Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (25 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (35 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (44 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (75 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (23 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (25 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (35 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (44 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (75 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (23 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
1ª clase gratis>

¿Qué es una integral y para que sirve?

 

Principalmente la integral es conocida como la operación inversa de la derivada, la cual tiene la principal función de calcular el área bajo una curva, se encuentra ampliamente relacionada con el estudio del calculo infinitesimal.

 

Dato curioso:

¿ Habías notado que al resolver una integral, siempre agregamos un valor constante?

 

Por ejemplo:

 

 \displaystyle \int 2x^3 = \frac{1}{2}x^4+C

 

Si lo pensamos un poco, esto tiene mucho sentido, pues la derivada de cualquier constante  es  \displaystyle 0  ,  lo cual significa que al derivar una constante, esta desaparecerá, lo lógico es que al aplicar la operación contraria a la derivada, es decir, cuando integremos el valor  \displaystyle 0  , entonces tendremos como resultado una constante.

Sobre los métodos para resolver integrales

 

Así como para las derivadas, las integrales cuentan con 2 métodos generales:

 

1 A través del concepto de limite

2 A través de fórmulas para casos específicos

 

Podría decirse que por cada forma de resolver una derivada, existe una forma de resolver una integral.

 

Ejemplo:

 

Dada la función   \displaystyle f(x)=x^n+9

 

Su derivada es  \displaystyle f'(x)=n(x^{n-1})   y la integral de esta ultima seria  \displaystyle \int n(x^{n-1})=x^n + C

 

Ejercicios propuestos sobre integración

 

1 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{x \sin{x} dx}

 

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

\displaystyle \int{u dv} = uv - \int{vdu}

 

Decidamos que parte de la función será u(x) y cual será dv. En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

\displaystyle u = x \quad \Rightarrow \quad du = 1dx = dx

 

y

 

\displaystyle dv = \sin{x} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{\sin{x}dx} = -\cos{x}

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

    \begin{align*} \int{x \sin{x} dx} &= x(-\cos{x}) - \int{-cos{x}dx}\\&= -x\cos{x} + \int{cos{x}dx}\\&= -x\cos{x} + \sin{x} + C\\\end{align*}

 

2 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{\frac{\ln{x}}{x^3} dx}

 

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

\displaystyle \int{u dv} = uv - \int{vdu}

 

Decidamos que parte de la función será u(x) y cual será dv. En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

\displaystyle u = \ln{x} \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x}dx = \frac{dx}{x}

 

y

 

\displaystyle dv = \frac{1}{x^3} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{\frac{1}{x^3} dx} = -\frac{1}{2x^2}

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

    \begin{align*} \int{\frac{\ln{x}}{x^3} dx} &= (\ln{x}) \left( -\frac{1}{2x^2} \right) - \int{-\frac{1}{2x^2}\frac{1}{x}dx}\\&= -\frac{\ln{x}}{2x^2} + \int{\frac{1}{2x^3}dx}\\&= -\frac{\ln{x}}{2x^2} - \frac{1}{4x^2} + C\\\end{align*}

 

3 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{(x^3 + 5x^2 -  2)e^{2x} dx}

 

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

\displaystyle \int{u dv} = uv - \int{vdu}

 

Decidamos que parte de la función será u(x) y cual será dv. En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

\displaystyle u = x^3 + 5x^2 -  2 \quad \Rightarrow \quad du = (3x^2 + 10x) dx

 

y

 

\displaystyle dv = e^{2x} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{e^{2x}dx} = \frac{e^{2x}}{2}

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

    \begin{align*} \int{(x^3 + 5x^2 -  2)e^{2x} dx} &= (x^3 + 5x^2 -  2) \left( \frac{e^{2x}}{2}\right)\\  &- \int{(3x^2 + 10x)\frac{e^{2x}}{2}dx}\\\end{align*}

 

Volveremos a aplicar la integración por partes para integrar

 

