La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a,b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

 

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\left [G(x) \right ]_{a}^{b}=G(b)-G(a)

 

Ejemplos

 

1 \displaystyle \int_{-2}^{-1}\cfrac{dx}{(x-1)^{3}}

 

\displaystyle \int_{-2}^{-1}\cfrac{dx}{(x-1)^{3}}=\left [ \cfrac{-1}{2(x-1)^{2}} \right ]_{-2}^{-1}=-\cfrac{1}{2}\left [ \cfrac{1}{(-2)^{2}}-\cfrac{1}{(-3)^{2}} \right ]=-\cfrac{5}{72}

 

2 \displaystyle \int_{0}^{3}\cfrac{dx}{\sqrt{1+x}}

 

\displaystyle \int_{0}^{3}\cfrac{dx}{\sqrt{1+x}}=\left [ 2\sqrt{1-x}\, \right ]_{0}^{3}=2(2-1)=2

 

3 \displaystyle \int_{0}^{4}x\sqrt{x^{2}+9}\, dx

 

\displaystyle \int_{0}^{4}x\sqrt{x^{2}+9}\, dx=\cfrac{1}{2}\int_{0}^{4}2x(x^{2}+9)^{\frac{1}{2}}\, dx =\left [ \cfrac{1}{3}(x^{2}+9)^{\frac{3}{2}} \right ]_{0}^{4}

 

=\cfrac{1}{3}\left [ (25)^{\frac{3}{2}}-9^{\frac{3}{2}} \right ]=\cfrac{98}{3}

 

4 \displaystyle \int_{2}^{3}\cfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\, dx

 

\displaystyle \int_{2}^{3}\cfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\, dx=\cfrac{1}{2}\int_{2}^{3}2x(x^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}\, dx=\left [ \sqrt{x^{2}-1} \right ]_{2}^{3}=\sqrt{8}-\sqrt{3}

 

5 \displaystyle \int_{1}^{\sqrt{3}}\cfrac{dx}{1+x^{2}}

 

\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{3}}\cfrac{dx}{1+x^{2}}=\left [ \arctan x \right ]_{1}^{\sqrt{3}}=\arctan \sqrt{3}-\arctan 1=\cfrac{\pi }{3}-\cfrac{\pi }{4}=\cfrac{\pi }{12}

 

6 \displaystyle \int_{0}^{\pi }\sin^{2}x\, dx

 

\displaystyle \int_{0}^{\pi }\sin^{2}x\, dx=\int_{0}^{\pi }\left ( \cfrac{1-\cos^{2}2x}{2} \right )dx=\left [ \cfrac{x}{2}-\cfrac{1}{4}\sin 2x \right ]_{0}^{\pi }=\cfrac{\pi }{2}

 

7 \displaystyle \int_{0}^{\pi }\tan^{2}x\, dx

 

\displaystyle \int_{0}^{\pi }\tan^{2}x\, dx=\int_{0}^{\pi }(sec^{2}x-1)\, dx=\left [ \tan x-x \right ]_{0}^{\pi }=-\pi

 

8 \displaystyle \int_{0}^{\pi }\sin x\, \cos x\, dx

 

\displaystyle \int_{0}^{\pi }\sin x\, \cos x\, dx=\left [ \cfrac{1}{2}\sin^{2}x \right ]_{0}^{\pi }=0

 

9 \displaystyle \int_{2}^{3}\cfrac{dx}{x\ln^{4}x}

 

\displaystyle \int_{2}^{3}\cfrac{dx}{x\ln^{4}x}=\int_{2}^{3}\ln^{-4}\cdot \cfrac{1}{x}\, dx=\left [ -\cfrac{1}{3\ln^{3}x} \right ]_{2}^{3}=-\cfrac{1}{3\ln^{3}3}+\cfrac{1}{3\ln^{3}2}

 

10 \displaystyle \int_{2}^{\frac{\pi }{2}}\sin^{3}x\, dx

 

