obtenemos el resultado

    $$={\rm ln}|\tan x|+C$$

Here we are

Resolver la integrales trigonométricas:

1 \displaystyle \int \sin 3x \cos (2x +1)dx

Usamos la siguiente identidad trigonometrica

    $$\cos(t)\sin(s)=\cfrac{\sin(s+t)+\sin(s-t)}{2}.$$

Así que la integral queda de la siguiente forma

    $$\displaystyle \int \sin 3x \cos (2x +1)dx$$

    $$=\displaystyle \int \cfrac{\sin(3x+2x+1)+\sin(3x-(2x+1))}{2}dx$$

    $$=\cfrac{1}{2}(\displaystyle \int \sin(3x+2x+1) dx+ \int\sin(3x-(2x+1)dx)$$

Dado que

    $$\displaystyle \int \sin(3x+2x+1) dx=-\cfrac{1}{5}\cos(5x+1)+C_{1},$$

    $$\displaystyle \int \sin(3x-(2x+1)) dx=x\sin(x-1)+x\sin(1-x)-\cos(1-x),$$

entonces el resultado final es

    $$=\cfrac{1}{2}(\displaystyle \int \sin(3x+2x+1) dx+ \int\sin(3x-(2x+1)dx)$$

    $$=\cfrac{1}{2}(-\cfrac{1}{5}\cos(5x+1)+x\sin(x-1)+x\sin(1-x)-\cos(1-x))+C$$


2\displaystyle \int \cfrac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}dx

Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas

    $$=\displaystyle \int \cfrac{8}{1-\cos(4x)}dx$$

    $$=\displaystyle 8\int \cfrac{1}{1-\cos(4x)}dx$$

Ahora hacemos la sustitución u=4x, du=4dx, y obtenemos

    $$=\displaystyle 2\int \cfrac{1}{1-\cos(u)}du,$$

dado que

    $$\displaystyle \int \cfrac{1}{1-\cos(u)}du=-\cot\left(\cfrac{u}{2}\right)+C$$

entonces la integral inicial es igual a

    $$=-2\cot\left(\cfrac{u}{2}\right)+C,$$

sustituyendo de regreso obtenemos que

    $$=-2\cot\left(\cfrac{4x}{2}\right)+C=-2\cot\left(2x\right)+C$$

3\displaystyle \int \sqrt{\cfrac{1+x}{1-x}}dx

Primero hacemos la siguiente sustitución u=1-x, du=-dx,

    $$=\displaystyle -\int \sqrt{\cfrac{-u+2}{u}}du.$$

Ahora integrando por partes tenemos que

    $$=-\left(\sqrt{\cfrac{-u+2}{u}}u-\displaystyle \int -\cfrac{1}{\sqrt{u}\sqrt{-u+2}}}du\right)$$

Dado que

    $$\displaystyle \int -\cfrac{1}{\sqrt{u}\sqrt{-u+2}}}du=-2{\rm arcsin\left(\sqrt{\cfrac{u}{2}}\right)}+C_{1},$$

entonces

    $$=-\left(\sqrt{\cfrac{-u+2}{u}}u-\left(\displaystyle -2{\rm arcsin}\left(\sqrt{\cfrac{u}{2}}\right)\right)\right)+C_{1}.$$

Sustituyendo de regreso tenemos que la integral es

    $$=-\left(\sqrt{\cfrac{-(1-x)+2}{1-x}}(1-x)-\left(\displaystyle -2{\rm arcsin}\left(\sqrt{\cfrac{1-x}{2}}\right)\right)\right)+C_{1}.$$

    $$=-\sqrt{\cfrac{x+1}{1-x}}+\sqrt{\cfrac{x+1}{1-x}}x-2{\rm arcsin}\left(\sqrt{\cfrac{1-x}{2}}\right)+C_{1}.$$

4\displaystyle \int \cfrac{1-\cos x}{1 + \cos x}dx

Reescribimos el integrando de la siguiente forma

    $$\cfrac{1-\cos x}{1 + \cos x}=\cfrac{-2\cos x}{1 + \cos x}+1,$$

entonces

    $$\displaystyle \int \cfrac{1-\cos x}{1 + \cos x}dx=\displaystyle \int\cfrac{-2\cos x}{1 + \cos x}+1dx$$

    $$=\displaystyle \int\cfrac{-2\cos x}{1 + \cos x}dx+\displaystyle \int 1dx.$$

Dado que

    $$\displaystyle \int\cfrac{-2\cos x}{1 + \cos x}dx=2(-\csc(x)+\cot(x)+x)+C_{1},$$

