1 \displaystyle \int \cfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 + 2x}} \, dx

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\begin{array}{rcl} 1 + 2x = t^3 & \Longrightarrow & x = \cfrac{t^3 - 1}{2} \\\\ 2dx = 3t^2 \, dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{3t^2 \, dt}{2} \end{array}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 + 2x}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( \cfrac{t^3 - 1}{2} \right )^2}{t} \cdot \cfrac{3t^2 \, dt}{2} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{2}\int \cfrac{t^6 - 2t^3 + 1}{4} \cdot t\, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{8}\int \left ( t^7 - 2t^4 + t \right ) \, dt  \end{array}

 

3Resolvemos la integral obtenida

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{3}{8}\int \left ( t^7 - 2t^4 + t \right ) \, dt & = & \displaystyle \cfrac{3}{8} \left ( \cfrac{t^8}{8} - \cfrac{2t^5}{5} + \cfrac{t^2}{2} \right ) + C   \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t = \sqrt[3]{1 + 2x}

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{3}{8} \left ( \cfrac{t^8}{8} - \cfrac{2t^5}{5} + \cfrac{t^2}{2} \right ) & = & \cfrac{3}{64} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^8 - \cfrac{3}{20} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^5 + \cfrac{3}{16} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^2 \end{array}

 

Así, la solución en termino de la variable inicial es

 

 \displaystyle \int \cfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 + 2x}} \, dx = \cfrac{3}{64} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^8 - \cfrac{3}{20} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^5 + \cfrac{3}{16} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^2 + C

 

 

2 \displaystyle \int \cfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \,  dx

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\begin{array}{rcl} x^2 + 1 = t^2 & \Longrightarrow & x = \sqrt{t^2 - 1} \\\\ 2x \, dx = 2t \, dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{t \, dt}{\sqrt{t^2 - 1}} \end{array}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( \sqrt{t^2 - 1} \right )^3}{t} \cdot \cfrac{t \, dt}{\sqrt{t^2 - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( t^2 - 1 \right )^{\frac{3}{2}}}{\left ( t^2 - 1 \right )^{\frac{1}{2}}} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \left ( t^2 - 1 \right ) \, dt \end{array}

 

3Resolvemos la integral obtenida

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( t^2 - 1 \right ) \, dt & = & \displaystyle \cfrac{t^3}{3} - t + C \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t = \sqrt{x^2 + 1}

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{t^3}{3} - t  & = &  \cfrac{1}{3} \left ( \sqrt{x^2 + 1} \right )^3 - \sqrt{x^2 + 1} \end{array}

 

Así, la solución en termino de la variable inicial es

 

 \displaystyle \int \cfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \cfrac{1}{3} \left ( \sqrt{x^2 + 1} \right )^3 - \sqrt{x^2 + 1} + C

 

 

3 \displaystyle \int \cfrac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}}

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\begin{array}{rcl} x + 2 = t^2 & \Longrightarrow & x = t^2 - 2 \\\\ dx = 2t \, dt &  &  \end{array}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}} & = & \displaystyle \int \cfrac{2t \, dt}{\left ( t^2 - 4 \right ) t} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{2}{ t^2 - 4 } \, dt  \end{array}

 

3Resolvemos la integral obtenida empleando fracciones parciales

 

 \begin{array}{l} \displaystyle \cfrac{2}{t^2 - 4} = \cfrac{A}{t - 2} + \cfrac{B}{t + 2}  \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  2 = A(t + 2) + B(t - 2)  \\\\ t = -2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  B = -\cfrac{1}{2}  \\\\ t = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  A = \cfrac{1}{2} \end{array}

 

La integral es

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{2}{ t^2 - 4 } \, dt  & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dt}{t - 2} - \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dt}{t + 2} \\\\  & = &  \cfrac{1}{2} \ln (t - 2) - \cfrac{1}{2} \ln (t + 2) + C  \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t = \sqrt{x + 2}

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{1}{2} \ln (t - 2) - \cfrac{1}{2} \ln (t + 2)  & = & \cfrac{1}{2} \ln \left ( \sqrt{x + 2} - 2 \right ) - \cfrac{1}{2} \ln \left (\sqrt{x + 2} + 2 \right )  \\\\  & = &  \cfrac{1}{2} \ln \left ( \cfrac{\sqrt{x +2} - 2}{\sqrt{x + 2} + 2} \right ) \end{array}

 

Así, la solución en termino de la variable inicial es

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}} = \cfrac{1}{2} \ln \left ( \cfrac{\sqrt{x +2} - 2}{\sqrt{x + 2} + 2} \right ) + C

 

 

