Name: Ejercicios resueltos de integrales por sustitucion
Brand: Superprof
SKU: SP-RB-00080958
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1 $\displaystyle \int \cfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 + 2x}} \, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} 1 + 2x = t^3 & \Longrightarrow & x = \cfrac{t^3 - 1}{2} \\\\ 2dx = 3t^2 \, dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{3t^2 \, dt}{2} \end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 + 2x}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( \cfrac{t^3 - 1}{2} \right )^2}{t} \cdot \cfrac{3t^2 \, dt}{2} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{2}\int \cfrac{t^6 - 2t^3 + 1}{4} \cdot t\, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{8}\int \left ( t^7 - 2t^4 + t \right ) \, dt \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{3}{8}\int \left ( t^7 - 2t^4 + t \right ) \, dt & = & \displaystyle \cfrac{3}{8} \left ( \cfrac{t^8}{8} - \cfrac{2t^5}{5} + \cfrac{t^2}{2} \right ) + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = \sqrt[3]{1 + 2x}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{3}{8} \left ( \cfrac{t^8}{8} - \cfrac{2t^5}{5} + \cfrac{t^2}{2} \right ) & = & \cfrac{3}{64} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^8 - \cfrac{3}{20} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^5 + \cfrac{3}{16} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^2 \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int \cfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 + 2x}} \, dx = \cfrac{3}{64} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^8 - \cfrac{3}{20} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^5 + \cfrac{3}{16} \left ( \sqrt[3]{1 + 2x} \right )^2 + C$

2 $\displaystyle \int \cfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} x^2 + 1 = t^2 & \Longrightarrow & x = \sqrt{t^2 - 1} \\\\ 2x \, dx = 2t \, dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{t \, dt}{\sqrt{t^2 - 1}} \end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( \sqrt{t^2 - 1} \right )^3}{t} \cdot \cfrac{t \, dt}{\sqrt{t^2 - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( t^2 - 1 \right )^{\frac{3}{2}}}{\left ( t^2 - 1 \right )^{\frac{1}{2}}} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \left ( t^2 - 1 \right ) \, dt \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( t^2 - 1 \right ) \, dt & = & \displaystyle \cfrac{t^3}{3} - t + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = \sqrt{x^2 + 1}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{t^3}{3} - t & = & \cfrac{1}{3} \left ( \sqrt{x^2 + 1} \right )^3 - \sqrt{x^2 + 1} \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int \cfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \cfrac{1}{3} \left ( \sqrt{x^2 + 1} \right )^3 - \sqrt{x^2 + 1} + C$

3 $\displaystyle \int \cfrac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}}$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} x + 2 = t^2 & \Longrightarrow & x = t^2 - 2 \\\\ dx = 2t \, dt & & \end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}} & = & \displaystyle \int \cfrac{2t \, dt}{\left ( t^2 - 4 \right ) t} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{2}{ t^2 - 4 } \, dt \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida empleando fracciones parciales

$\begin{array}{l} \displaystyle \cfrac{2}{t^2 - 4} = \cfrac{A}{t - 2} + \cfrac{B}{t + 2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 2 = A(t + 2) + B(t - 2) \\\\ t = -2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B = -\cfrac{1}{2} \\\\ t = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A = \cfrac{1}{2} \end{array}$

La integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{2}{ t^2 - 4 } \, dt & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dt}{t - 2} - \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dt}{t + 2} \\\\ & = & \cfrac{1}{2} \ln (t - 2) - \cfrac{1}{2} \ln (t + 2) + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = \sqrt{x + 2}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{1}{2} \ln (t - 2) - \cfrac{1}{2} \ln (t + 2) & = & \cfrac{1}{2} \ln \left ( \sqrt{x + 2} - 2 \right ) - \cfrac{1}{2} \ln \left (\sqrt{x + 2} + 2 \right ) \\\\ & = & \cfrac{1}{2} \ln \left ( \cfrac{\sqrt{x +2} - 2}{\sqrt{x + 2} + 2} \right ) \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}} = \cfrac{1}{2} \ln \left ( \cfrac{\sqrt{x +2} - 2}{\sqrt{x + 2} + 2} \right ) + C$

4 $\displaystyle \int x \sqrt{1 + x} \, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} 1 + x = t^2 & \Longrightarrow & x = t^2 - 1 \\\\ dx = 2t \, dt & & \end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \sqrt{1 + x} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( t^2 - 1 \right ) \cdot t \cdot 2t \, dt \\\\ & = & \displaystyle 2 \int \left ( t^4 - t^2 \right ) \, dt \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida

$\begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \int \left ( t^4 - t^2 \right ) \, dt & = & \displaystyle \cfrac{2}{5}t^5 - \cfrac{2}{3}t^3 + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = \sqrt{1 + x}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{2}{5}t^5 - \cfrac{2}{3}t^3 & = & \displaystyle \cfrac{2}{5}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^5 - \cfrac{2}{3}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^3 \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int x \sqrt{1 + x} \, dx = \displaystyle \cfrac{2}{5}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^5 - \cfrac{2}{3}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^3 + C$

5 $\displaystyle \int \cfrac{4e^{3x}}{1 + e^{2x}} \, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} e^x = t & \Longrightarrow & x = \ln t \\\\ e^x \, dx = dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{dt}{t}\end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{4e^{3x}}{1 + e^{2x}} \, dx & = & \displaystyle 4 \int \cfrac{t^3}{1 + t^2} \cdot \cfrac{dt}{t} \\\\ & = & \displaystyle 4 \int \cfrac{t^2}{1 + t^2} \, dt \\\\ & = & \displaystyle 4 \int \cfrac{t^2 + 1 - 1}{1 + t^2} \, dt \\\\ & = & \displaystyle 4 \left ( \int dt - \int \cfrac{1}{1 + t^2} \, dt \right ) \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida

$\begin{array}{rcl} \displaystyle 4 \left ( \int dt - \int \cfrac{1}{1 + t^2} \, dt \right ) & = & \displaystyle 4(t - arc \, tg\, t) + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = e^x$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle 4(t - arc \, tg\, t) & = & \displaystyle 4 \left ( e^x - arc \, tg \, e^x \right ) \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int \cfrac{4e^{3x}}{1 + e^{2x}} \, dx = \displaystyle 4 \left ( e^x - arc \, tg \, e^x \right ) + C$

6 $\displaystyle \int \cfrac{e^{4x} + 3}{e^{3x}} \, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} e^x = t & \Longrightarrow & x = \ln t \\\\ e^x \, dx = dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{dt}{t}\end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{e^{4x} + 3}{e^{3x}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{t^4 + 3}{t^3} \cdot \cfrac{dt}{t} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{t^4 + 3}{t^4} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \int dt + 3 \int \cfrac{dt}{t^4} \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int dt + 3 \int \cfrac{dt}{t^4} & = & \displaystyle t - \cfrac{1}{t^3} + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = e^x$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle t - \cfrac{1}{t^3} & = & \displaystyle e^x - \cfrac{1}{e^{3x}} \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int \cfrac{e^{4x} + 3}{e^{3x}} \, dx = \displaystyle e^x - \cfrac{1}{e^{3x}} + C$

7 $\displaystyle \int \cfrac{1 + e^x}{1 - e^x} \, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} e^x = t & \Longrightarrow & x = \ln t \\\\ e^x \, dx = dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{dt}{t}\end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{1 + e^x}{1 - e^x} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{1 + t}{1 - t} \cdot \cfrac{dt}{t} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{-1 - t}{ t (t - 1) } \, dt \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida empleando fracciones parciales

$\begin{array}{l} \displaystyle \cfrac{-1 - t}{t(t - 1)} = \cfrac{A}{t} + \cfrac{B}{t - 1} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ -1 - t = A(t - 1) + Bt \\\\ t = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B = -2 \\\\ t = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A = 1 \end{array}$

La integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{-1 - t}{ t (t - 1) } \, dt & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{t} - 2 \int \cfrac{dt}{t - 1} \\\\ & = & \ln t - 2 \ln (t - 1) + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = e^x$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \ln t - 2 \ln (t - 1) & = & \ln e^x - 2 \ln \left (e^x - 1 \right ) \\\\ & = & x - \ln \left ( e^x - 1 \right )^2 \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int \cfrac{1 + e^x}{1 - e^x} \, dx = x - \ln \left ( e^x - 1 \right )^2 + C$

8 $\displaystyle \int \cfrac{x^{4}}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}\, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$x=\sin t$

$dx=\cos t\, dt$

2Sustituimos en la integral y para simplificar empleamos identidades trigonométricas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{4}}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\sin ^{4}t}{\sqrt{(1-\sin ^{2}t)^{3}}}\, \cos t\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{(1-\cos ^{2}t)^{2}}{\cos ^{2}t}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{1-2\cos ^{2}t+\cos ^{4}t}{\cos ^{2}t}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{\cos ^{2}t}-2\int dt+\int \cos ^{2}t\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{\cos ^{2}t}-2\int dt+\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\,dt \end{array}$

3Resolvemos las integrales obtenidas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dt}{\cos ^{2}t}-2\int dt+\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\,dt & = & \tan t-2t+\cfrac{1}{2}\, t+\cfrac{1}{4} \sin 2t+\textup{C} \\\\ & = & \tan t+\cfrac{1}{4}\sin 2t-\cfrac{3}{4}\, t+\textup{C} \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello despejamos $t$ en el cambio de variable inicial