\displaystyle -\int{(3x^2 + 10x)\frac{e^{2x}}{2}dx},

 

en este caso u y dv serán

 

\displaystyle u = 3x^2 + 10x \quad \Rightarrow \quad du = (6x + 10) dx

 

y

 

\displaystyle dv = \frac{e^{2x}}{2} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{\frac{e^{2x}}{2}dx} = \frac{e^{2x}}{4}

 

    \begin{align*} -\int{(3x^2 + 10x)\frac{e^{2x}}{2}dx} &= - (3x^2 + 10x) \left( \frac{e^{2x}}{4}\right)\\  &+ \int{(6x + 10)\frac{e^{2x}}{4}dx}\\ \end{align*}

 

Por último volveremos a aplicar integración por partes para integrar

 

\displaystyle \int{(6x + 10)\frac{e^{2x}}{4}dx},

 

en este caso u y dv serán

 

\displaystyle u = 6x + 10 \quad \Rightarrow \quad du = 6 dx

 

y

 

\displaystyle dv = \frac{e^{2x}}{4} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{\frac{e^{2x}}{4}dx} = \frac{e^{2x}}{8}

 

    \begin{align*} \int{(6x + 10)\frac{e^{2x}}{4}dx} &= (6x + 10) \left( \frac{e^{2x}}{8}\right) - \int{(6)\frac{e^{2x}}{8}dx}\\&= (6x + 10) \left( \frac{e^{2x}}{8}\right) - \frac{3e^{2x}}{8}\end{align*}

 

Sustituyendo todo esto en nuestra primer integral tenemos que

 

    \begin{align*} \int{(x^3 + 5x^2 -  2)e^{2x} dx} &= (x^3 + 5x^2 -  2) \left( \frac{e^{2x}}{2}\right)\\ &- \int{(3x^2 + 10x)\frac{e^{2x}}{2}dx}\\&= (x^3 + 5x^2 -  2) \left( \frac{e^{2x}}{2}\right)\\ &- (3x^2 + 10x) \left( \frac{e^{2x}}{4}\right)\\&+ \int{(6x + 10)\frac{e^{2x}}{4}dx}\\&=  (x^3 + 5x^2 -  2) \left( \frac{e^{2x}}{2}\right)\\ &- (3x^2 + 10x) \left( \frac{e^{2x}}{4}\right)\\&+ (6x + 10) \left( \frac{e^{2x}}{8}\right) - \frac{3e^{2x}}{8}\\&= \left( x^3 + \frac{7}{2}x^2 - \frac{7}{2}x - \frac{1}{4}\right) \frac{e^{2x}}{2} + C\end{align*}

 

4 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{\ln{x} dx}

 

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

\displaystyle \int{u dv} = uv - \int{vdu}

 

Decidamos que parte de la función será u(x) y cual será dv. En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

\displaystyle u = \ln{x} \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x}dx = \frac{dx}{x}

 

y

 

\displaystyle dv = dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{dx} = x

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

    \begin{align*} \int{\ln{x} dx} &= x(\ln{x}) - \int{x \frac{dx}{x}}\\&=  x(\ln{x}) - \int{dx}\\&= x(\ln{x}) - x + C\\\end{align*}

 

5 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{e^{x} \cos{x}dx}

 

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

\displaystyle \int{u dv} = uv - \int{vdu}

 

Decidamos que parte de la función será u(x) y cual será dv. En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

\displaystyle u = e^{x} \quad \Rightarrow \quad du = e^{x} dx

 

y

 

\displaystyle dv =\cos{x} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{\cos{x}dx} = \sin{x}

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tnnemos que

 

    \begin{align*} \int{e^{x} \cos{x}dx} &= e^{x} \sin{x} - \int{\sin{x} e^{x}dx}\\ \end{align*}

 

Volveremos a aplicar la integración por partes para integrar

 