    $$\displaystyle \int1dx=x+C_{2}$$

se sigue que la integral original es igual a

    $$\displaystyle \int \cfrac{1-\cos x}{1 + \cos x}dx=2(-\csc(x)+\cot(x)+x)+x+C$$

5\displaystyle \int \cfrac{1+\sin x}{1-\sin x}dx

Reescribimos el integrando de la siguiente forma

    $$\cfrac{1+\sin x}{1-\sin x}=\cfrac{2}{1 - \sin(x)}-1,$$

entonces

    $$\displaystyle \int \cfrac{1+\sin x}{1-\sin x}dx=\displaystyle \int\cfrac{2}{1 - \sin(x)}-1dx$$

    $$=\displaystyle \int\cfrac{2}{1 - \sin(x)}dx-\displaystyle \int 1dx.$$

Dado que

    $$\displaystyle \int\cfrac{2}{1 - \sin(x)}dx=-\cfrac{4}{\tan\left(\cfrac{x}{2}\right)-1}+C_{1},$$

    $$\displaystyle \int1dx=x+C_{2}$$

se sigue que la integral original es igual a

    $$\displaystyle \int \cfrac{1+\sin x}{1-\sin x}dx=-\cfrac{4}{\tan\left(\cfrac{x}{2}\right)-1}-x+C$$

her we are

Calcular las integrales:

1\displaystyle \int \cfrac{\sec^2 x}{1 + \tan^2 x}dx

Usando la siguiente identidad trigonométrica

    $$\sec^{2}(x)=1+\tan^{2}(x),$$

podemos reescribir la integral

    $$\displaystyle \int \cfrac{\sec^2 x}{1 + \tan^2 x}dx=\displaystyle \int \cfrac{1+\tan^2 (x)}{1 + \tan^2 (x)}dx=\int 1dx=x+C.$$


2\displaystyle \int \cfrac{5dx}{x^2-4x+8}

Reescribamos la integral de la siguiente forma

    $$\displaystyle \int \cfrac{5dx}{x^2-4x+8}=5\displaystyle \int \cfrac{dx}{(x-2)^{2}+4}.$$

Ahora hacemos la sustitución u=x-2, du=dx y obtenemos

    $$=5\displaystyle \int \cfrac{dx}{(x-2)^{2}+4}=5\displaystyle \int \cfrac{du}{u^{2}+4},$$

Aquí aplicamos la siguiente integral trigonométrica

    $$\displaystyle \int \cfrac{du}{u^{2}+4}=\displaystyle \int \cfrac{du}{u^{2}+2^2}={\rm arctang}\left(\cfrac{u}{2}\right)+C.$$

Reemplazando de regreso llegamos a que el resultado es

    $$5\displaystyle \int \cfrac{dx}{(x-2)^{2}+4}=5{\rm arctang}\left(\cfrac{x-2}{2}\right)+C.$$

3\displaystyle \int \cfrac{2x+5}{\sqrt{9-x^2}}dx

Expandimos el integrando de la siguiente forma

    $$\cfrac{2x+5}{\sqrt{9-x^2}}=\cfrac{2x}{\sqrt{9-x^2}}+\cfrac{5}{\sqrt{9-x^2}}.$$

Así

    $$\displaystyle \int \cfrac{2x+5}{\sqrt{9-x^2}}dx=\displaystyle \int\cfrac{2x}{\sqrt{9-x^2}}dx+\displaystyle \int\cfrac{5}{\sqrt{9-x^2}}dx.$$

Dado que

    $$\displaystyle \int\cfrac{2x}{\sqrt{9-x^2}}dx=-2\sqrt{9-x^2}+C_{1},$$

    $$\displaystyle \int\cfrac{5}{\sqrt{9-x^2}}dx=5{\rm arcsin}\left(\cfrac{x}{3}\right)+C_{2},$$

concluimos que la integral inicial es igual a

    $$=-2\sqrt{9-x^2}+5{\rm arcsin}\left(\cfrac{x}{3}\right)+C,$$

4\displaystyle \int \cfrac{2^x}{\sqrt{1-4^x}}dx

Reescribamos la integral de la siguiente forma

    $$\displaystyle \int \cfrac{2^x}{\sqrt{1-4^x}}dx=\displaystyle \cfrac{1}{\ln 2}\int \cfrac{\ln 2(2^x)}{\sqrt{1-(2^{x})^2}}dx.$$

