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Resolver las siguientesintegrales de tipo potencial:
Para resolver la integral subimos el denominador y simplificamos las potencias, luego aplicamos la integral inmediata de potencias, es decir, 
.
Comenzamos por separar la integral y aplicamos las integrales inmediatas correspondientes, es decir,
y 
. 
Separamos la integral en dos, convertimos la raíz a potencia, finalmente aplicamos la integral de potencias 
Comenzamos por separar la integral y simplificar las expresiones, para finalmente aplicar la integral de potencias 
Comenzaremos por separar la integral y aplicar la integral inmediata de potencias 
Separamos la integral y simplificamos las expresiones
Para resolver la siguiente integral haremos un cambio de variable 
Para resolver la siguiente integral haremos un cambio de variable 
Comenzamos factorizando el término en común 
y utilizando la identidad 
Haciendo el cambio de variable 
Para resolver la integral comenzamos haciendo el cambio de variable 
Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable 
,
Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable 
,
Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable 
,
Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable 
,
Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable 
,
Para resolver la siguiente integral haremos el siguiente cambio de variable 
,
Comenzamos por escribir la raíz en su forma exponencial y luego simplificamos
Comenzamos por escribir la raíz en su forma exponencial y luego simplificamos
Comenzamos con un cambio de variable 
Observemos que al distribuir el cuadrado podemos simplificar la expresión y luego aplicamos un cambio de variable 
Aplicamos un cambio de variable 
Comenzamos con un cambio de variable 
¿Conoces nuestras algebra clases?
Calcular lasintegrales logarítmicas:
Comenzamos con un cambio de variable 
y luego aplicamos la integral inmediata 
Comenzamos utilizando la definición 
, luego con un cambio de variable 
y luego aplicamos la integral inmediata 
Comenzamos utilizando las identidades 
y 
, simplificamos, hacemos un cambio de variable 
y luego aplicamos la integral inmediata 
Comenzamos utilizando la definición 
y hacemos un cambio de variable 
y luego aplicamos la integral inmediata 
Comenzamos utilizando la definición y hacemos un cambio de variable y luego aplicamos la integral inmediata 
Comenzamos con un cambio de variable 
y luego aplicamos la integral inmediata 
Comenzamos separando la integral y aplicando la integrales inmediatas correspondientes 
Comenzamos por separar y simplificar la integral, hacemos un cambio de variable 
y aplicamos la integral inmediata 
Comenzamos con un cambio de variable 
y luego aplicamos la integral inmediata
Comenzamos con un cambio de variable 
y luego aplicamos la integral inmediata
Comenzamos con la definición , luego un cambio de variable 
y aplicamos la integral inmediata 
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Resolver las siguientesintegrales exponenciales:
Para resolver la siguiente integral comenzamos por factorizar el exponente para poder aplicar la integral inmediata 
Comenzamos con un cambio de variable 
, y aplicamos la integral inmediata 
Comenzamos con el cambio de variable 
y aplicamos la integral inmediata
Para resolver la siguiente integral comenzamos con la definición 
, aplicamos un cambio de variable 
y finalmente utilizamos la integral inmediata 
Para resolver la siguiente integral comenzamos haciendo un cambio de variable 
para poder aplicar la integral inmediata
Para resolver la siguiente integral comenzamos con el cambio de variable 
y finalmente utilizamos la integral inmediata 
Para resolver la siguiente integral comenzamos con el cambio de variable 
y finalmente utilizamos la integral inmediata
Para resolver la siguiente integral comenzamos separando la integral, hacemos los cambios de variable correspondientes 
y 
, finalmente utilizamos la integral inmediata
Para resolver la siguiente integral comenzamos simplificando la expresión y utilizamos la integral inmediata
Calcular lasintegrales trigonométricas:
Para resolver la siguiente integral comenzamos por separar la integral y aplicar las integrales inmediatas 
y 
Para resolver la siguiente integral comenzamos por separar la integral y aplicar las integrales inmediatas 
y 
Para resolver la siguiente integral comenzamos con un cambio de variable 
y aplicar la integral inmediata
Para resolver la siguiente integral comenzamos con un cambio de variable 
y aplicar la integral inmediata 
Para resolver la siguiente integral comenzamos con un cambio de variable 
y aplicar la integral inmediata
Para resolver la siguiente integral comenzamos utilizando la identidad 
, separamos las integrales hacemos el cambio de variable y aplicamos las integrales inmediatas y 
Para resolver la siguiente integral comenzamos utilizando las identidades 
y 
separamos las integrales hacemos cambios de variable , 
y aplicamos la integral inmediata
Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas
Aplicando la sustitución 
tenemos
Expandiendo 
Sustituyendo de regreso la respuesta es
Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas
Aplicando una sustitución trigonométrica 
, 
tenemos
reemplazando de nuevo obtenemos el resultado
Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas
Estas ultimas integrales son iguales a
Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas
Aplicamos la sustitución 
y obtenemos
Ahora expandimos 
Sustituyendo de regreso se llega al siguiente resultado
Aplicamos la sustitución 
y 
y obtenemos
Sustituyendo de regreso se llega al siguiente resultado
Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas
Aplicamos la sustitución 
, 
y obtenemos
Sustituyendo de regreso se llega al siguiente resultado
Aplicamos la sustitución 
, 
y obtenemos
Expandiendo se sigue
Sustituyendo de regreso se llega al siguiente resultado
Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas
Aplicando una sustitución trigonométrica , tenemos
reemplazando de nuevo obtenemos el resultado
Resolver laintegrales trigonométricas:
Usamos la siguiente identidad trigonometrica
Así que la integral queda de la siguiente forma
Dado que
entonces el resultado final es
Reescribimos la integral usando identidades trigonométricas
Ahora hacemos la sustitución 
, 
y obtenemos
dado que
entonces la integral inicial es igual a
sustituyendo de regreso obtenemos que
Primero hacemos la siguiente sustitución 
, 
,
Ahora integrando por partes tenemos que
Dado que
entonces
Sustituyendo de regreso tenemos que la integral es
Reescribimos el integrando de la siguiente forma
entonces
Dado que
se sigue que la integral original es igual a
Reescribimos el integrando de la siguiente forma
entonces
Dado que
se sigue que la integral original es igual a
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Calcular las integrales:
Usando la siguiente identidad trigonométrica
podemos reescribir la integral
Reescribamos la integral de la siguiente forma
Ahora hacemos la sustitución 
, 
y obtenemos
Aquí aplicamos la siguiente integral trigonométrica
Reemplazando de regreso llegamos a que el resultado es
Expandimos el integrando de la siguiente forma
Así
Dado que
concluimos que la integral inicial es igual a
Reescribamos la integral de la siguiente forma
Ahora hacemos la sustitución 
, 
y obtenemos
Aquí aplicamos la siguiente integral trigonométrica
Reemplazando de regreso llegamos a que el resultado es
Primero aplicamos la siguiente sustitución 
, 
, entonces
Ahora aplicamos una sustitución trigonométrica con 
y 
y obtenemos los siguiente
Sustituyendo de regreso se logra que
Primero aplicamos la sustitución 
, 
y obtemos los siguiente
Dado que
concluimos que
sustituyendo de regreso el resultado es
Problemas de integrales
Hallar una función 
cuya derivada sea 
y tal que para 
tome el valor 
.
Sea
Tomaremos el siguiente valor para la constante 
. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que
Integrando en 
obtenemos que
Finalmente evaluando en 
, se sigue que
De las infinitas funciones primitivas de la función 
, ¿cuál es la que para 
toma el valor 
?
Sea
Tomaremos el siguiente valor para la constante 
. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que
Integrando en obtenemos que
Finalmente evaluando en 
, se sigue que
Hallar una recta cuya pendiente es 
y pasa por él punto 
.
Sabemos que la ecuación punto-pendiente de una recta esta dada por
donde 
es la pendiente de la recta y 
es la intersección con el eje 
. También notemos que la derivada de la función que representa la recta es la pendiente de dicha recta. Así
Ademas en nuestro caso sabemos que 
y por lo tanto
Escribe la función primitiva de 
cuya representación gráfica pasa por él punto 
.
De nuevo este es un problema cuya solución usa el Teorema fundamental del cálculo. Sea
Tomaremos el siguiente valor para la constante 
. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que
Integrando en obtenemos que
Finalmente evaluando en 
, se sigue que grafica de pasa por 
,
Calcular la ecuación de la curva que pasa por 
y cuya pendiente en cualquier punto es 
.
Recordemos que la derivada representa la pendiente de la función en un punto dado, entonces debemos encontrar una función primitiva a la función 
Sea
Dado que debe pasar por 
, tomaremos el siguiente valor para la constante 
. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que
Integrando en obtenemos que
Finalmente evaluando en , se sigue que ,
Así que nuestra respuesta es
Hallar la primitiva de la función 
, que se anula para
Sea
Tomaremos el siguiente valor para la constante 
. Ahora por el Teorema fundamental del Cálculo tenemos que
Integrando en obtenemos que
Finalmente evaluando en , se sigue que grafica de pasa por 
,
Asi que la función primitiva que buscamos esta dada por
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Fe de erratas:
Ej. 3: sobra una raíz de x en el denominador antes del
Resultado final.
Ej.4: En el resultado final falta el signo menos.
Un saludo.
Hola revise los ejemplos de muchas ejercicios y no encontré los errores, podrías hacerme el favor de darme mas detalles para poder encontrarlos y quitar esos errores, seria de mucha ayuda.
Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
¡Hola Yanela! 👋 Desde Superprof nos alegra que el artículo te haya sido útil. 😊 Para referenciarlo correctamente en tu monografía, puedes citarlo de la siguiente manera:
«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
Por motivos de privacidad, no podemos facilitar datos personales del autor ni fecha exacta de publicación. 📚✨
Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.