\displaystyle - \int{\sin{x} e^{x}dx},

 

en este caso u y dv serán

 

\displaystyle u = e^{x} \quad \Rightarrow \quad du = e^{x} dx

 

y

 

\displaystyle dv = \sin{x} dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{\sin{x}dx} = -\cos{x}

 

    \begin{align*} -\int{\sin{x} e^{x}dx} &= - \left[e^{x}(-\cos{x}) - \int{-\cos{x}e^{x}dx} \right]\\&= - \left[-e^{x}\cos{x} + \int{\cos{x}e^{x}dx} \right]\\&= e^{x}\cos{x} - \int{\cos{x}e^{x}dx}\\\end{align*}

 

Sustituyendo todo esto en nuestra primer integral tenemos que aparece la integral que deseamos calcular del lado izquierdo y del lado derecho pero con signo negativo, por lo tanto lo único que necesitamos hacer es despejar la integral que deseamos encontrar

 

    \begin{align*} \int{e^{x} \cos{x}dx} &= e^{x} \sin{x} +e^{x}\cos{x} - \int{\cos{x}e^{x}dx}\\2\int{e^{x} \cos{x}dx} &= e^{x} \sin{x} +e^{x}\cos{x}\\\int{e^{x} \cos{x}dx} &= \frac{e^{x} \sin{x} +e^{x}\cos{x}}{2}\\\int{e^{x} \cos{x}dx} &= \frac{e^{x}}{2} (\sin{x} + \cos{x}) + c\\\end{align*}

 

6 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{\frac{3x^2 - 2x + 5}{(x + 3)^3} dx}

 

Para integrar esta función primero necesitamos simplificar dicha función

 

\displaystyle \frac{3x^2 - 2x + 5}{(x + 3)^3}.

 

Para simplificarla y dejarla en una expresión fácil de integrarl aplicaremos fracciones parciales. No se explicará a fondo la teoría de fracciones parciales, sin embargo se intentará escribir cada paso para evitar confusión alguna.

 

Dado que el denominador es un polinomio de orden uno a la tercera potencia, tenemos que en general nuestra expresión se puede escribir como

 

\displaystyle \frac{3x^2 - 2x + 5}{(x + 3)^3} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{(x + 3)^2} + \frac{C}{(x + 3)^3}

 

para ciertos números reales A, B y C, para encontrar los valores de estas incógnitas debemos realizar las sumas y luego igualar los coeficientes de los términos del mismo grado, esto es

 

    \begin{align*} \frac{3x^2 - 2x + 5}{(x + 3)^3} &= \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{(x + 3)^2} + \frac{C}{(x + 3)^3}\\&= \frac{A(x + 3)^2}{x + 3} + \frac{B(x + 3)}{(x + 3)^2} + \frac{C}{(x + 3)^3}\\&= \frac{A(x^2 + 6x + 9)}{x + 3} + \frac{Bx + 3B}{(x + 3)^2} + \frac{C}{(x + 3)^3}\\&= \frac{Ax^2 + 6Ax + 9A}{x + 3} + \frac{Bx + 3B}{(x + 3)^2} + \frac{C}{(x + 3)^3}\\&= \frac{Ax^2 + 6Ax + 9A + Bx + 3B + C}{x + 3}\\&= \frac{Ax^2 + (6A + B)x + 9A + 3B + C}{x + 3}\\\end{align*}

 

de esto se sigue que

 

\displaystyle \frac{3x^2 - 2x + 5}{(x + 3)^3} = \frac{Ax^2 + (6A + B)x + 9A + 3B + C}{x + 3}

 

Por lo tanto, los numeradores son iguales

 

\displaystyle 3x^2 - 2x + 5 = Ax^2 + (6A + B)x + 9A + 3B + C

 

y los coeficientes de los términos de mismo grado tambien son iguales. Es decir

 

\displaystyle \begin{cases}A &= 3\\6A + B &= -2\\9A + 3B + C &= 5\end{cases}

 

