Integrales de tipo exponencial

 

Las integrales de funciones exponenciales son de la siguiente forma:

1 {\int a^xdx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C}

2 {\int e^x dx = e^x + C}

Recuerda que una función potencia es de la forma {a^x}, es decir, una base constante y un exponente, como se muestra en la fórmula número 1 y la fórmula número dos es un caso particular donde nuestra base es el número {e}.

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Vamos

Ejercicios propuestos de integrales de tipo exponencial

 

1 {\int \dfrac{2^x}{3^x}dx}

Como primer paso tenemos que hacer que nuestra expresión tenga un único exponente para poder aplicar la fórmula de la exponencial.

{\int \frac{2^x}{3^x}dx = \int \left( \frac{2}{3} \right)^xdx = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^x}{\ln \left( \frac{2}{3} \right)} + C}


2 {\int x e^{x^2}dx}

Comenzamos con un cambio de variable {u = x^2 \quad du = 2xdx} y luego aplicamos la integral exponencial.

{\int x e^{x^2}dx = \frac{1}{2}\int 2xe^{x^2}dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C}


3 {\int e^{\sin^2x}sen2xdx}

Comenzamos con un cambio de variable {u = \sin^2x \quad du = 2\sin x\cos xdx}, la identidad trigonométrica {\sin(2x) = 2 \sin x \cos x} y luego aplicamos la integral exponencial.

{\int e^{\sin^2x}\sin 2xdx = \int e^{\sin^2x}2\sin x \cos x dx = e^{sen^2 x} + C}


4 {\int \dfrac{e^{tg x}}{\cos^2x}dx}

Comenzamos con un cambio de variable {u = tg x \quad du = sec^2xdx}, la identidad trigonométrica {\dfrac{1}{\cos^2x} = sec^2x} y luego aplicamos la integral exponencial.

{\int \dfrac{e^{tg x}}{\cos^2x}dx = e^{tg x} + C}


5 {\int \dfrac{5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}

Comenzamos con un cambio de variable {u = \sqrt{x} \quad du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}} y luego aplicamos la integral exponencial.

{\int \dfrac{5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx = 2\int \dfrac{1}{2\sqrt{x}}5^{\sqrt{x}}dx = \dfrac{2}{\ln 5} 5^{\sqrt{x}} + C}


6 {\int \cos 5x e^{\sin 5x}dx}

Comenzamos con un cambio de variable {u = \sin 5x \quad du = 5\cos 5xdx} y luego aplicamos la integral exponencial.

{\int \cos 5x e^{\sin 5x}dx = \frac{1}{5} \int 5\cos 5x e^{\sin 5x} dx = \frac{1}{5} e^{\sin 5x} + C}


7 {\int cot x e^{\ln \sin x}dx}

Comenzamos con un cambio de variable{u = \ln \sin x \quad du = \dfrac{\cos x}{\sin x} = cot x} y luego aplicamos la integral exponencial.

{\int cot x e^{\ln \sin x}dx = e^{\ln \sin x} + C}


8 {\int \dfrac{x}{x^2 + 2} 7^{\ln (x^2 + 2)} dx}

Comenzamos con un cambio de variable {u = \ln(x^2 + 2) \quad du = \frac{2x}{x^2 + 2}dx} y luego aplicamos la integral exponencial.

{\int \dfrac{x}{x^2 + 2} 7^{\ln (x^2 + 2)} dx = \frac{1}{2} \int \dfrac{2x}{x^2 + 2} 7^{\ln(x^2 + 2)} = \dfrac{1}{2\ln 7} 7^{\ln (x^2 + 2)} + C}


9 {\int \dfrac{e^{-2x} + e^{2x}}{2}dx}

Separamos las integrales y sacamos de la integral los valores constantes.

{\int \dfrac{e^{-2x} + e^{2x}}{2}dx = \frac{1}{2}\int e^{-2x}dx + \frac{1}{2}\int e^{2x}dx}

Hacemos los respectivos cambios de variables {u = -2x \quad du = -2dx} y {v=2x \quad dv = 2dx}, luego aplicamos la fórmula de la integral exponencial.

{= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \int e^{-2x}(-2)dx + \frac{1}{2} \int e^{2x}(2)dx \right)= -\frac{1}{4}e^{-2x} + \frac{1}{4}e^{2x} + C}


10 {\int \dfrac{4^x + 5\cdot 16^x}{1 + 16^x}dx}

Buscamos tener mismas bases, es decir {16^x = 4^{4x}} y posteriormente separamos las integrales

{\int \dfrac{4^x + 5\cdot 16^x}{1 + 16^x}dx = \int \dfrac{4^x + 5\cdot 4^{2x}}{1 + 4^{2x}}dx = \int \dfrac{4^x}{1 + (4^x)^2}dx + 5 \int \dfrac{4^{2x}}{1+ 4^{2x}}dx =}

{\dfrac{1}{\ln 4} arctg (4^x) + \dfrac{5}{2 \ln 4} \ln (1 + 4^{2x}) + C}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