$x=\sin t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=\arcsin x$

Calculamos para el seno y coseno de $t$

$\sin 2t=2\sin t\cdot \cos t =2\sin (\arcsin x)\cdot \cos (\arcsin x)=2x\cdot \sqrt{1-x^{2}}$

$\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-\left [ \sin (\arcsin x) \right ]^{2}}=\sqrt{1-x^{2}}$

Así, el resultado se expresa en la variable $x$ como

$\displaystyle \int \cfrac{x^{4}}{\sqrt{(1-x^{2})^{2}}}\, dx = \tan(\arcsin x) + x\cdot \sqrt{1-x^{2}}-\cfrac{3}{2}\arcsin x +\textup{C}$

9 $\displaystyle \int \cfrac{dx}{(x + 1)\sqrt{x}}$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} x = t^2 & \Longrightarrow & t = \sqrt{x} \\\\ dx = 2t \, dt & & \end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{(x + 1)\sqrt{x}} & = & \displaystyle 2 \int \cfrac{t \, dt}{\left (t^2 +1 \right ) t} \\\\ & = & \displaystyle 2 \int \cfrac{dt}{ t^2 + 1 } \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida

$\begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \int \cfrac{dt}{ t^2 + 1 } & = & \displaystyle 2 \, arc \, tg \, t + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = \sqrt{x}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \, arc \, tg \, t & = & \displaystyle 2 \, arc \, tg \, \sqrt{x} \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{(x + 1)\sqrt{x}} = \displaystyle 2 \, arc \, tg \, \sqrt{x} + C$

10 $\displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$x = 3\sin t$

$dx = 3\cos t\, dt$

2Sustituimos en la integral y para simplificar empleamos identidades trigonométricas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{9 \sin ^{2} t \cdot 3 \cos t \, dt}{3 \cos t} \\\\ & = & \displaystyle 9 \int \sin^2 t\, dt \\\\ & = & \displaystyle 9 \int \cfrac{1-\cos 2t}{2} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{9}{2} \int dt - \cfrac{9}{4} \int 2 \cos 2t \, dt \end{array}$

3Resolvemos las integrales obtenidas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{9}{2} \int dt - \cfrac{9}{4} \int 2 \cos 2t \, dt & = & \cfrac{9}{2} t - \cfrac{9}{4} \sin 2t + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello despejamos $t$ en el cambio de variable inicial

$x = 3 \sin t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t = \arcsin \cfrac{x}{3}$

Calculamos para el seno y coseno de $t$

$\sin 2t=2\sin t\cdot \cos t = 2\sin \left (\arcsin \cfrac{x}{3} \right )\cdot \cos \left (\arcsin \cfrac{x}{3} \right ) = 2 \cfrac{x}{3}\cdot \sqrt{1-\left ( \cfrac{x}{3} \right )^{2}}$

$\cos \left (\arcsin \cfrac{x}{3} \right ) = \sqrt{1-\left [ \sin \left (\arcsin \cfrac{x}{3} \right ) \right ]^{2}} = \sqrt{1-\left (\cfrac{x}{3} \right )^{2}}$

Así, el resultado se expresa en la variable $x$ como

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx & = & \cfrac{9}{2} \arcsin \cfrac{x}{3} + \cfrac{9}{2} \cdot \cfrac{x}{3} \cdot \sqrt{1-\left ( \cfrac{x}{3} \right )^{2}} + C \\\\ & = & \cfrac{9}{2} \arcsin \cfrac{x}{3} + \cfrac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + C \end{array}$

11 $\displaystyle \int \cfrac{dx}{1+\cos ^{2}x}$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\tan x = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = arctan \, t$

$dx = \cfrac{dt}{1+t^{2}}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1+t^{2}}}{1+\cfrac{1}{1+t^{2}}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1+t^{2}}}{\cfrac{1+1+t^{2}}{1+t^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{2+t^{2}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{2\left [ 1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{2} \right )^{2}} \right ]} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{2}} \right )^{2}}\, dt \end{array}$

3Resolvemos las integrales obtenidas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{2}} \right )^{2}}\, dt & = & \cfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \cfrac{t}{\sqrt{2}}+\textup{C} \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{1+\cos ^{2}x} = \cfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left ( \cfrac{1}{\sqrt{2}}\tan x \right )+\textup{C}$

12 $\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{sen \, x \, cos ^{3}x}}$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$tan \, x = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = arctan \, t$

$dx = \cfrac{dt}{1+t^{2}}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{sen \, x \, cos ^{3}x}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1+t^{2}}}{\sqrt{\cfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} \cdot \cfrac{1}{\left ( 1 + t^2 \right ) \sqrt{1 + t^2}} }} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1 + t^2}}{\sqrt{\cfrac{t}{\left ( 1 + t^{2} \right )^2 }}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1 + t^2}}{\cfrac{\sqrt{t}}{1 + t^2}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{\sqrt{t}} \end{array}$