De la primera igualdad es directo que A = 3. Sustituyendo el valor de A en la segunda igualdad tenemos

 

    \begin{align*} 6(3) + B &= -2\\18 + B &= -2\\B &= -20\\\end{align*}

 

Sustituyendo el valor de A = 3 y B = -20 en la tercer igualdad tenemos que

 

    \begin{align*} 9(3) + 3(-20) + C &= 5\\27 + -60 + C &= 5\\27 + C &= 65\\C &= 38\end{align*}

 

Así, tenemos que nuestra función es igual a

 

\displaystyle \frac{3x^2 - 2x + 5}{(x + 3)^3} = \frac{3}{x + 3} + \frac{-20}{(x + 3)^2} + \frac{38}{(x + 3)^3}

 

Ahora sí, procedamos a integrar. Usaremos método de cambio de variable, para ello tomaremos

 

\displaystyle u = x + 3 \quad \Rightarrow \quad du = dx.

 

    \begin{align*} \int{\frac{3x^2 - 2x + 5}{(x + 3)^3} dx} &= \int{\frac{3}{x + 3} + \frac{-20}{(x + 3)^2} + \frac{38}{(x + 3)^3}dx}\\&= \int{\frac{3}{u} + \frac{-20}{u^2} + \frac{38}{u^3}du}\\&= \int{\frac{3}{u}du} - \int{\frac{20}{u^2}du} + \int{\frac{38}{u^3}du}\\&= 3\ln{u} - \left( \frac{-20}{x}\right) + \left( - \frac{38}{2u^2}\right)\\&= 3\ln{u} + \frac{20}{x}  - \frac{19}{u^2}\\&= 3\ln{(x + 3)} + \frac{20}{(x + 3)}  - \frac{19}{(x + 3)^2} + C\\\end{align*}

 

7 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{x \sqrt{1 + x} dx}

 

Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos

 

\displaystyle u = 1 + x \quad \Rightarrow \quad du = dx.

 

Notemos que, además, x = u - 1. Así, sustituyendo en la integral original

 

    \begin{align*} \int{x \sqrt{1 + x} dx} &= \int{(u - 1) \sqrt{u}du}\\&= \int{u\sqrt{u}du} - \int{\sqrt{u}du}\\&= \int{u^{\frac{3}{2}}du} - \int{u^{\frac{1}{2}}du}\\&= \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C\\&= \frac{2}{5}(1 + x)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}(1 + x)^{\frac{3}{2}} + C\\\end{align*}

 

8 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{\frac{1}{\sqrt{1 + e^{x}}} dx}

 

Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos

 

\displaystyle u^2 = 1 + e^{x} \quad \Rightarrow \quad e^{x} = u^2 - 1.

 

Ahora despejemos los diferenciales

 

    \begin{align*} 2udu &= e^{x}dx\\2udu &= (u^2 - 1)dx\\dx &= \frac{2udu}{u^2 - 1}\end{align*}

 

Así, sustituyendo en la integral original

 

    \begin{align*} \int{\frac{1}{\sqrt{1 + e^{x}}} dx} &= \int{\frac{1}{u} \frac{2udu}{u^2 - 1}}\\&= 2\int{\frac{u}{u(u^2 - 1)}du}\\&= 2\int{\frac{1}{u^2 - 1}du}\\\end{align*}

 

Aplicaremos fracciones parciales para simplificar dicha fracción y expresarla como suma de fracciones fácil de integrar. Tenemos que

 

\displaystyle \frac{1}{u^2 - 1} = \frac{1}{(u + 1)(u - 1)} = \frac{A}{u + 1} + \frac{B}{u - 1}

 

