Fórmula de la integración por partes

 

Introducción

 

A diferencia de las derivadas, no existe una fórmula para poder integrar cualquier producto de funciones.

 

Lo más cercano que tenemos a una regla para integrar producto de funciones es la integración por partes. Curiosamente, se basa en la fórmula para derivar un producto de funciones.

 

Sin embargo, la integración por partes transforma una integral de un producto en otra integral. Esta fórmula no funciona para integrar todos los productos de funciones

 

La fórmula de la integración por partes es

 

\displaystyle \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx

 

Observemos que tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea sencilla.

 

En general, las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u. Mientras que las funciones exponenciales, seno y coseno se eligen como v'.

 

Deducción de la fórmula

 

Supongamos que tenemos las funciones u(x) y v(x). Entonces su derivada está dada por

 

\displaystyle \left[ u(x) \cdot v(x) \right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

 

Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos

 

    \begin{align*} u(x) \cdot v(x) & = \int{\left[ u(x) \cdot v(x) \right]'}dx\\& = \int{\left( u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \right)}dx\\& = \int{u'(x)v(x)}dx + \int{u(x)v'(x)}dx\end{align*}

 

Luego, si pasamos \int{u'(x)v(x)}dx al lado izquierdo, obtenemos

 

\displaystyle \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx

 

que es la fórmula que buscábamos

 

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Vamos

Ejercicios propuestos

 

1 \displaystyle \int{ x\sin x}dx

 

Tenemos un producto entre la función \sin x y x. Como se mencionó anteriormente, en este tipo de casos se elige u(x) = x y v'(x) = \sin x.

 

Derivamos u(x):

 

\displaystyle u(x) = x \quad \longrightarrow \quad u'(x) = 1

 

Integramos v'(x):

 

\displaystyle v'(x) = \sin x \quad \longrightarrow \quad v(x) = -\cos x

 

De manera que la integral nos queda

 

    \begin{align*} \int{ x\sin x}dx & = -x\cos x - \int{-\cos x \cdot 1}dx\\& = -x\cos x + \int{ \cos x}dx\\& = -x\cos x + \sin x + C\end{align*}

 

Así,

 

\displaystyle \int{ x\sin x}dx = -x\cos x + \sin x + C

 

2 \displaystyle \int xe^x dx

 

Tenemos un producto entre la función e^x y x. En este tipo de casos se elige u(x) = x y v'(x) = e^x.

 

Derivamos u(x):

 

\displaystyle u(x) = x \quad \longrightarrow \quad u'(x) = 1

 

Integramos v'(x):

 

\displaystyle v'(x) = e^x \quad \longrightarrow \quad v(x) = e^x

 

De manera que la integral nos queda

 

    \begin{align*} \int{ xe^x}dx & = xe^x - \int{e^x \cdot 1}dx\\& = xe^x - \int{e^x}dx\\& = xe^x - e^x + C\\& = (x - 1)e^x + C\end{align*}

 

Así,

 

\displaystyle \int{ xe^x}dx = (x - 1)e^x + C

 

3 \displaystyle \int x^2\ln x dx

 

Tenemos un producto entre la función \ln x y x^2. En general, ambas funciones se suelen tomar como u(x); sin embargo, en este tipo de casos el logaritmo toma preferencia y se elige u(x) = \ln x y v'(x) = x^2.

 

Derivamos u(x) (este es el motivo por el que elegimos al logaritmo):

 

\displaystyle u(x) = \ln x \quad \longrightarrow \quad u'(x) = \frac{1}{x}

 

Integramos v'(x):

 

\displaystyle v'(x) = x^2 \quad \longrightarrow \quad v(x) = \frac{1}{3}x^3

 

De manera que la integral nos queda

 

    \begin{align*} \int{ x^2 \ln x}dx & = \frac{1}{3}x^3 \ln x - \int{\frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x}}dx\\& = \frac{1}{3}x^3 \ln x - \frac{1}{3} \int{ x^2 }dx\\& = \frac{1}{3}x^3 \ln x - \frac{1}{9} x^3 + C\\& = \frac{1}{3}x^3\left( \ln x - \frac{1}{3} \right) + C\end{align*}

 

Así,

 

\displaystyle \int{ x^2 \ln x}dx = \frac{1}{3}x^3\left( \ln x - \frac{1}{3} \right) + C

 

4 \displaystyle \int \frac{\ln x}{x^3} dx

 

Tenemos un producto entre la función \ln x y 1/x^3. De nuevo, en este tipo de casos se elige u(x) = \ln x y v'(x) = 1/x^3 (la función logaritmo siempre se elige como u(x)).

 

Derivamos u(x):

 

\displaystyle u(x) = \ln x \quad \longrightarrow \quad u'(x) = \frac{1}{x}

 

Integramos v'(x):

 

\displaystyle v'(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3} \quad \longrightarrow \quad v(x) = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}

 

De manera que la integral nos queda

 

    \begin{align*} \int{ \frac{\ln x}{x^3}}dx & = -\frac{\ln x}{2x^2} - \int{-\frac{1}{2x^2} \cdot \frac{1}{x}}dx\\& = -\frac{\ln x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int{\frac{dx}{x^3}}\\& = -\frac{\ln x}{2x^2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2x^2} + C\\& = -\left( \ln x + \frac{1}{2}\right)\frac{1}{2x^2} + C\end{align*}

 

Así,

 

\displaystyle \int{ \frac{\ln x}{x^3}}dx = -\left( \ln x + \frac{1}{2}\right)\frac{1}{2x^2} + C

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