Marta

18 julio 2020

 

1{\displaystyle \int x \, cos \, x \, dx}

1Elegimos {u = x, \ \ v' = cos \, x} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = 1 \\\\ v' = cos \, x & \xrightarrow[]{integrar} & v = sen \, x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \, cos \, x \, dx & = & \displaystyle x \, sen \, x - \int sen \, x \, dx \\\\ & = & \displaystyle x \, sen \, x + cos \, x + C \end{array}}

2{\displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx}

1Elegimos {u = e^{3x}, \ \ v' = sen \, 2x} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = e^{3x} & \xrightarrow[]{derivar} & u' = 3 e^{3x} \\\\ v' = sen \, 2x & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle -\frac{1}{2}cos \, 2x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx & = & \displaystyle -\frac{1}{2} e^{3x} cos \, 2x + \frac{3}{2}\int e^{3x} cos \, 2x \, dx \end{array}}

 

3La última integral obtenida se resuelve mediante integración por partes , por ello elegimos {u = e^{3x}, \ \ v' = cos \, 2x} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = e^{3x} & \xrightarrow[]{derivar} & u' = 3 e^{3x} \\\\ v' = cos \, 2x & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{1}{2}sen \, 2x \end{array}}

 

4Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int e^{3x} cos \, 2x \, dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} e^{3x} sen \, 2x - \frac{3}{2}\int e^{3x} sen \, 2x \, dx \end{array}}

 

5Sustituimos el resultado obtenido del paso 4, en el resultado del paso 2 y resolvemos la ecuación resultante

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx & = & \displaystyle -\frac{1}{2} e^{3x} cos \, 2x + \frac{3}{2}\int e^{3x} cos \, 2x \, dx \\\\ \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx & = & \displaystyle -\frac{1}{2} e^{3x} cos \, 2x + \frac{3}{2} \left ( \frac{1}{2} e^{3x} sen \, 2x - \frac{3}{2}\int e^{3x} sen \, 2x \, dx \right ) \\\\ \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx + \frac{9}{4}\int e^{3x} sen \, 2x \, dx & = & \displaystyle -\frac{1}{2} e^{3x} cos \, 2x + \frac{3}{4} e^{3x} sen \, 2x \\\\ \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx & = & \displaystyle \frac{4}{13} \left ( -\frac{1}{2} e^{3x} cos \, 2x + \frac{3}{4} e^{3x} sen \, 2x \right ) + C \\\\ \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx & = & \displaystyle \frac{1}{13} e^{3x} \left ( -2 cos \, 2x + 3 sen \, 2x \right ) + C \end{array}}

3{\displaystyle \int arc \, cotg \, x \, dx}

1Elegimos {u = arc \, cotg \, x, \ \ v' = 1 } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = arc \, cotg \, x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle -\frac{1}{1 + x^2} \\\\ v' = 1 & \xrightarrow[]{integrar} & v = x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int arc \, cotg \, x \, dx & = & \displaystyle x \, arc \, cotg \, x + \int \frac{x}{1 + x^2} dx \\\\ & = & \displaystyle x \, arc \, cotg \, x + \frac{1}{2} \ln \left ( 1 + x^2 \right ) + C \end{array}}

4{\displaystyle \int arc \, cos \, x \, dx}

1Elegimos {u = arc \, cos \, x, \ \ v' = 1 } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = arc \, cos \, x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\\\ v' = 1 & \xrightarrow[]{integrar} & v = x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int arc \, cos \, x \, dx & = & \displaystyle x \, arc \, cos \, x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \\\\ & = & \displaystyle x \, arc \, cos \, x - \sqrt{ 1 - x^2} + C \end{array}}

5{\displaystyle \int \frac{x}{cos^2 x} \, dx}

1Elegimos {u = x, \ \ v' = \displaystyle \frac{1}{cos^2 x} } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = 1 \\\\ v' = \displaystyle \frac{1}{cos^2 x} & \xrightarrow[]{integrar} & v = tg \, x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes considerando {tg \, x = \displaystyle \frac{sen \, x}{cos \, x}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{x}{ cos^2 x} dx & = & \displaystyle x \, tg \, x - \int tg \, x \, dx \\\\ & = & \displaystyle x \, tg \, x - \int \frac{sen \, x}{cos \, x} dx \\\\ & = & \displaystyle x \, tg \, x + \ln (cos \, x) + C \end{array}}

6{\displaystyle \int x^2 \, arc \, tg \, x \, dx}

1Elegimos {u = arc \ tg \, x, \ \ v' = \displaystyle x^2 } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = arc \, tg \, x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{1}{1 + x^2} \\\\ v' = \displaystyle x^2 & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{x^3}{3} \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x^2 \, arc \, tg \, x \, dx & = & \displaystyle \frac{1}{3} x^3 arc \, tg \, x - \frac{1}{3}\int \frac{x^3}{1 + x^2} dx \end{array}}