Ahora hacemos la sustitución u=2^x, du=\ln 2(2^x)dx y obtenemos

    $$=\displaystyle \cfrac{1}{\ln 2}\int \cfrac{\ln 2(2^x)}{\sqrt{1-(2^{x})^2}}dx=\displaystyle \cfrac{1}{\ln 2}\int \cfrac{1}{\sqrt{1-(u)^2}}du,$$

Aquí aplicamos la siguiente integral trigonométrica

    $$\displaystyle \int \cfrac{1}{\sqrt{1-(u)^2}}du=\sin^{-1}(u)+C.$$

Reemplazando de regreso llegamos a que el resultado es

    $$\displaystyle \int \cfrac{2^x}{\sqrt{1-4^x}}dx=\displaystyle \cfrac{1}{\ln 2}\sin^{-1}(2^{x})+C.$$

5\displaystyle \int \cfrac{x}{\sqrt{9-2x^4}}dx

Primero aplicamos la siguiente sustitución u=x^2, du=2dx, entonces

    $$\displaystyle \int \cfrac{x}{\sqrt{9-2x^4}}dx=\displaystyle \int \cfrac{1}{2\sqrt{9-2u^2}}du=\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \cfrac{1}{\sqrt{9-2u^2}}du.$$

Ahora aplicamos una sustitución trigonométrica con v=\cfrac{3}{\sqrt{2}}\sin(u) y dv=\cfrac{3}{\sqrt{2}}\cos(u)du y obtenemos los siguiente

    $$\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \cfrac{1}{\sqrt{9-2u^2}}du=\displaystyle \cfrac{1}{2}\int \cfrac{3}{\sqrt{2}}\cfrac{\cos(v)}{\sqrt{9-2\left(\cfrac{3}{\sqrt{2}}\sin(v)\right)^2}}dv$$

    $$\displaystyle \cfrac{1}{2\sqrt{2}}\int \cfrac{\cos(v)}{\sqrt{\cos^2(v)}}dv=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}\int dv=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}v+C.$$

Sustituyendo de regreso se logra que

    $$\displaystyle \int \cfrac{x}{\sqrt{9-2x^4}}dx=\cfrac{1}{2}\int \cfrac{1}{\sqrt{9-2u^2}}du=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}v+C=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}({\rm arcsin}(\cfrac{\sqrt{2}}{3}u))+C$$

    $$=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}({\rm arcsin}(\cfrac{\sqrt{2}}{3}x^2))+C.$$

6\displaystyle \int \cfrac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}}dx

Primero aplicamos la sustitución u={\rm ln}(x), du=\cfrac{1}{x}dx y obtemos los siguiente

    $$\displaystyle \int \cfrac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}}dx=\displaystyle \int \cfrac{du}{\sqrt{1-u^2}}du.$$

Dado que

    $$\int \cfrac{du}{\sqrt{1-u^2}}du={\rm arcsin}(u)+C,$$

concluimos que

    $$\displaystyle \int \cfrac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}}dx={\rm arcsin}(u)+C,$$

sustituyendo de regreso el resultado es

    $$={\rm arcsin}(\ln(x))+C.$$

Problemas de integrales

1Hallar una función {F(x)} cuya derivada sea {f(x) = x + 6} y tal que para {x = 2} tome el valor {25}.

Sea

    $$F(x)=\int^{x}_{0}f(t)dt+C=\int_{0}^{x}t+6dt+C.$$

Tomaremos el siguiente valor para la constante C=11. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que

    $$F'(x)=\left(\int^{x}_{0}f(t)dt+11\right)'=f(x)=x+6.$$

Integrando en F(x) obtenemos que

    $$F(x)=\int_{0}^{x}t+6dt+11=\cfrac{x^{2}}{2}+6x+11.$$

Finalmente evaluando en x=2, se sigue que

    $$F(2)=\cfrac{(2)^{2}}{2}+6(2)+11=2+12+11=25$$


2De las infinitas funciones primitivas de la función {y = x^2 - x + 1}, ¿cuál es la que para {x = 3} toma el valor {5}?

Sea

    $$F(x)=\int^{x}_{0}t^2-t+1dt+C.$$

Tomaremos el siguiente valor para la constante C=-\cfrac{5}{2}. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que

    $$F'(x)=\left(\int^{x}_{0}t^2-t+1dt-\cfrac{5}{2}\right)'=y=x^2 - x + 1.$$

Integrando en F(x) obtenemos que

    $$F(x)=\int^{x}_{0}t^2-t+1dt-\cfrac{5}{2}=\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^2}{2}+x-\cfrac{5}{2}.$$

Finalmente evaluando en x=3, se sigue que

    $$F(3)=\cfrac{(3)^3}{3}-\cfrac{(3)^2}{2}+(3)-\cfrac{5}{2}=\cfrac{27}{3}-\cfrac{9}{2}+(3)-\cfrac{5}{2}=\cfrac{15}{2}-\cfrac{5}{2}=5.$$

3Hallar una recta cuya pendiente es {2} y pasa por él punto {P(0, 4)}.

