Fórmula de la integración por partes
Introducción
A diferencia de las derivadas, no existe una fórmula para poder integrar cualquier producto de funciones.
Lo más cercano que tenemos a una regla para integrar producto de funciones es la integración por partes. Curiosamente, se basa en la fórmula para derivar un producto de funciones.
Sin embargo, la integración por partes transforma una integral de un producto en otra integral. Esta fórmula no funciona para integrar todos los productos de funciones
La fórmula de la integración por partes es
Observemos que tenemos que derivar 
e integrar 
, por lo que será conveniente que la integral de sea sencilla.
En general, las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como . Mientras que las funciones exponenciales, seno y coseno se eligen como .
Deducción de la fórmula
Supongamos que tenemos las funciones 
y 
. Entonces su derivada está dada por
Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos
Luego, si pasamos 
al lado izquierdo, obtenemos
que es la fórmula que buscábamos
Ejercicios propuestos
Tenemos un producto entre la función 
y 
. Como se mencionó anteriormente, en este tipo de casos se elige 
y 
.
Derivamos :
Integramos 
:
De manera que la integral nos queda
Así,
Tenemos un producto entre la función 
y . En este tipo de casos se elige y 
.
Derivamos :
Integramos :
De manera que la integral nos queda
Así,
Tenemos un producto entre la función 
y 
. En general, ambas funciones se suelen tomar como ; sin embargo, en este tipo de casos el logaritmo toma preferencia y se elige 
y 
.
Derivamos (este es el motivo por el que elegimos al logaritmo):
Integramos :
De manera que la integral nos queda
Así,
Tenemos un producto entre la función y 
. De nuevo, en este tipo de casos se elige y 
(la función logaritmo siempre se elige como ).
Derivamos :
Integramos :
De manera que la integral nos queda
Así,
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Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.