Para integrar la función cosecante cuadrada se emplean las siguientes fórmulas:

 

\displaystyle \int \cfrac{1}{sen^2 x} \, dx = \int cosec^2 x \, dx = \int (1 + cotg^2 x) \, dx = -cotg \, x + C

 

\displaystyle \int \cfrac{u'}{sen^2 u} \, dx = \int cosec^2 u \cdot u' \, dx = \int (1 + cotg^2 u) \cdot u' \, dx = -cotg \, u + C

 

Ejemplos:

 

1 \displaystyle \int cosec^2(3x + 1) \, dx

 

Empleamos la segunda fórmula, siendo u = 3x + 1

 

Calculamos la derivada u' = 3

 

Multiplicamos y dividimos por 3 el integrando y sacamos \cfrac{1}{3} de la integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^2(3x + 1) \, dx & = & \displaystyle \int cosec^2(3x + 1) \cdot \cfrac{3}{3}\, dx \\\\ & = & \cfrac{1}{3}\displaystyle \int cosec^2(3x + 1) \cdot 3 \, dx \end{array}

 

Aplicando la segunda fórmula para la integral de cosecante cuadrada, obtenemos

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{1}{3}\displaystyle \int cosec^2(3x + 1) \cdot 3 \, dx & = & \cfrac{1}{3} cotg(3x + 1) + C\end{array}

 

2 \displaystyle \int cosec^4 x \, dx

 

Separamos la potencia 4 como un producto de potencia 2 y empleamos la equivalencia cosec^2 u = 1 + cotg^2 u

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^4 x \, dx & = & \displaystyle \int cosec^2 x \cdot cosec^2 x\, dx \\\\ & = & \displaystyle \int cosec^2 x \cdot (1 + cotg^2 x) \, dx \end{array}

 

Realizamos la multiplicación y aplicamos la propiedad de la integral de una suma

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^2 x \cdot (1 + cotg^2 x) \, dx & = & \displaystyle \int cosec^2 x \, dx + \int cosec^2 x \cdot cotg^2 x \, dx \end{array}

 

Aplicando la primera fórmula para la integral de cosecante cuadrada para la primera integral y la fórmula de integral de una potencia para la segunda integral

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int cosec^2 x \, dx + \int cosec^2 x \cdot cotg^2 x \, dx & = & -cotg \, x - \cfrac{1}{3}cotg^3 x + C\end{array}

 

3 \displaystyle \int cotg^2 x \, dx

 

Sumamos y restamos 1 al integrandoeparamos la potencia 4 como un producto de potencia 2 y empleamos la equivalencia cosec^2 u = 1 + cotg^2 u

 

\displaystyle \int (cotg^2 x +1 - 1)\, dx

 

Empleamos la equivalencia cosec^2 u = 1 + cotg^2 u

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (cotg^2 x +1 - 1) \, dx & = & \displaystyle \int (cosec^2 x - 1)\, dx \end{array}

 

Aplicando la primera fórmula para la integral de cosecante cuadrada para la primera integral y la fórmula de integral de una constante para la segunda integral

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int (cosec^2 x - 1)\, dx & = & -cotg \, x - x + C\end{array}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