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¿Qué es una integral y para que sirve?
Principalmente la integral es conocida como la operación inversa de la derivada, la cual tiene la principal función de calcular el área bajo una curva, se encuentra ampliamente relacionada con el estudio del calculo infinitesimal.
Dato curioso:
¿ Habías notado que al resolver una integral, siempre agregamos un valor constante?
Por ejemplo:
Si lo pensamos un poco, esto tiene mucho sentido, pues la derivada de cualquier constante es 
, lo cual significa que al derivar una constante, esta desaparecerá, lo lógico es que al aplicar la operación contraria a la derivada, es decir, cuando integremos el valor , entonces tendremos como resultado una constante.
Sobre los métodos para resolver integrales
Así como para las derivadas, las integrales cuentan con 2 métodos generales:
1 A través del concepto de limite
2 A través de fórmulas para casos específicos
Podría decirse que por cada forma de resolver una derivada, existe una forma de resolver una integral.
Ejemplo:
Dada la función 
Su derivada es 
y la integral de esta ultima seria 
Ejercicios propuestos sobre integración
Integra las siguientes funciones:
Integraremos esta función "por partes".
Recordemos que esto nos dice que
Decidamos que parte de la función será 
y cual será 
. En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera
y
Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que
Integraremos esta función "por partes".
Recordemos que esto nos dice que
Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera
y
Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que
Integraremos esta función "por partes".
Recordemos que esto nos dice que
Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera
y
Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que
Volveremos a aplicar la integración por partes para integrar
en este caso 
y serán
y
Por último volveremos a aplicar integración por partes para integrar
en este caso y serán
y
Sustituyendo todo esto en nuestra primer integral tenemos que
Integraremos esta función "por partes".
Recordemos que esto nos dice que
Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera
y
Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que
Integraremos esta función "por partes".
Recordemos que esto nos dice que
Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera
y
Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que
Integraremos esta función "por partes".
Recordemos que esto nos dice que
Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera
y
Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tnnemos que
Volveremos a aplicar la integración por partes para integrar
en este caso y serán
y
Sustituyendo todo esto en nuestra primer integral tenemos que aparece la integral que deseamos calcular del lado izquierdo y del lado derecho pero con signo negativo, por lo tanto lo único que necesitamos hacer es despejar la integral que deseamos encontrar
Para integrar esta función primero necesitamos simplificar dicha función
Para simplificarla y dejarla en una expresión fácil de integrarl aplicaremos fracciones parciales. No se explicará a fondo la teoría de fracciones parciales, sin embargo se intentará escribir cada paso para evitar confusión alguna.
Dado que el denominador es un polinomio de orden uno a la tercera potencia, tenemos que en general nuestra expresión se puede escribir como
para ciertos números reales 
, 
y 
, para encontrar los valores de estas incógnitas debemos realizar las sumas y luego igualar los coeficientes de los términos del mismo grado, esto es
de esto se sigue que
Por lo tanto, los numeradores son iguales
y los coeficientes de los términos de mismo grado tambien son iguales. Es decir
De la primera igualdad es directo que 
. Sustituyendo el valor de en la segunda igualdad tenemos
Sustituyendo el valor de y 
en la tercer igualdad tenemos que
Así, tenemos que nuestra función es igual a
Ahora sí, procedamos a integrar. Usaremos método de cambio de variable, para ello tomaremos
Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos
Notemos que, además, 
. Así, sustituyendo en la integral original
Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos
Notemos que, además, 
. Así, sustituyendo en la integral original
Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos
Notemos que, además, . Así, sustituyendo en la integral original
Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos
Ahora despejemos los diferenciales
Así, sustituyendo en la integral original
Aplicaremos fracciones parciales para simplificar dicha fracción y expresarla como suma de fracciones fácil de integrar. Tenemos que
Desarrollando la última suma tenemos
Igualando los numeradores tenemos que 
de donde se sigue directamente que
Notemos que de la primer igualdad se sigue directamente que 
, y de la segunda se sigue que 
, por lo tanto
Notemos que entonces
Sustituiremos ésto en la integral
de donde se sigue que, al sustituir el valor de en términos de 
, esto es, 
Integraremos por sustitución trigonométrica. Tomaremos
Sustituyendo estos valores en la integral
por último, para escribir de nuevo esto en términos de , notemos que al hacer sustitución tomamos 
, despejaremos de aquí
sustituyendo tenemos
Integraremos utilizando el método de cambio de variable. Tomaremos
Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos
Ahora simplifiquemos la expresión dentro de la integral usando fracciones parciales. Tenemos que
Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones
De donde se sigue que 
, 
, 
, 
, 
y 
. Así, nuestra expresión es
Sustituyendo en nuestra integral obtenemos
Solo nos falta escribirlo en términos de , para esto notemos que 
, por lo tanto, 
, sustituyendo obtenemos
Integraremos usando el método de cambio de variable. Primero notemos que
Nuestro cambio de variable será
Derivando podemos ver que
Dado que en la integral tenemos 
, debemos escribir esta función en término de 
para poder sustituir la función en terminos de . Recordemos la siguiente identidad trigonométrica
así, en pocas palabras tenemos que
Sustituyendo en la integral obtenemos
Integraremos utilizando el método de cambio de variable. Tomaremos
del diferencial se sigue que 
. Ahora, sustituyendo esto en nuestra integral obtenemos
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Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.