3Resolvemos las integrales obtenidas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dt}{\sqrt{t}} & = & 2 \sqrt{t} + \textup{C} \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{sen \, x \, cos ^{3}x}} = 2 \sqrt{tan \, x} + C$

13 $\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}}$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\tan \cfrac{x}{2} = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 2 \, \arctan \, t$

$dx=\cfrac{2dt}{1+t^{2}}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2dt}{1+t^{2}}}{\sqrt{\cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\left ( \cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \right )^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2dt}{1+t^{2}}}{\sqrt{\cfrac{(1-t^{2})(1+t^{2})+(1-t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}} \\\\ & = & 2\int \cfrac{dt}{\sqrt{2-2t^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{2}{\sqrt{2}}\int \cfrac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}} \end{array}$

3Resolvemos las integrales obtenidas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{2}{\sqrt{2}}\int \cfrac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}} & = & \cfrac{2}{\sqrt{2}}\arcsin t+\textup{C} \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}} & = & \sqrt{2} \arcsin \left ( \tan \cfrac{x}{2} \right )+\textup{C}$

14 $\displaystyle \int \cfrac{dx}{2+\cos x}$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\tan \cfrac{x}{2} = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 2 \arctan t$

$dx = \cfrac{2dt}{1+t^{2}}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2 dt}{1 + t^{2}}}{2+\cfrac{1 - t^2}{1 + t^{2}}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2 dt}{1 + t^{2}}}{\cfrac{2 + 2t^{2} + 1 - t^2}{1 + t^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2 dt}{1 + t^{2}}}{\cfrac{3 + t^2}{1 + t^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle 2 \int \cfrac{dt}{3 + t^{2}} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{2}{3} \int \cfrac{dt}{ 1 + \left ( \cfrac{t}{\sqrt{3} \right )^{2}} } \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{2}{3}\cdot \sqrt{3} \int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{3}} \right )^{2}} \, dt \end{array}$

3Resolvemos las integrales obtenidas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{2}{3}\cdot \sqrt{3} \int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{3}} \right )^{2}} \, dt & = & \cfrac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \cfrac{t}{\sqrt{3}} + \textup{C} \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{2+\cos x} = \cfrac{2 \sqrt{3}}{3}\arctan \left ( \cfrac{1}{\sqrt{3}}\tan \cfrac{x}{2} \right )+\textup{C}$

15 $\displaystyle \int \cfrac{dx}{\cos^4 x}$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\tan x = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \arctan t$

$dx = \cfrac{dt}{1+t^{2}}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{\cos^4 x} & = & \displaystyle \int \left ( 1 + t^2 \right )^4 \cdot \cfrac{dt}{1 + t^{2}} \\\\ & = & \displaystyle \int \left ( 1 + t^2 \right ) \, dt \end{array}$

3Resolvemos las integrales obtenidas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( 1 + t^2 \right ) \, dt & = & t + \cfrac{1}{3}t^3 + \textup{C} \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{\cos^4 x} = \tan x + \cfrac{1}{3} \tan^3 x + \textup{C}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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pancracio rodencio de los pilares

Noviembre 2022

En la pagina no deja ver las respuestas, me parece que es un error de vosotros a ver si lo podeis arreglar, mil gracias

Superprof

Diciembre 2022

Hola, Pancracio:
Las soluciones ya aparecen correctamente 🙂

Un saludo

David M

Febrero 2022

Realmente no entiendo por qué en el ejercicio número 7 la respuesta a la fracción parcial es un -2 y no 2, puesto que parece que multipilican el numerador por un -1, pero no le veo el sentido o razón. ¿Alguna ayuda?

Antonio Tapia

Marzo 2022

Podemos escribir $\frac{-1-t}{t(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1}$ o $-1-t=A(t-1)+Bt$ entonces tomas t=0 y t=1, de esta manera encuentras los valores de A=1 y B=-2.

Alexey Collado Pérez

Febrero 2022

Excelente estos ejemplos que ayudan a entender el método de integración por sustitución

Jobanny Morales

Febrero 2022

Excelente! considero que es un privilegio contar con profesionales como ustedes que nos apoyan para transitar con éxito los senderos de las matemáticas. Mil gracias!

José Luis

Mayo 2021

Integrales muy interesantes!

Superprof

Mayo 2021

¡Gracias, José Luís! 🙂

Guadalupe

Enero 2022

Me puede ayudar porfa… Integral de 3t/ Raiz cubica de t^2+2

Heidy

Enero 2022

me ayudan con la siguiente integral por el metodo de sustitucion integral de x sobre raiz de 4+xelevado a dos

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