Resolver las siguientes integrales de tipo potencial:

 

 

1 \displaystyle \int \cfrac{1}{x^2 \sqrt[5]{x^2}} \, dx

1 Escribimos el denominador como potencias

 

\displaystyle \int \cfrac{1}{x^2 \sqrt[5]{x^2}} \, dx = \int \cfrac{1}{x^2 \cdot x^{2/5}} \, dx

 

2 Escribimos sin denominadores

 

\displaystyle \int \cfrac{1}{x^2 \cdot x^{2/5}} \, dx = \int x^{-2} \cdot x^{-2/5} dx

 

3 Realizamos la multiplicación

 

\displaystyle \int x^{-2} \cdot x^{-2/5} dx = \int x^{-12/5} dx

 

4 Resolvemos la integral

 

\displaystyle \int x^{-12/5} dx = \cfrac{x^{-7/5}}{-\cfrac{7}{5}} + C

 

5 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \cfrac{1}{x^2 \sqrt[5]{x^7}} \, dx = - \cfrac{5}{7x \sqrt[5]{x^2}} + C

 

 

2 \displaystyle \int (x^4 - 6x^2 - 2x + 4) \, dx

1 Escribimos la integral como suma de integrales

 

\displaystyle \int (x^4 - 6x^2 - 2x + 4) \, dx = \int x^4 dx - 6 \int x^2 dx - 2 \int x \, dx + 4 \int dx

 

2 Resolvemos cada una de las integrales

 

\displaystyle \int x^4 dx - 6 \int x^2 dx - 2 \int x \, dx + 4 \int dx = \cfrac{x^5}{5} - 6 \cdot \cfrac{x^3}{3} - 2 \cdot \cfrac{x^2}{2} + 4x + C

 

3 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int (x^4 - 6x^2 - 2x + 4) \, dx = \cfrac{x^5}{5} - 2x^3 - x^2 + 4x + C

 

 

3 \displaystyle \int \left(3 \sqrt{x} + \cfrac{10}{x^6} \right) \, dx

1 Escribimos el integrando como potencias

 

\displaystyle \int \left(3 \sqrt{x} + \cfrac{10}{x^6} \right) \, dx = \displaystyle \int \left(3 x^{1/2} + \cfrac{10}{x^6} \right) \, dx

 

2 Escribimos sin denominadores

 

\displaystyle \int \left(3 x^{1/2} + \cfrac{10}{x^6} \right) \, dx = \int \left( 3 x^{1/2} + 10 x^{-6} \right) \, dx

 

3 Aplicamos la propiedad de integral de una suma

 

\displaystyle \int \left( 3 x^{1/2} + 10 x^{-6} \right) \, dx = 3 \int x^{1/2} dx + 10 \int x^{-6} dx

 

4 Resolvemos la integral

 

\displaystyle 3 \int x^{1/2} dx + 10 \int x^{-6} dx = 3 \cdot \cfrac{x^{3/2}}{\cfrac{3}{2}} + 10 \cdot \cfrac{x^{-5}}{-5} C

 

5 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \left(3 \sqrt{x} + \cfrac{10}{x^6} \right) \, dx = 2x \sqrt{x}} - \cfrac{2}{x^5} + C

 

 

4 \displaystyle \int \cfrac{x^2 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}} \, dx

1 Escribimos el integrando como potencias

 

\displaystyle \int \cfrac{x^2 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}} \, dx = \displaystyle \int \cfrac{x^2 + x^{2/3}}{x^{1/2}} \, dx

 

2 Escribimos el integrando como suma de fracciones

 

\displaystyle \int \cfrac{x^2 + x^{2/3}}{x^{1/2}} \, dx = \displaystyle \int \left( \cfrac{x^2}{x^{1/2}} + \cfrac{x^{2/3}}{x^{1/2}} \right) \, dx

 

3 Simplificamos el integrando

 

\displaystyle \int \left( \cfrac{x^2}{x^{1/2}} + \cfrac{x^{2/3}}{x^{1/2}} \right) \, dx = \displaystyle \int \left( x^{3/2} + x^{1/6} \right) \, dx

 

4 Aplicamos la propiedad de integral de una suma

 

\displaystyle \int \left( x^{3/2} + x^{1/6} \right) \, dx = \int x^{3/2} dx + \int x^{1/6} dx

 

5 Resolvemos la integral

 

\displaystyle \int x^{3/2} dx + \int x^{1/6} dx = \cfrac{x^{5/2}}{\cfrac{5}{2}} + \cfrac{x^{7/6}}{\cfrac{7}{6}} + C

