1 Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.

1 Para encontrar la función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6, calculamos

 

\begin{array}{rcl} F(x) & = & \displaystyle \int f(x) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int (x + 6) \, dx \\\\ & = & \cfrac{x^2}{2} + 6x + C \end{array}

 

2 F(x) satisface que para x = 2 tome el valor 25, sustituyendo obtenemos el valor de C

 

\begin{array}{rcl} F(2) & = & 25 \\\\ \cfrac{2^2}{2} + 6(2) + C & = & 25 \\\\ 14 + C & = & 25 \\\\ C & = & 11 \end{array}

 

3 La función buscada es

 

F(x) = \cfrac{x^2}{2} + 6x + 11

 

2 De las infinitas funciones primitivas de la función y = x^2 - x + 1, ¿cuál es la que para x = 3 toma el valor 5?

1 Para encontrar la función primitiva F(x) de y = x^2 - x + 1, calculamos

 

\begin{array}{rcl} F(x) & = & \displaystyle \int y \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int (x^2 - x + 1) \, dx \\\\ & = & \cfrac{x^3}{3} - \cfrac{x^2}{2} + x + C \end{array}

 

2 F(x) satisface que para x = 2 tome el valor 25, sustituyendo obtenemos el valor de C

 

\begin{array}{rcl} F(3) & = & 5 \\\\ \cfrac{3^3}{3} - \cfrac{3^2}{2} + 3 + C & = & 5 \\\\ \cfrac{15}{2} + C & = & 5 \\\\ C & = & -\cfrac{5}{2} \end{array}

 

3 La función buscada es

 

F(x) = \cfrac{x^3}{3} - \cfrac{x^2}{2} + x - \cfrac{5}{2}

 

3 Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto P(0, 4).

1 Como la derivada es igual a la pendiente, entonces se tiene que f'(x) = 2. Integrando a ambos lados se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int f'(x) \, dx & = & \displaystyle \int 2 \, dx \\\\ f(x) & = & 2x + C \end{array}

 

2 Como la recta f(x) pasa por el punto P(0, 4), sustituyendo obtenemos el valor de C

 

\begin{array}{rcl} f(0) & = & 4 \\\\ 2(0) + C & = & 4 \\\\ C & = & 4 \end{array}

 

3 La función buscada es

 

f(x) = 2x + 4

 

4 Escribe la función primitiva de y = x^2 + 2x cuya representación gráfica pasa por el punto (1, 3).

1 Para encontrar la función primitiva F(x) de y = x^2 + 2x, calculamos

 

\begin{array}{rcl} F(x) & = & \displaystyle \int y \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int (x^2 + 2x) \, dx \\\\ & = & \cfrac{x^3}{3} + x^2 + C \end{array}

 

2 F(x) satisface que su representación gráfica pasa por el punto (1, 3), sustituyendo obtenemos el valor de C

 

\begin{array}{rcl} F(1) & = & 3 \\\\ \cfrac{1^3}{3} + 1^2 + C & = & 3 \\\\ \cfrac{4}{3} + C & = & 3 \\\\ C & = & \cfrac{5}{3} \end{array}

 

3 La función buscada es

 

F(x) = \cfrac{x^3}{3} + x^2 + \cfrac{5}{3}

 

5 Calcular la ecuación de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en cualquier punto es 3x^2 + 5x - 2.

1 Como la derivada es igual a la pendiente, entonces se tiene que f'(x) = 3x^2 + 5x - 2. Integrando a ambos lados se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int f'(x) \, dx & = & \displaystyle \int (3x^2 + 5x - 2) \, dx \\\\ f(x) & = & x^3 + \cfrac{5x^2}{2} - 2x + C \end{array}

 

2 Como la curva f(x) pasa por el punto P(1, 5), sustituyendo obtenemos el valor de C

 

\begin{array}{rcl} f(1) & = & 5 \\\\ 1^3 + \cfrac{5(1)^2}{2} - 2(1) + C & = & 5 \\\\ C & = & \cfrac{7}{2} \end{array}

 

3 La función buscada es

 

f(x) = x^3 + \cfrac{5x^2}{2} - 2x + \cfrac{7}{2}

 

6 Hallar la primitiva de la función f(x) = x \sqrt{x^2 - 1}, que se anula para x = 2.

1 Para encontrar la función primitiva F(x) de f(x) = x \sqrt{x^2 - 1}, calculamos

 

\begin{array}{rcl} F(x) & = & \displaystyle \int f(x) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int x (x^2 - 1)^{\frac{1}{2}} \, dx \\\\  & = & \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{(x^2 - 1)^{\frac{3}{2}}}{\cfrac{3}{2}} + C  \\\\  & = & \cfrac{(x^2 - 1)^{\frac{3}{2}}}{3} + C  \end{array}

 

2 F(x) satisface que se anula para x = 2, sustituyendo obtenemos el valor de C

 

\begin{array}{rcl} F(2) & = & 0 \\\\  \cfrac{(2^2 - 1)^{\frac{3}{2}}}{3} + C & = & 0 \\\\ \sqrt{3} + C & = & 0 \\\\ C & = & -\sqrt{3} \end{array}

 

3 La función buscada es

 

F(x) = \cfrac{(x^2 - 1)^{\frac{3}{2}}}{3} - \sqrt{3}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