Desarrollando la última suma tenemos

 

    \begin{align*} \frac{1}{u^2 - 1} &= \frac{A}{u + 1} + \frac{B}{u - 1}\\&= \frac{A(u - 1)}{(u + 1)(u - 1)} + \frac{B(u + 1)}{(u - 1)(u + 1)}\\&= \frac{A(u - 1) + B(u + 1)}{(u + 1)(u - 1)}\\&= \frac{Au - A + Bu + B}{(u + 1)(u - 1)}\\&= \frac{(A + B)u + (B - A)}{(u + 1)(u - 1)}\\\end{align*}

 

Igualando los numeradores tenemos que 1 = (A + B)u + (B - A) de donde se sigue directamente que

 

\displaystyle \begin{cases}0 &= (A + B)\\1 &= (B - A)\end{cases}

 

Notemos que de la primer igualdad se sigue directamente que B = -A, y de la segunda se sigue que 1 = 2B, por lo tanto

 

\displaystyle B = \frac{1}{2}, \quad A = -\frac{1}{2}

 

Notemos que entonces

 

    \begin{align*} \frac{1}{u^2 - 1} &= \frac{A}{u + 1} + \frac{B}{u - 1}\\&= \frac{-\frac{1}{2}}{u + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{u - 1}\\&= -\frac{1}{2(u + 1)} + \frac{1}{2(u - 1)}\\\end{align*}

 

Sustituiremos ésto en la integral

 

    \begin{align*} 2\int{\frac{1}{u^2 - 1}du} &= 2\int{\left( -\frac{1}{2(u + 1)} + \frac{1}{2(u - 1)}\right) du}\\&= \int{\left( -\frac{1}{(u + 1)} + \frac{1}{(u - 1)}\right) du}\\&= -\int{\frac{1}{(u + 1)}du} + \int{\frac{1}{(u - 1)}du}\\&= -\ln{(u + 1)} + \ln{(u - 1)} + C\end{align*}

 

de donde se sigue que, al sustituir el valor de u en términos de x, esto es, u = \sqrt{1 + e^{x}}

 

    \begin{align*} \int{\frac{1}{\sqrt{1 + e^{x}}} dx} &= -\ln{(u + 1)} + \ln{(u - 1)} + C\\&=  -\ln{(\sqrt{1 + e^{x}} + 1)} + \ln{(\sqrt{1 + e^{x}} - 1)} + C\\&= \ln{(\sqrt{1 + e^{x}} + 1)^{-1}} + \ln{(\sqrt{1 + e^{x}} - 1)} + C\\&= \ln{(\sqrt{1 + e^{x}} - 1)(\sqrt{1 + e^{x}} + 1)^{-1}} + C\\&= \ln{\frac{\sqrt{1 + e^{x}} - 1}{\sqrt{1 + e^{x}} + 1}} + C\\\end{align*}

 

9 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 2}} dx}

 

Integraremos por sustitución trigonométrica. Tomaremos

 

\displaystyle x = \sqrt{2}\sec{u} \quad \Rightarrow \quad dx = \sqrt{2}\sec{u}\tan{u}du

 

Sustituyendo estos valores en la integral

 

    \begin{align*} \int{\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 2}} dx} &= \int{\frac{1}{\sqrt{2}\sec{u}\sqrt{(\sqrt{2}\sec{u})^2 - 2}} \sqrt{2}\sec{u}\tan{u}du}\\&= \int{\frac{\sqrt{2}\sec{u}\tan{u}du}{\sqrt{2}\sec{u}\sqrt{2\sec^2{u} - 2}} }\\&= \int{\frac{\tan{u}du}{\sqrt{2\sec^2{u} - 2}} }\\&= \int{\frac{\tan{u}du}{\sqrt{2}\sqrt{\sec^2{u} - 1}} }\\&= \int{\frac{\tan{u}du}{\sqrt{2}\sqrt{\tan^2{u}}} }\\&= \int{\frac{\tan{u}du}{\sqrt{2}\tan{u}} }\\&= \int{\frac{du}{\sqrt{2}}}\\&= \frac{u}{\sqrt{2}} + C\\\end{align*}

