1{\displaystyle \int x \, cos \, x \, dx}

1Elegimos {u = x, \ \ v' = cos \, x} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = 1 \\\\  v' = cos \, x & \xrightarrow[]{integrar} & v = sen \, x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \, cos \, x \, dx & = & \displaystyle x \, sen \, x - \int sen \, x \, dx \\\\  & = & \displaystyle x \, sen \, x + cos \, x + C \end{array}}

2{\displaystyle \int e^{3x}  sen \, 2x \, dx}

1Elegimos {u = e^{3x}, \ \ v' = sen \, 2x} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = e^{3x} & \xrightarrow[]{derivar} & u' = 3 e^{3x} \\\\ v' = sen \, 2x  & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle -\frac{1}{2}cos \, 2x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int e^{3x}  sen \, 2x \, dx & = & \displaystyle -\frac{1}{2} e^{3x}  cos \, 2x + \frac{3}{2}\int e^{3x} cos \, 2x \, dx  \end{array}}

 

3La última integral obtenida se resuelve mediante integración por partes , por ello elegimos {u = e^{3x}, \ \ v' = cos \, 2x} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = e^{3x} & \xrightarrow[]{derivar} & u' = 3 e^{3x} \\\\ v' = cos \, 2x & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{1}{2}sen \, 2x \end{array}}

 

4Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int e^{3x} cos \, 2x \, dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} e^{3x} sen \, 2x - \frac{3}{2}\int e^{3x} sen \, 2x \, dx \end{array}}

 

5Sustituimos el resultado obtenido del paso 4, en el resultado del paso 2 y resolvemos la ecuación resultante

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx & = & \displaystyle -\frac{1}{2} e^{3x} cos \, 2x + \frac{3}{2}\int e^{3x} cos \, 2x \, dx  \\\\  \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx & = & \displaystyle -\frac{1}{2} e^{3x} cos \, 2x + \frac{3}{2} \left ( \frac{1}{2} e^{3x} sen \, 2x - \frac{3}{2}\int e^{3x} sen \, 2x \, dx \right ) \\\\ \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx + \frac{9}{4}\int e^{3x} sen \, 2x \, dx & = &  \displaystyle -\frac{1}{2} e^{3x} cos \, 2x + \frac{3}{4} e^{3x} sen \, 2x \\\\ \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx  & = &  \displaystyle \frac{4}{13} \left ( -\frac{1}{2} e^{3x} cos \, 2x + \frac{3}{4} e^{3x} sen \, 2x \right ) + C \\\\ \displaystyle \int e^{3x} sen \, 2x \, dx  & = &  \displaystyle \frac{1}{13} e^{3x} \left ( -2 cos \, 2x + 3  sen \, 2x \right ) + C  \end{array}}

3{\displaystyle \int arc \, cotg \, x \, dx}

1Elegimos {u = arc \, cotg \, x, \ \ v' = 1 } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = arc \, cotg \, x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle -\frac{1}{1 + x^2} \\\\ v' = 1 & \xrightarrow[]{integrar} & v = x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int arc \, cotg \, x \, dx & = & \displaystyle x \, arc \, cotg \, x + \int \frac{x}{1 + x^2} dx \\\\ & = & \displaystyle x \, arc \, cotg \, x + \frac{1}{2} \ln \left ( 1 + x^2 \right ) + C \end{array}}

4{\displaystyle \int arc \, cos \, x \, dx}

1Elegimos {u = arc \, cos \, x, \ \ v' = 1 } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = arc \, cos \, x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\\\ v' = 1 & \xrightarrow[]{integrar} & v = x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int arc \, cos \, x \, dx & = & \displaystyle x \, arc \, cos \, x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \\\\ & = & \displaystyle x \, arc \, cos \, x - \sqrt{ 1 - x^2} + C \end{array}}

5{\displaystyle \int \frac{x}{cos^2  x} \, dx}

1Elegimos {u = x, \ \ v' = \displaystyle \frac{1}{cos^2 x} } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = 1 \\\\ v' = \displaystyle \frac{1}{cos^2 x} & \xrightarrow[]{integrar} & v = tg \, x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes considerando {tg \, x = \displaystyle \frac{sen \, x}{cos \, x}}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{x}{ cos^2 x} dx & = & \displaystyle x \, tg \, x - \int tg \, x \, dx \\\\  & = & \displaystyle x \, tg \, x - \int \frac{sen \, x}{cos \, x} dx \\\\ & = & \displaystyle x \, tg \, x + \ln (cos \, x) + C \end{array}}

6{\displaystyle \int x^2 \, arc \, tg \, x \, dx}

1Elegimos {u = arc \ tg \,  x, \ \ v' = \displaystyle x^2 } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = arc \, tg \, x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{1}{1 + x^2} \\\\ v' = \displaystyle x^2 & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{x^3}{3} \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x^2 \, arc \, tg \, x \, dx & = & \displaystyle \frac{1}{3} x^3 arc \, tg \, x - \frac{1}{3}\int \frac{x^3}{1 + x^2} dx  \end{array}}

 