4 \displaystyle \int x \sqrt{1 + x} \, dx

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\begin{array}{rcl} 1 + x = t^2 & \Longrightarrow & x = t^2 - 1 \\\\ dx = 2t \, dt &  &  \end{array}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \sqrt{1 + x} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( t^2 - 1 \right ) \cdot t \cdot 2t \, dt \\\\ & = & \displaystyle 2 \int \left ( t^4 - t^2 \right ) \, dt  \end{array}

 

3Resolvemos la integral obtenida

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \int \left ( t^4 - t^2 \right ) \, dt & = & \displaystyle \cfrac{2}{5}t^5 - \cfrac{2}{3}t^3 + C \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t = \sqrt{1 + x}

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{2}{5}t^5 - \cfrac{2}{3}t^3 & = & \displaystyle \cfrac{2}{5}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^5 - \cfrac{2}{3}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^3 \end{array}

 

Así, la solución en termino de la variable inicial es

 

 \displaystyle \int x \sqrt{1 + x} \, dx = \displaystyle \cfrac{2}{5}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^5 - \cfrac{2}{3}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^3 + C

 

 

5 \displaystyle \int \cfrac{4e^{3x}}{1 + e^{2x}} \, dx

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\begin{array}{rcl} e^x = t & \Longrightarrow & x = \ln t \\\\  e^x \, dx = dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{dt}{t}\end{array}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{4e^{3x}}{1 + e^{2x}} \, dx & = & \displaystyle 4 \int \cfrac{t^3}{1 + t^2}  \cdot \cfrac{dt}{t} \\\\ & = & \displaystyle 4 \int \cfrac{t^2}{1 + t^2} \, dt  \\\\ & = &   \displaystyle 4 \int \cfrac{t^2 + 1 - 1}{1 + t^2} \, dt  \\\\  & = & \displaystyle 4 \left ( \int dt -  \int \cfrac{1}{1 + t^2} \, dt  \right )    \end{array}

 

3Resolvemos la integral obtenida

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle 4 \left ( \int dt -  \int \cfrac{1}{1 + t^2} \, dt  \right )  & = & \displaystyle 4(t - arc \, tg\, t) + C \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t = e^x

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle 4(t - arc \, tg\, t) & = & \displaystyle 4 \left ( e^x - arc \, tg \, e^x \right ) \end{array}

 

Así, la solución en termino de la variable inicial es

 

 \displaystyle \int \cfrac{4e^{3x}}{1 + e^{2x}} \, dx = \displaystyle 4 \left ( e^x - arc \, tg \, e^x \right ) + C

 

 

6 \displaystyle \int \cfrac{e^{4x} + 3}{e^{3x}} \, dx

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\begin{array}{rcl} e^x = t & \Longrightarrow & x = \ln t \\\\ e^x \, dx = dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{dt}{t}\end{array}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{e^{4x} + 3}{e^{3x}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{t^4 + 3}{t^3} \cdot \cfrac{dt}{t} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{t^4 + 3}{t^4} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \int  dt + 3 \int \cfrac{dt}{t^4} \end{array}

 

3Resolvemos la integral obtenida

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int  dt + 3 \int \cfrac{dt}{t^4} & = & \displaystyle t - \cfrac{1}{t^3} + C \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t = e^x

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle t - \cfrac{1}{t^3} & = & \displaystyle e^x - \cfrac{1}{e^{3x}} \end{array}

 

Así, la solución en termino de la variable inicial es

 

 \displaystyle \int \cfrac{e^{4x} + 3}{e^{3x}} \, dx = \displaystyle e^x - \cfrac{1}{e^{3x}} + C

 

 

7 \displaystyle \int \cfrac{1 + e^x}{1 - e^x} \, dx

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\begin{array}{rcl} e^x = t & \Longrightarrow & x = \ln t \\\\ e^x \, dx =  dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{dt}{t}\end{array}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{1 + e^x}{1 - e^x} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{1 + t}{1 - t} \cdot \cfrac{dt}{t} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{-1 - t}{ t (t - 1) } \, dt \end{array}

 

3Resolvemos la integral obtenida empleando fracciones parciales

 

 \begin{array}{l} \displaystyle \cfrac{-1 - t}{t(t - 1)} = \cfrac{A}{t} + \cfrac{B}{t - 1} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -1 - t = A(t - 1) + Bt \\\\ t = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B = -2 \\\\ t = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A = 1 \end{array}

 

La integral es

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{-1 - t}{ t (t - 1) } \, dt & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{t} - 2 \int \cfrac{dt}{t - 1} \\\\ & = & \ln t - 2 \ln (t - 1) + C \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t = e^x