 

por último, para escribir de nuevo esto en términos de x, notemos que al hacer sustitución tomamos x = \sqrt{2}\sec{u}, despejaremos u de aquí

 

    \begin{align*} x &= \sqrt{2}\sec{u}\\x &= \frac{\sqrt{2}}{\cos{u}}\\\cos{u} &= \frac{\sqrt{2}}{x}\\u &= \text{arccos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{x} \right)}\\\end{align*}

 

sustituyendo tenemos

 

    \begin{align*} \int{\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 2}} dx}  &= \frac{1}{\sqrt{2}}\text{arccos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{x} \right)} + C\\\end{align*}

 

10 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x +1} + 2}{\sqrt[3]{(x + 1)^2} - \sqrt{x + 1}} dx}

 

Integraremos utilizando el método de cambio de variable. Tomaremos

 

\displaystyle u^6 = x + 1 \quad \Rightarrow \quad 6u^5du  = dx.

 

Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos

 

    \begin{align*} \int{\frac{\sqrt{x +1} + 2}{\sqrt[3]{(x + 1)^2} - \sqrt{x + 1}} dx} &= \int{\frac{\sqrt{u^6} + 2}{\sqrt[3]{(u^6)^2} - \sqrt{u^6}} 6u^5du}\\&= \int{\frac{u^3 + 2}{u^4 - u^3} 6u^5du}\\&= \int{\frac{u^3 + 2}{u^3(u - 1)} 6u^5du}\\&= \int{\frac{u^3 + 2}{u - 1} 6u^2du}\\&= 6\int{\frac{u^5 + 2u^2}{u - 1} du}\\\end{align*}

 

Ahora simplifiquemos la expresión dentro de la integral usando fracciones parciales. Tenemos que

 

    \begin{align*} \frac{u^5 + 2u^2}{u - 1} &= Au^4 + Bu^3 + Cu^2 + Du + E + \frac{F}{u - 1}\\&= \frac{Au^4(u - 1)}{u - 1} + \frac{Bu^3(u - 1)}{u - 1} + \frac{Cu^2(u - 1)}{u - 1}\\&+ \frac{Du(u - 1)}{u - 1} + \frac{E(u - 1)}{u - 1} + \frac{F}{u - 1}\\&=\frac{Au^5 - Au^4}{u - 1} + \frac{Bu^4- Bu^3}{u - 1} + \frac{Cu^3 - Cu^2}{u - 1}\\&+ \frac{Du^2 - Du}{u - 1} + \frac{Eu - E}{u - 1} + \frac{F}{u - 1}\\&= \frac{Au^5 + (B - A)u^4 + (C - B)u^3}{u - 1}\\&+ \frac{(D - C)u^2 + (E - D)u + (F - E) }{u - 1}\\\end{align*}

 

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones

 

\displaystyle \begin{cases}1 &= A\\0 &= B - A\\0 &= C - B\\2 &= D - C\\0 &= E - D\\0 &= F - E\\\end{cases}

 

De donde se sigue que A = 1, B = 1, C = 1, D = 3, E = 3 y F = 3. Así, nuestra expresión es

 

    \begin{align*} \frac{u^5 + 2u^2}{u - 1} &= u^4 + u^3 + u^2 + 3u + 3 + \frac{3}{u - 1}\\\end{align*}

 

Sustituyendo en nuestra integral obtenemos

 

    \begin{align*} 6\int{\frac{u^5 + 2u^2}{u - 1} du} &= 6\int{u^4du} + 6\int{u^3 du} + 6 \int{u^2du}\\&+ 6\int{3udu} + 6 \int{3du}+ 6 \int{\frac{3}{u - 1} du}\\&= \frac{6}{5}u^5 + \frac{3}{2}u^4 + 2u^3 + 9u^2\\&+ 18u + 18 \ln{u - 1} + C\end{align*}

