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¿Qué es una integral y para que sirve?

 

Principalmente la integral es conocida como la operación inversa de la derivada, la cual tiene la principal función de calcular el área bajo una curva, se encuentra ampliamente relacionada con el estudio del calculo infinitesimal.

 

Dato curioso:

¿ Habías notado que al resolver una integral, siempre agregamos un valor constante?

 

Por ejemplo:

 

 \displaystyle \int 2x^3 = \frac{1}{2}x^4+C

 

Si lo pensamos un poco, esto tiene mucho sentido, pues la derivada de cualquier constante  es  \displaystyle 0  ,  lo cual significa que al derivar una constante, esta desaparecerá, lo lógico es que al aplicar la operación contraria a la derivada, es decir, cuando integremos el valor  \displaystyle 0  , entonces tendremos como resultado una constante.

Sobre los métodos para resolver integrales

 

Así como para las derivadas, las integrales cuentan con 2 métodos generales:

 

1 A través del concepto de limite

2 A través de fórmulas para casos específicos

 

Podría decirse que por cada forma de resolver una derivada, existe una forma de resolver una integral.

 

Ejemplo:

 

Dada la función   \displaystyle f(x)=x^n+9

 

Su derivada es  \displaystyle f'(x)=n(x^{n-1})   y la integral de esta ultima seria  \displaystyle \int n(x^{n-1})=x^n + C

 

Ejercicios de integrales

 

1  Integral con función trigonométrica

 

Integral con función trigonométrica

 

Flecha de derivación

 

Flecha de integración

 

La integral de la función seno

 

Resultado de la integral de la función seno

 

2    Integral con logaritmo natural

 

Integral con logaritmo natural

 

Flecha de derivación

 

Flecha de integración

 

Resultado de la integral de logaritmo natural

 

3    Integral con e

 

Integral con e

 

Flecha de derivación

 

Flecha de integración

 

Integrando por exponente

 

Flecha de derivación

 

Flecha de integración

 

Sustituyendo con derivada de U y V

 

Flecha de derivación

 

Flecha de integración

 

Integrando por partes

 

Integración por partes +C

 

Resultado de la Integral con e a la 2x

 

4    Integral con logaritmo natural 2

 

Integral con logaritmo natural 2

 

Flecha de derivación

 

Flecha de integración

 

Integración de un logaritmo natural

 

Resultado de la integral de un logaritmo natural

 

5    Integral con e y entidad trigonométrica

 

Integral con e y entidad trigonométrica

 

Flecha de derivación

 

Flecha de integración

 

Integrando una multiplicación

 

Flecha de derivación

 

Flecha de integración

 

Desarrollando la integral

 

Aplicando regla de integración de exponente

 

Resultado de la integral con e y entidad trigonométrica

 

6    Integral de una división

 

Integral de una división

 

Separando numeradores

 

Simplificación de la función

 

Para calcular A, B y C, sustituimos x por −3:

Sustitución de valores

 

Derivamos y volvemos a sustituir por −3:

Derivación y sustitución de valores

Sustitución de valores

 

Volvemos a derivar:

Nueva derivada

 

Integración por partes

 

Resultado de la integral de una división

 

 

También podemos hallar los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

Coeficientes de la función

 

Coeficientes a través de un sistema de ecuaciones

 

7    Integral con radical

 

Integral con radical

 

Cambio de variable

Derivada de la nueva variable

 

Integración de la nueva función

 

Despejando t

 

Integración por partes

 

Resultado de la integral con radical

 

8    Integral con división, radical y e a la x

 

Integral con división, radical y e a la x

 

Cambio de variable a t al cuadrado

Derivada de la nueva variable

 

Integral de la nueva función

 

Calculo de coeficientes

 

Primer coeficiente

 

Segundo coeficiente

 

Integración por partes

 

Despejando t

 

Resultado de la integral con división, radical y e a la x

 

9    Integral con división y radical

 

Integral con división y radical

 

Cambio de variable

 

Derivada de la nueva variable

 

Integración la nueva función

 

Extracción del coeficiente en la integral

 

Despejando t

 

Resultado de la integral con división y radical

 

10    Integral con división y potencias

 

Integral con división y potencias

 

Para resolver esta integral, realizamos un cambio de variable

 

Cambio de variable

 

Derivada de la nueva variable

Sustituimos en la integral, simplificamos y realizamos la división:

 

 

Integramos:

 

Integración por partes

 

Realizamos el cambio de variable a la original:

 

Calculando t

 

Sustituimos:

 

Sustituyendo t en el resultado

 

Simplificamos utilizando ley de exponentes para radicales:

 

Resultado de la integral con división y potencias

 

11    Integral con cosecante

 

Integral con cosecante

 

Cambio de variable

 

Derivada de la nueva variable

 

Integral de la nueva función

 

Integración por partes

 

Resultado de la integral de cosecante

 

12    Integral con e a la 4x

 

Integral con e a la 4x

 

Cambio de variable

Derivada de la nueva variable

 

Integración por partes

 

Resultado de integral con e a la 4x

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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nudelman
nudelman
Guest
13 Oct.

me ha ayudado a despejar dudas. Thanks

Iago
Iago
Guest
31 Oct.

Buena colección de integrales