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \ln t - 2 \ln (t - 1)  & = & \ln e^x - 2 \ln \left (e^x - 1 \right ) \\\\ & = & x - \ln \left ( e^x - 1 \right )^2  \end{array}

 

Así, la solución en termino de la variable inicial es

 

 \displaystyle \int \cfrac{1 + e^x}{1 - e^x} \, dx = x - \ln \left ( e^x - 1 \right )^2 + C

 

 

8\displaystyle \int \cfrac{x^{4}}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}\, dx

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

x=\sin t

 

dx=\cos t\, dt

 

2Sustituimos en la integral y para simplificar empleamos identidades trigonométricas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{4}}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\sin ^{4}t}{\sqrt{(1-\sin ^{2}t)^{3}}}\, \cos t\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{(1-\cos ^{2}t)^{2}}{\cos ^{2}t}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{1-2\cos ^{2}t+\cos ^{4}t}{\cos ^{2}t}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{\cos ^{2}t}-2\int dt+\int \cos ^{2}t\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{\cos ^{2}t}-2\int dt+\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\,dt \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dt}{\cos ^{2}t}-2\int dt+\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\,dt & = & \tan t-2t+\cfrac{1}{2}\, t+\cfrac{1}{4} \sin 2t+\textup{C} \\\\ & = & \tan t+\cfrac{1}{4}\sin 2t-\cfrac{3}{4}\, t+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello despejamos ten el cambio de variable inicial

 

x=\sin t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=\arcsin x

 

Calculamos para el seno y coseno de  t

 

\sin 2t=2\sin t\cdot \cos t =2\sin (\arcsin x)\cdot \cos (\arcsin x)=2x\cdot \sqrt{1-x^{2}}

 

\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-\left [ \sin (\arcsin x) \right ]^{2}}=\sqrt{1-x^{2}}

 

Así, el resultado se expresa en la variable  x como

 

\displaystyle \int \cfrac{x^{4}}{\sqrt{(1-x^{2})^{2}}}\, dx = \tan(\arcsin x) + x\cdot \sqrt{1-x^{2}}-\cfrac{3}{2}\arcsin x +\textup{C}

 

 

9 \displaystyle \int \cfrac{dx}{(x + 1)\sqrt{x}}

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\begin{array}{rcl} x = t^2 & \Longrightarrow & t = \sqrt{x} \\\\  dx = 2t \, dt &  &  \end{array}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{(x + 1)\sqrt{x}} & = & \displaystyle 2 \int \cfrac{t \, dt}{\left (t^2 +1 \right ) t} \\\\ & = & \displaystyle 2 \int \cfrac{dt}{ t^2 + 1 } \end{array}

 

3Resolvemos la integral obtenida

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \int \cfrac{dt}{ t^2 + 1 } & = & \displaystyle 2 \, arc \, tg \, t + C \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t = \sqrt{x}

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \, arc \, tg \, t & = & \displaystyle 2 \, arc \, tg \, \sqrt{x} \end{array}

 

Así, la solución en termino de la variable inicial es

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{(x + 1)\sqrt{x}} = \displaystyle 2 \, arc \, tg \, \sqrt{x} + C

 

 

10\displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

x = 3\sin t

 

dx = 3\cos t\, dt

 

2Sustituimos en la integral y para simplificar empleamos identidades trigonométricas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{9 \sin ^{2} t \cdot 3 \cos t \, dt}{3 \cos t} \\\\ & = & \displaystyle 9 \int \sin^2 t\, dt \\\\ & = & \displaystyle 9 \int \cfrac{1-\cos 2t}{2} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{9}{2} \int dt -  \cfrac{9}{4} \int 2 \cos 2t \, dt  \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{9}{2} \int dt -  \cfrac{9}{4} \int 2 \cos 2t \, dt  & = & \cfrac{9}{2} t - \cfrac{9}{4} \sin 2t + C  \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello despejamos ten el cambio de variable inicial

 

x = 3 \sin t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t = \arcsin \cfrac{x}{3}

 

Calculamos para el seno y coseno de  t

 

\sin 2t=2\sin t\cdot \cos t = 2\sin \left (\arcsin \cfrac{x}{3} \right )\cdot \cos \left (\arcsin \cfrac{x}{3} \right ) = 2 \cfrac{x}{3}\cdot \sqrt{1-\left ( \cfrac{x}{3} \right )^{2}}

 

\cos \left (\arcsin \cfrac{x}{3} \right ) = \sqrt{1-\left [ \sin \left (\arcsin \cfrac{x}{3} \right ) \right ]^{2}} = \sqrt{1-\left (\cfrac{x}{3} \right )^{2}}