 

Sabemos que la ecuación punto-pendiente de una recta esta dada por

    $$y=mx+b,$$

donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección con el eje Y. También notemos que la derivada de la función que representa la recta es la pendiente de dicha recta. Así

    $$f'(x)=m=2.$$

Ademas en nuestro caso sabemos que b=4 y por lo tanto

    $$y=2x+4.$$

4Escribe la función primitiva de {y = x^2 + 2x} cuya representación gráfica pasa por él punto {(1, 3)}.

 

De nuevo este es un problema cuya solución usa el Teorema fundamental del cálculo. Sea

    $$F(x)=\int^{x}_{0}t^2 + 2tdt+C.$$

Tomaremos el siguiente valor para la constante C=\cfrac{5}{3}. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que

    $$F'(x)=\left(\int^{x}_{0}t^2 + 2tdt+\cfrac{5}{3}\right)'=y=x^2 +2 x.$$

Integrando en F(x) obtenemos que

    $$F(x)=\int^{x}_{0}t^2 + 2tdt+\cfrac{5}{3}=\cfrac{x^3}{3}+x^2+\cfrac{5}{3}.$$

Finalmente evaluando en x=1, se sigue que grafica de F(x) pasa por (1,3),

    $$F(1)=\cfrac{(1)^3}{3}+(1)^2+\cfrac{5}{3}=\cfrac{4}{3}+\cfrac{5}{3}=3.$$

5Calcular la ecuación de la curva que pasa por {P(1, 5)} y cuya pendiente en cualquier punto es {3x^2 + 5x - 2}.

 

Recordemos que la derivada representa la pendiente de la función en un punto dado, entonces debemos encontrar una función primitiva a la función f(x)=3x^2 + 5x - 2. Sea

    $$F(x)=\int^{x}_{0}3t^2 + 5t - 2dt+C.$$

Dado que F(x) debe pasar por P(1,5), tomaremos el siguiente valor para la constante C=\cfrac{9}{2}. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que

    $$F'(x)=\left(\int^{x}_{0}3t^2 + 5t - 2dt+\cfrac{9}{2}\right)'=f(x)=3x^2 + 5x - 2.$$

Integrando en F(x) obtenemos que

    $$F(x)=\int^{x}_{0}3t^2 + 5t - 2dt+\cfrac{9}{2}=x^3+\cfrac{5}{2}x^2-2x+\cfrac{9}{2}.$$

Finalmente evaluando en x=1, se sigue que ,

    $$F(1)=(1)^3+\cfrac{5}{2}(1)^2-2(1)+\cfrac{9}{2}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{9}{2}=5.$$

Así que nuestra respuesta es

    $$F(x)=x^3+\cfrac{5}{2}x^2-2x+\cfrac{9}{2}.$$

6Hallar la primitiva de la función {f(x) = x\sqrt{x^2-1}}, que se anula para {x = 2}

 

Sea

    $$F(x)=\int^{x}_{0}t\sqrt{t^2-1}dt+C.$$

Tomaremos el siguiente valor para la constante C=-\cfrac{1}{3}(3)^{\frac{3}{2}}. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que

    $$F'(x)=\left(\int^{x}_{0}t\sqrt{t^2-1}dt-\cfrac{1}{3}(3)^{\frac{3}{2}}\right)'=f(x)=x\sqrt{x^2-1}.$$

Integrando en F(x) obtenemos que

    $$F(x)=\int^{x}_{0}t\sqrt{t^2-1}dt-\cfrac{1}{3}(3)^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}(x^2-1)^{\frac{3}{2}}-\cfrac{1}{3}(3)^{\frac{3}{2}}.$$

Finalmente evaluando en x=2, se sigue que grafica de F(x) pasa por (2,0),

    $$F(2)=\frac{1}{3}((2)^2-1)^{\frac{3}{2}}-\cfrac{1}{3}(3)^{\frac{3}{2}}=0.$$

Asi que la función primitiva que buscamos esta dada por

    $$F(x)=\frac{1}{3}(x^2-1)^{\frac{3}{2}}-\cfrac{1}{3}(3)^{\frac{3}{2}}=0.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