3Realizamos la división del nuevo integrando y obtenemos

{\displaystyle \frac{x^3}{1 + x^2} = x - \frac{x}{1 + x^2}}

 

4Sustituimos en la integral y resolvemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x^2 \, arc \, tg \, x \, dx & = & \displaystyle \frac{1}{3} x^3 arc \, tg \, x - \frac{1}{3}\int \frac{x^3}{1 + x^2} dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{3} x^3 arc \, tg \, x - \frac{1}{3}\int \left ( x - \frac{x}{1 + x^2} \right ) \, dx \\\\  & = & \displaystyle \frac{1}{3} x^3 arc \, tg \, x - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{6} \ln \left (1 + x^2 \right ) + C \end{array}}

7{\displaystyle \int \ln^2 x \, dx}

1Elegimos {u = \ln^2 x, \ \ v' = 1} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = \ln^2 x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{2}{x} \ln \, x \\\\ v' = 1 & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \ln^2 x \, dx & = & \displaystyle x \, \ln^2 x - 2 \int \ln \, x \, dx \end{array}}

 

3La última integral obtenida se resuelve mediante integración por partes , por ello elegimos {u = \ln \, x, \ \ v' = 1} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = \ln \, x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{1}{x} \\\\ v' = 1 & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle x \end{array}}

 

4Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \ln \, x \, dx & = & \displaystyle x \, \ln \, x - \int 1 \, dx \\\\ & = & x \, \ln \, x - x \end{array}}

 

5Sustituimos el resultado obtenido del paso 4, en el resultado del paso 2

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \ln^2 x \, dx & = & \displaystyle x \, \ln^2 x - 2 \int \ln \, x \, dx \\\\ & = & \displaystyle x \, \ln^2 x - 2 (x \, \ln \, x - x) + C \\\\  & = & \displaystyle x \, \ln^2 x - 2 x \, \ln \, x + 2x + C  \end{array}}

8{\displaystyle \int \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} dx}

1Elegimos {u = x^3 + 5x^2 - 2, \ \ v' = e^{2x}} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = x^3 + 5x^2 - 2 & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle 3x^2 + 10x \\\\ v' = e^{2x} & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \int \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} dx \end{array}}

 

3La última integral obtenida se resuelve mediante integración por partes , por ello elegimos {u = 3x^2 + 10x, \ \ v' = e^{2x}} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = 3x^2 + 10x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle 6x + 10 \\\\ v' = e^{2x} & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \end{array}}

 

4Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \int \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} dx \end{array}}

 

5La última integral obtenida se resuelve mediante integración por partes , por ello elegimos {u = 6x + 10, \ \ v' = e^{2x}} y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = 6x + 10 & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle 6 \\\\ v' = e^{2x} & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \end{array}}

 

6Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} - 3 \int e^{2x} dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} - \frac{3}{2} e^{2x} \end{array}}

 

7Sustituimos el resultado obtenido del paso 6, en el resultado del paso 4

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \int \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} - \frac{3}{2} e^{2x} \right ) \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{4} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} + \frac{3}{4} e^{2x} \end{array}}

 

8Sustituimos el resultado obtenido del paso 7, en el resultado del paso 2

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} dx & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \int \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{4} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} + \frac{3}{4} e^{2x} \right ) + C \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left ( x^3 + 5x^2 - 2 \right ) \, e^{2x} - \frac{1}{4} \left ( 3x^2 + 10x \right ) \, e^{2x} + \frac{1}{8} \left ( 6x + 10 \right ) \, e^{2x} - \frac{3}{8} e^{2x} \right ) + C  \\\\  & = &   \displaystyle \left ( \frac{1}{2} x^3 + \frac{7}{4} x^2 - \frac{7}{4} x - \frac{1}{8} \right ) \, e^{2x} + C \end{array}}

9{\displaystyle \int sen \, x \, \ln (cos \, x) \, dx}

1Elegimos {u = \ln (cos \, x), \ \ v' = \displaystyle sen \, x } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = \ln (cos \, x) & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{-sen \, x}{cos \, x} \\\\ v' = \displaystyle sen \, x & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle -cos \, x \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen \, x \, \ln (cos \, x) \, dx & = & \displaystyle -cos \, x \ln (cos \, x) - \int sen \, x \, dx \\\\  & = & \displaystyle -cos \, x \ln (cos \, x) + cos \, x + C  \end{array}}

10{\displaystyle \int \frac{\ln x}{x^3} dx}

1Elegimos {u = \ln x, \ \ v' = \displaystyle \frac{1}{x^3} } y calculamos {u'} y {v}

 

{\begin{array}{rcl} u = \ln x & \xrightarrow[]{derivar} & u' = \displaystyle \frac{1}{x} \\\\ v' = \displaystyle \frac{1}{x^3} & \xrightarrow[]{integrar} & v = \displaystyle  -\frac{1}{2x^2} \end{array}}

 

2Sustituimos los valores de {u'} y {v} en la fórmula de integración por partes

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{\ln x}{x^3} dx & = & \displaystyle -\frac{1}{2x^2} \ln x + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^3} dx \\\\ & = & \displaystyle -\frac{1}{2x^2} \ln x - \frac{1}{4x^2} + C \end{array}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