 

Así, el resultado se expresa en la variable  x como

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx & = & \cfrac{9}{2} \arcsin \cfrac{x}{3} + \cfrac{9}{2} \cdot \cfrac{x}{3} \cdot \sqrt{1-\left ( \cfrac{x}{3} \right )^{2}} + C \\\\  & = & \cfrac{9}{2} \arcsin \cfrac{x}{3} + \cfrac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + C \end{array}

 

 

11\displaystyle \int \cfrac{dx}{1+\cos ^{2}x}

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\tan x = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = arctan \, t

 

 dx = \cfrac{dt}{1+t^{2}}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1+t^{2}}}{1+\cfrac{1}{1+t^{2}}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1+t^{2}}}{\cfrac{1+1+t^{2}}{1+t^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{2+t^{2}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{2\left [ 1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{2} \right )^{2}} \right ]} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{2}} \right )^{2}}\, dt \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{2}} \right )^{2}}\, dt & = & \cfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \cfrac{t}{\sqrt{2}}+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{1+\cos ^{2}x} = \cfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left ( \cfrac{1}{\sqrt{2}}\tan x \right )+\textup{C}

 

 

12\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{sen \, x  \, cos ^{3}x}}

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

tan \, x = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = arctan \, t

 

 dx = \cfrac{dt}{1+t^{2}}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{sen \, x  \, cos ^{3}x}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1+t^{2}}}{\sqrt{\cfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} \cdot \cfrac{1}{\left ( 1 + t^2 \right ) \sqrt{1 + t^2}} }} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1 + t^2}}{\sqrt{\cfrac{t}{\left ( 1 + t^{2} \right )^2 }}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1 + t^2}}{\cfrac{\sqrt{t}}{1 + t^2}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{\sqrt{t}} \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dt}{\sqrt{t}} & = & 2 \sqrt{t} + \textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{sen \, x  \, cos ^{3}x}} = 2 \sqrt{tan \, x} + C

 

 

13\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}}

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

 \tan \cfrac{x}{2} = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 2 \, \arctan \, t

 

 dx=\cfrac{2dt}{1+t^{2}}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2dt}{1+t^{2}}}{\sqrt{\cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\left ( \cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \right )^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2dt}{1+t^{2}}}{\sqrt{\cfrac{(1-t^{2})(1+t^{2})+(1-t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}} \\\\ & = & 2\int \cfrac{dt}{\sqrt{2-2t^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{2}{\sqrt{2}}\int \cfrac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}} \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{2}{\sqrt{2}}\int \cfrac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}} & = & \cfrac{2}{\sqrt{2}}\arcsin t+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}} & = & \sqrt{2} \arcsin \left ( \tan \cfrac{x}{2} \right )+\textup{C}

 

 

14\displaystyle \int \cfrac{dx}{2+\cos x}

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\tan \cfrac{x}{2} = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 2 \arctan t

 

 dx = \cfrac{2dt}{1+t^{2}}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2 dt}{1 + t^{2}}}{2+\cfrac{1 - t^2}{1 + t^{2}}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2 dt}{1 + t^{2}}}{\cfrac{2 + 2t^{2} + 1 - t^2}{1 + t^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2 dt}{1 + t^{2}}}{\cfrac{3 + t^2}{1 + t^{2}}} \\\\   & = & \displaystyle 2 \int \cfrac{dt}{3 + t^{2}} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{2}{3} \int \cfrac{dt}{ 1 + \left ( \cfrac{t}{\sqrt{3} \right )^{2}} } \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{2}{3}\cdot \sqrt{3} \int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{3}} \right )^{2}} \, dt \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{2}{3}\cdot \sqrt{3} \int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{3}} \right )^{2}} \, dt  & = & \cfrac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \cfrac{t}{\sqrt{3}} + \textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{2+\cos x} = \cfrac{2 \sqrt{3}}{3}\arctan \left ( \cfrac{1}{\sqrt{3}}\tan \cfrac{x}{2} \right )+\textup{C}

 

 

15\displaystyle \int \cfrac{dx}{\cos^4  x}

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\tan x = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \arctan t

 

 dx = \cfrac{dt}{1+t^{2}}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{\cos^4  x} & = & \displaystyle \int \left ( 1 + t^2 \right )^4 \cdot \cfrac{dt}{1 + t^{2}} \\\\  & = & \displaystyle \int \left ( 1 + t^2 \right ) \, dt  \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( 1 + t^2 \right ) \, dt & = & t + \cfrac{1}{3}t^3 + \textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\cos^4  x} = \tan x + \cfrac{1}{3} \tan^3 x + \textup{C}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