 

Solo nos falta escribirlo en términos de x, para esto notemos que t^6 = x + 1, por lo tanto, t = \sqrt[6]{x + 1}, sustituyendo obtenemos

 

    \begin{align*} \int{\frac{\sqrt{x +1} + 2}{\sqrt[3]{(x + 1)^2} - \sqrt{x + 1}} dx} &= \frac{6}{5}\sqrt[6]{(x + 1)^5} + \frac{3}{2}\sqrt[6]{(x + 1)^4}\\ &+ 2\sqrt[6]{(x + 1)^3}+ 9\sqrt[6]{(x + 1)^2}\\ &+ 18\sqrt[6]{x + 1} + 18 \ln{\sqrt[6]{x + 1} - 1} + C\end{align*}

 

11 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{\csc^3{x} dx}

 

Integraremos usando el método de cambio de variable. Primero notemos que

 

\displaystyle \csc^3{x} = \frac{1}{\sin^3{x}}.

 

Nuestro cambio de variable será

 

\displaystyle u = \tan{\frac{x}{2}}.

 

Derivando podemos ver que

 

    \begin{align*} du &= \frac{1}{2} \sec^2{\frac{x}{2}} dx\\du &= \frac{1}{2} \left(1 + \tan^2{\frac{x}{2}} \right) dx\\du &= \frac{1}{2} \left(1 + u^2 \right) dx\\\frac{2 du}{1 + u^2} &= dx\end{align*}

 

Dado que en la integral tenemos \sin{x}, debemos escribir esta función en término de \tan{\frac{x}{2}} para poder sustituir la función en terminos de u. Recordemos la siguiente identidad trigonométrica

 

\displaystyle \sin{x} = \frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1 + \tan^2{\frac{x}{2}}}

 

así, en pocas palabras tenemos que

 

\displaystyle \sin{x} = \frac{2u}{1 + u^2}

 

Sustituyendo en la integral obtenemos

 

    \begin{align*} \int{\csc^3{x} dx} &= \int{\frac{1}{\sin^3{x}}dx}\\&= \int{\frac{1}{\left( \frac{2u}{1 + u^2}\right)^3}\frac{2 du}{1 + u^2} }\\&= \int{\frac{(1 + u^2)^3}{(2u)^3}\frac{2 du}{1 + u^2} }\\&= \int{\frac{(1 + u^2)^2}{4u^3} du }\\&= \int{\frac{u^4 + 2u^2 + 1}{4u^3} du }\\&= \int{\frac{u}{4}du} + \int{\frac{1}{2u} du }\\&+ \int{\frac{1}{4u^3} du }\\&= \frac{u^2}{8} + \frac{1}{2}\ln{u}\\&- \frac{1}{8u^2} + C\\&= \frac{1}{8}\tan^2{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2}\ln{\tan{\frac{x}{2}}}\\&- \frac{1}{8}\tan^{-2}{\frac{x}{2}} + C\end{align*}

 

12 Integra la siguiente función

 

\displaystyle \int{\frac{e^{4x} + 3}{e^{3x}} dx}

 

Integraremos utilizando el método de cambio de variable. Tomaremos

 

\displaystyle u = e^{x} \quad \Rightarrow \quad du  = e^{x}dx = udx.

 

del diferencial se sigue que dx = \frac{du}{u}. Ahora, sustituyendo esto en nuestra integral obtenemos

 

    \begin{align*} \int{\frac{e^{4x} + 3}{e^{3x}} dx} &= \int{\frac{u^4 + 3}{u^3} \frac{du}{u}}\\&= \int{\frac{u^4 + 3}{u^4} du}\\&= \int{du} + \int{\frac{3}{u^4} du}\\&= u - \frac{1}{3u^3} + C\\&= e^{x} - \frac{1}{3e^{3x}} + C\\\end{align*}

 


¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 3,53/5 - 59 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