 

3Realizamos la división del nuevo integrando y obtenemos

{\displaystyle \frac{x^3}{1 + x^2} = x - \frac{x}{1 + x^2}}

 

4Sustituimos en la integral y resolvemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x^2 \, arc \, tg \, x \, dx & = & \displaystyle \frac{1}{3} x^3 arc \, tg \, x - \frac{1}{3}\int \frac{x^3}{1 + x^2} dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{3} x^3 arc \, tg \, x - \frac{1}{3}\int \left ( x - \frac{x}{1 + x^2} \right ) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{3} x^3 arc \, tg \, x - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{6} \ln \left (1 + x^2 \right ) + C \end{array}}

7{\displaystyle \int \ln^2 x \, dx}

1Elegimos {u = \ln^2 x, \ \ v' = 1} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = \ln^2 x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{2}{x} \ln \, x \\\\ v' = 1 & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \ln^2 x \, dx & = & \displaystyle x \, \ln^2 x - 2 \int \ln \, x \, dx \end{array}}

 

3La última integral obtenida se resuelve mediante integración por partes , por ello elegimos {u = \ln \, x, \ \ v' = 1} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = \ln \, x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{1}{x} \\\\ v' = 1 & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle x \end{array}}

 

4Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \ln \, x \, dx & = & \displaystyle x \, \ln \, x - \int 1 \, dx \\\\ & = & x \, \ln \, x - x \end{array}}

 

5Sustituimos el resultado obtenido del paso 4, en el resultado del paso 2

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \ln^2 x \, dx & = & \displaystyle x \, \ln^2 x - 2 \int \ln \, x \, dx \\\\ & = & \displaystyle x \, \ln^2 x - 2 (x \, \ln \, x - x) + C \\\\ & = & \displaystyle x \, \ln^2 x - 2 x \, \ln \, x + 2x + C \end{array}}

8{\displaystyle \int \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} dx}

1Elegimos {u = x^3 + 5x^2 - 2, \ \ v' = e^{2x}} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = x^3 + 5x^2 - 2 & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle 3x^2 + 10x \\\\ v' = e^{2x} & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \int \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} dx \end{array}}

 

3La última integral obtenida se resuelve mediante integración por partes , por ello elegimos {u = 3x^2 + 10x, \ \ v' = e^{2x}} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = 3x^2 + 10x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle 6x + 10 \\\\ v' = e^{2x} & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \end{array}}

 

4Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \int \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} dx \end{array}}

 

5La última integral obtenida se resuelve mediante integración por partes , por ello elegimos {u = 6x + 10, \ \ v' = e^{2x}} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = 6x + 10 & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle 6 \\\\ v' = e^{2x} & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \end{array}}

 

6Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} - 3 \int e^{2x} dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} - \frac{3}{2} e^{2x} \end{array}}

 

7Sustituimos el resultado obtenido del paso 6, en el resultado del paso 4

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \int \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} - \frac{3}{2} e^{2x} \right ) \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{4} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} + \frac{3}{4} e^{2x} \end{array}}

 

8Sustituimos el resultado obtenido del paso 7, en el resultado del paso 2

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \int \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{4} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} + \frac{3}{4} e^{2x} \right ) + C \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{4} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} + \frac{1}{8} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} - \frac{3}{8} e^{2x} \right ) + C \\\\ & = & \displaystyle \left ( \frac{1}{2} x^3 + \frac{7}{4} x^2 - \frac{7}{4} x - \frac{1}{8} \right ) \, e^{2x} + C \end{array}}

9{\displaystyle \int sen \, x \, \ln (cos \, x) \, dx}

1Elegimos {u = \ln (cos \, x), \ \ v' = \displaystyle sen \, x } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = \ln (cos \, x) & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{-sen \, x}{cos \, x} \\\\ v' = \displaystyle sen \, x & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle -cos \, x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen \, x \, \ln (cos \, x) \, dx & = & \displaystyle -cos \, x \ln (cos \, x) - \int sen \, x \, dx \\\\ & = & \displaystyle -cos \, x \ln (cos \, x) + cos \, x + C \end{array}}

10{\displaystyle \int \frac{\ln x}{x^3} dx}

1Elegimos {u = \ln x, \ \ v' = \displaystyle \frac{1}{x^3} } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = \ln x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{1}{x} \\\\ v' = \displaystyle \frac{1}{x^3} & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle -\frac{1}{2x^2} \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{\ln x}{x^3} dx & = & \displaystyle -\frac{1}{2x^2} \ln x + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^3} dx \\\\ & = & \displaystyle -\frac{1}{2x^2} \ln x - \frac{1}{4x^2} + C \end{array}}

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,59/5 - 22 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