\displaystyle \int_{2}^{\frac{\pi }{2}}\sin^{3}x\, dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos^{2}x)\sin x\, dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin x-\cos^{2}x\sin x)\, dx

 

=\left [ -\cos x+\cfrac{1}{3}\cos^{3}x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=1-\cfrac{1}{3}=\cfrac{2}{3}

 

11 \displaystyle\int_{0}^{\pi }\cos x\cdot e^{\sin x}dx

 

\displaystyle\int_{0}^{\pi }\cos x\cdot e^{\sin x}dx=\left [ e^{\sin x} \right ]_{0}^{\pi }=e^{0}-e^{0}=0

 

12 \displaystyle \int_{0}^{\pi }x^{2}\cos x\, dx

 

\displaystyle \int x^{2}\cos x\, dx

 

u=x^{2}\; \; \; \; \; \xrightarrow[]{derivar}\; \; \; \; \; {u}'=2x

 

{v}'=\cos x \; \; \; \; \; \xrightarrow[]{integrar}\; \; \; \; \; v=\sin x

 

\displaystyle \int x^{2}\cos x\, dx=x^{2}\sin x-2\int x\sin x\, dx

 

u=x\; \; \; \; \; \xrightarrow[]{derivar}\; \; \; \; \; {u}'=1

 

{v}'=\sin x \; \; \; \; \; \xrightarrow[]{integrar}\; \; \; \; \; v=-\cos x

 

\displaystyle \int x^{2}\cos x\, dx=x^{2}\sin x-2\left ( -x\cos x+\int \cos x\, dx \right )

 

=x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C

 

\displaystyle \int_{0}^{\pi }x^{2}\cos x\, dx=\left [x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x \right ]=-2\pi

 

13 \displaystyle \int_{0}^{4}\cfrac{dx}{1+\sqrt{x}}

 

\begin{matrix} x=t^{2} & & dx=2t\, dt\\ & \\ 4=t^{2} & & t=2\\ & \\ 0=t^{2} & & t=0 \end{matrix}

 

 

\displaystyle \int_{0}^{4}\cfrac{dx}{1+\sqrt{x}}=\int_{0}^{2}\cfrac{2t}{1+t}\, dt=2\int_{0}^{2}\left ( 1-\cfrac{1}{1+t} \right )dt

 

2\left [ t-\ln (1+t) \right ]_{0}^{2}=4-2\ln 3

 

14 \displaystyle \int_{-1}^{1}(\arccos x)^{2}dx

 

\begin{matrix} \arccos x=t & & x=\cos t & & dx=-\sin t\, dt \\ & & & & \\ 1=\cos t & & t=0 & & \\ & & & & \\ -1=\cos t & & t=\pi & & \end{matrix}

 

\displaystyle \int_{-1}^{1}(\arccos x)^{2}dx=-\int_{\pi }^{0}t^{2}\sin t\, dt=\int_{0}^{\pi }t^{2}\sin t\, dt

 

u=t^{2}\; \; \; \; \; \xrightarrow[]{derivar}\; \; \; \; \; {u}'=2t

 

{v}'=\sin t \; \; \; \; \; \xrightarrow[]{integrar}\; \; \; \; \; v=-\cos t

 

\displaystyle \int_{0}^{\pi }t^{2}\sin t\, dt=\left [ -t^{2}\cos t \right ]_{0}^{\pi }+2\int_{0}^{\pi }t\cos t\, dt

 

u=t\; \; \; \; \; \xrightarrow[]{derivar}\; \; \; \; \; {u}'=1

 

{v}'=\cos t \; \; \; \; \; \xrightarrow[]{integrar}\; \; \; \; \; v=\sin t

 

\displaystyle \int_{0}^{\pi }t^{2}\sin t\, dt=\left [ -t^{2}\cos t \right ]_{0}^{\pi }+2\left (\left [ t\sin t \right ]_{0}^{\pi }-\int_{0}^{\pi }\sin t\, dt \right )

 

=\left [ -t^{2}\cos t+2t\sin t+2\cos t \right ]_{0}^{\pi }=(\pi ^{2}-4)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