 

6 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \cfrac{x^2 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}} \, dx = \cfrac{2 x^2 \sqrt{x}}{5} + \cfrac{6x \sqrt[6]{x}}{7} + C

 

 

5 \displaystyle \int \left( \sqrt{5x} + \sqrt{\cfrac{5}{x}} \right) \, dx

1 Escribimos el integrando como potencias

 

\displaystyle \int \left( \sqrt{5x} + \sqrt{\cfrac{5}{x}} \right) \, dx = \displaystyle \int \left( 5^{1/2}x^{1/2} + \cfrac{5^{1/2}}{x^{1/2}} \right) \, dx

 

2 Escribimos sin denominadores

 

\displaystyle \int \left( 5^{1/2}x^{1/2} + \cfrac{5^{1/2}}{x^{1/2}} \right) \, dx = \int \left( 5^{1/2}x^{1/2} + 5^{1/2}x^{-1/2} \right) \, dx

 

3 Aplicamos la propiedad de integral de una suma

 

\displaystyle \int \left( 5^{1/2}x^{1/2} + 5^{1/2}x^{-1/2} \right) \, dx = 5^{1/2} \int x^{1/2} dx + 5^{1/2} \int x^{-1/2} dx

 

4 Resolvemos la integral

 

\displaystyle 5^{1/2} \int x^{1/2} dx + 5^{1/2} \int x^{-1/2} dx = 5^{1/2} \cdot \cfrac{x^{3/2}}{\cfrac{3}{2}} + 5^{1/2} \cdot \cfrac{x^{1/2}}{\cfrac{1}{2}} + C

 

5 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \left( \sqrt{5x} + \sqrt{\cfrac{5}{x}} \right) \, dx = \cfrac{2x \sqrt{5x}}{3} + 2\sqrt{{5x}} + C

 

 

6 \displaystyle \int \cfrac{3 \sqrt{x} - 5 \sqrt[3]{x^2}}{2 \sqrt[4]{x}} \, dx

1 Escribimos el integrando como potencias

 

\displaystyle \int \cfrac{3 \sqrt{x} - 5 \sqrt[3]{x^2}}{2 \sqrt[4]{x}} \, dx = \displaystyle \int \cfrac{3x^{1/2} - 5 x^{2/3}}{2 x^{1/4}} \, dx

 

2 Escribimos el integrando como suma de fracciones

 

\displaystyle \int \cfrac{3x^{1/2} - 5 x^{2/3}}{2 x^{1/4}} \, dx = \displaystyle \int \left( \cfrac{3x^{1/2}}{2x^{1/4}} - 5 \cfrac{x^{2/3}}{2x^{1/4}} \right) \, dx

 

3 Simplificamos el integrando

 

\displaystyle \int \left( \cfrac{3x^{1/2}}{2x^{1/4}} - 5 \cfrac{x^{2/3}}{2x^{1/4}} \right) \, dx = \displaystyle \int \left( \cfrac{3x^{1/4}}{2} - \cfrac{5x^{5/12}}{2} \right) \, dx

 

4 Aplicamos la propiedad de integral de una suma

 

\displaystyle \int \left( \cfrac{3x^{1/4}}{2} - \cfrac{5x^{5/12}}{2} \right) \, dx = \cfrac{3}{2}\int x^{1/4} dx - \cfrac{5}{2}\int x^{5/12} dx

 

5 Resolvemos la integral

 

\displaystyle \cfrac{3}{2}\int x^{1/4} dx - \cfrac{5}{2}\int x^{5/12} dx = \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{x^{5/4}}{\cfrac{5}{4}} - \cfrac{5}{2} \cdot \cfrac{x^{17/12}}{\cfrac{17}{12}} + C

 

6 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \cfrac{3 \sqrt{x} - 5 \sqrt[3]{x^2}}{2 \sqrt[4]{x}} \, dx = \cfrac{6 x \sqrt[4]{x}}{5} - \cfrac{30x \sqrt[12]{x^5}}{17} + C

 

 

7 \displaystyle \int sen \, x \cdot cos \, x \, dx

1 Aplicamos la fórmula de integral de una función potencial haciendo u = sen \, x

 

2 Calculamos su derivada u' = cos \, x

 

3 Calculamos la integral y obtenemos

 

\displaystyle \int sen \, x \cdot cos \, x \, dx = \cfrac{sen^2 x}{2} + C

 

 

8 \displaystyle \int sen^2 \, \left( \cfrac{x}{2}\right) \cdot cos \, \left(\cfrac{x}{2}\right) \, dx

1 Aplicamos la fórmula de integral de una función potencial haciendo u = sen \, \left(\cfrac{x}{2}\right)

 

2 Calculamos su derivada u' = \cfrac{1}{2}cos \, \left(\cfrac{x}{2}\right)

 

3 Multiplicamos y dividimos por 2 el integrando, luego sacamos la constante 2

 

\displaystyle \int sen^2 \, \left(\cfrac{x}{2}\right) \cdot \cfrac{2}{2} \cdot cos \, \left(\cfrac{x}{2}\right) \, dx = 2 \int sen^2 \, \left(\cfrac{x}{2}\right) \cdot \cfrac{1}{2} \cdot cos \, \left(\cfrac{x}{2}\right) \, dx

 

4 Calculamos la integral y obtenemos

 

\displaystyle \int sen^2 \, \left(\cfrac{x}{2}\right) \cdot cos \, \left(\cfrac{x}{2}\right) \, dx = \cfrac{2}{3} \cdot sen^3 \left(\cfrac{x}{2} \right) + C

 

 

9 \displaystyle \int \left( tg^3 x + tg^5 x \right) \, dx

1 Factorizamos el integrando

 

\displaystyle \int \left( tg^3 x + tg^5 x \right) \, dx = \int tg^3 x \left( 1 + tg^2 x \right) \, dx

 

2 Empleamos la identidad sec^2 x = 1 + tg^2 x

 

\displaystyle \int tg^3 x \left( 1 + tg^2 x \right) \, dx = \int tg^3 x \cdot sec^2 x \, dx

 

3 Tomamos u = tg \, x y calculamos su derivada u' = sec^2 x

 

4 Calculamos la integral y obtenemos

 

\displaystyle \int \left( tg^3 x + tg^5 x \right) \, dx = \cfrac{1}{4} \cdot tg^4 x + C

 

 

10 \displaystyle \int sec^2 x \sqrt{tg \, x} \, dx

1 Expresamos en notación exponencial

 

\displaystyle \int sec^2 x \sqrt{tg \, x} \, dx = \int sec^2 x \cdot tg^{1/2} x \, dx

 

2 Tomamos u = tg \, x y calculamos su derivada u' = sec^2 x

 

3 Calculamos la integral

 

\displaystyle \int sec^2 x \cdot tg^{1/2} x \, dx = \cfrac{tg^{3/2} x}{\cfrac{3}{2}} + C

 

4 Simplificando obtenemos

 

\displaystyle \int sec^2 x \sqrt{tg \, x} \, dx = \cfrac{2}{3} \cdot \sqrt{tg^3 x} + C

 

 

11 \displaystyle \int cotg \, x \sqrt{\ln sen \, x} \, dx

1 Expresamos en notación exponencial

 

\displaystyle \int cotg \, x \sqrt{\ln sen \, x} \, dx = \int cotg \, x \cdot \ln^{1/2} sen \, x \, dx

 

2 Tomamos u = \ln sen \, x y calculamos su derivada u' = cotg \, x

 

3 Calculamos la integral

 

\displaystyle \int cotg \, x \cdot \ln^{1/2} sen \, x \, dx = \cfrac{\ln^{3/2} sen \, x}{\cfrac{3}{2}} + C

 

4 Simplificando obtenemos

 

\displaystyle \int cotg \, x \sqrt{\ln sen \, x} \, dx = \cfrac{2}{3} \cdot \sqrt{\ln^3 sen \, x} + C

 

 

12 \displaystyle \int \cfrac{sen \, 3x}{\sqrt{2 + cos \, 3x}} \, dx

1 Expresamos en notación exponencial

 

\displaystyle \int \cfrac{sen \, 3x}{\sqrt{2 + cos \, 3x}} \, dx = \int sen \, 3x \cdot (2 + cos \, 3x)^{-1/2} \, dx

 

2 Tomamos u = 2 + cos \, 3x y calculamos su derivada u' = - sen \, 3x

 

3 Multiplicamos y dividimos el integrando por -3

 

\displaystyle \int sen \, 3x \cdot (2 + cos \, 3x)^{-1/2} \, dx = -\cfrac{1}{3}\int (-3) \cdot sen \, 3x \cdot (2 + cos \, 3x)^{-1/2} \, dx

 

4 Calculamos la integral

 

\displaystyle -\cfrac{1}{3}\int (-3) \cdot sen \, 3x \cdot (2 + cos \, 3x)^{-1/2} \, dx = -\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{(2 + cos \, 3x)^{1/2}}{\cfrac{1}{2}} + C

5 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \cfrac{sen \, 3x}{\sqrt{2 + cos \, 3x}} \, dx = -\cfrac{2}{3} \cdot \sqrt{2 + cos \, 3x} + C

 

13 \displaystyle \int \left(\cfrac{sec \, x}{1 + tg \, x}\right)^2 \, dx

1 Expresamos en notación exponencial

 

\displaystyle \int \left(\cfrac{sec \, x}{1 + tg \, x}\right)^2 \, dx = \int sec^2 \, x \cdot (1 + tg \, x)^{-2} \, dx

 

2 Tomamos u = 1 + tg \, x y calculamos su derivada u' = sec^2 \, x

 

3 Calculamos la integral

 

\displaystyle \int sec^2 \, x \cdot (1 + tg \, x)^{-2} \, dx = \cfrac{(1 + tg \, x)^{-1}}{-1} + C

4 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \left(\cfrac{sec \, x}{1 + tg \, x}\right)^2 \, dx = -\cfrac{1}{1 + tg \, x} + C

 

14 \displaystyle \int cos \, x \sqrt{sen \, x} \, dx

1 Expresamos en notación exponencial

 

\displaystyle \int cos \, x \sqrt{sen \, x} \, dx = \int cos \, x \cdot sen^{1/2} x \, dx

 

2 Tomamos u = sen \, x y calculamos su derivada u' = cos \, x

 

3 Calculamos la integral

 

\displaystyle \int cos \, x \cdot sen^{1/2} x \, dx = \cfrac{sen^{3/2} x}{\cfrac{3}{2}} + C

 

4 Simplificando obtenemos

 

\displaystyle \int cos \, x \sqrt{sen \, x} \, dx = \cfrac{2}{3} \cdot \sqrt{sen^3 x} + C

 

 

15 \displaystyle \int sec^3 x \cdot tg \, x \, dx

1 Expresamos como siguel

 

\displaystyle \int sec^3 x \cdot tg \, x \, dx = \int sec^2 x \cdot sec \, x \cdot tg \, x \, dx

 

2 Tomamos u = sec \, x y calculamos su derivada u' = sec \, x \cdot tg \, x

 

3 Calculamos la integral

 

\displaystyle \int sec^2 x \cdot sec \, x \cdot tg \, x \, dx = \cfrac{sec^{3} x}{3}} + C

 

4 La integral buscada es

 

\displaystyle \int sec^3 x \cdot tg \, x \, dx = \cfrac{1}{3} \cdot sec^3 x + C

 

 

16 \displaystyle \int \cfrac{dx}{x (1 + \ln x)^3}

1 Expresamos en notación exponencial y escribimos el integrando

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{x (1 + \ln x)^3} = \int (1 + \ln x)^{-3} \cdot \cfrac{1}{x} \, dx

 

2 Tomamos u = 1 + \ln x y calculamos su derivada u' = \cfrac{1}{x}

 

3 Calculamos la integral

 

\displaystyle \int (1 + \ln x)^{-3} \cdot \cfrac{1}{x} \, dx = \cfrac{(1 + \ln x)^{-2}}{-2} + C

4 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{x (1 + \ln x)^3} = -\cfrac{1}{2(1 + \ln x)^2} + C

 

17 \displaystyle \int \sqrt{x \sqrt{x}} \, dx

1 Escribimos como potencias

 

\displaystyle \int \sqrt{x \sqrt{x}} \, dx = \int \left(x \cdot x^{1/2} \right)^{1/2} \, dx

 

2 Aplicamos las leyes de los exponentes

 

\displaystyle \int \left(x \cdot x^{1/2} \right)^{1/2} \, dx = \int x^{3/4} dx

 

3 Resolvemos la integral

 

\displaystyle \int x^{3/4} dx = \cfrac{x^{7/4}}{\cfrac{7}{4}} + C

 

4 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \sqrt{x \sqrt{x}} \, dx = \cfrac{4x \sqrt[4]{x^3}}{7} + C

 

 

18 \displaystyle \int \sqrt[3]{x \sqrt{\cfrac{2}{x}}} \, dx

1 Escribimos como potencias

 

\displaystyle \int \sqrt[3]{x \sqrt{\cfrac{2}{x}}} \, dx = \int \left(x \cdot \left( \cfrac{2}{x} \right)^{1/2} \right)^{1/3} \, dx

 

2 Aplicamos las leyes de los exponentes

 

\displaystyle \int \left(x \cdot \left( \cfrac{2}{x} \right)^{1/2} \right)^{1/3} \, dx = 2^{1/6} \int x^{1/6} dx

 

3 Resolvemos la integral

 

\displaystyle 2^{1/6} \int x^{1/6} dx = 2^{1/6} \cdot \cfrac{x^{7/6}}{\cfrac{7}{6}} + C

 

4 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \sqrt[3]{x \sqrt{\cfrac{2}{x}}} \, dx = \cfrac{6}{7} \cdot x \sqrt[6]{2x} + C

 

 

19 \displaystyle \int \cfrac{cos \, x}{\sqrt{sen^3 x}} \, dx

1 Expresamos en notación exponencial

 

\displaystyle \int \cfrac{cos \, x}{\sqrt{sen^3 x}} \, dx = \int cos \, x \cdot (sen \, x)^{-3/2} \, dx

 

2 Tomamos u = sen \, x y calculamos su derivada u' = cos \, x

 

3 Calculamos la integral

 

\displaystyle\int cos \, x \cdot (sen \, x)^{-3/2} \, dx = \cfrac{(sen \, x)^{-1/2}}{-\cfrac{1}{2}} + C

4 Simplificamos el resultado y obtenemos

 

\displaystyle \int \cfrac{cos \, x}{\sqrt{sen^3 x}} \, dx = -\cfrac{2}{\sqrt{sen \, x}} + C

 

20 \displaystyle \int \cfrac{(2 \ln x)^2}{4x}} \, dx

1 Elevamos a los exponentes dados

 

\displaystyle \int \cfrac{(2 \ln x)^2}{4x}} \, dx = \int \cfrac{4 \ln^2 x}{4x} \, dx

 

2 Simplificamos y acomodamos el integrando

 

\displaystyle \int \cfrac{4 \ln^2 x}{4x} \, dx = \int \ln^2 x \cdot \cfrac{1}{x} \, dx

 

3 Tomamos u = \ln x y calculamos su derivada u' = \cfrac{1}{x}

 

4 Calculamos la integral

 

\displaystyle \int \ln^2 x \cdot \cfrac{1}{x} \, dx = \cfrac{\ln^3 x}{3} + C

 

21 \displaystyle \int \cfrac{\ln x^2}{x}} \, dx

1 Aplicamos las propiedades de logaritmos

 

\displaystyle \int \cfrac{\ln x^2}{x}} \, dx = \int \cfrac{2 \ln x}{x} \, dx

 

2 Acomodamos el integrando

 

\displaystyle \int \cfrac{2 \ln x}{x} \, dx = 2 \int \ln x \cdot \cfrac{1}{x} \, dx

 

3 Tomamos u = \ln x y calculamos su derivada u' = \cfrac{1}{x}

 

4 Calculamos la integral

 

\displaystyle 2 \int \ln x \cdot \cfrac{1}{x} \, dx = 2 \cfrac{\ln^2 x}{2} + C

5 Simplificamos y obtenemos

 

\displaystyle \int \cfrac{\ln x^2}{x}} \, dx = \ln^2 x + C

 

22 \displaystyle \int \cfrac{\sqrt{7 + 2 tg \, x}}{cos^2 x} \, dx

1 Escribimos el integrando como

 

\displaystyle \int \cfrac{\sqrt{7 + 2 tg \, x}}{cos^2 x} \, dx = \int (7 + 2 tg \, x)^{1/2} \cdot \cfrac{1}{cos^2 x} \, dx

 

2 Aplicamos la identidad sec \, x = \cfrac{1}{cos \, x}

 

\displaystyle \int (7 + 2 tg \, x)^{1/2} \cdot \cfrac{1}{cos^2 x} \, dx = \int (7 + 2 tg \, x)^{1/2} \cdot sec^2 x \, dx

 

3 Tomamos u = 7 + 2 tg \, x y calculamos su derivada u' = 2 sec^2 x

 

4 Calculamos la integral

 

\displaystyle \cfrac{1}{2} \int (7 + 2 tg \, x)^{1/2} \cdot 2 sec^2 x \, dx = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{(7 + 2 tg \, x)^{3/2}}{\cfrac{3}{2}} + C

5 Simplificamos y obtenemos

 

\displaystyle \int \cfrac{\sqrt{7 + 2 tg \, x}}{cos^2 x} \, dx = \cfrac{1}{3} \cdot \sqrt{(7 + 2 tg \, x)^3} + C

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