Name: Integrales trigonometricas
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Caso 1: Potencias pares de seno y coseno
Caso 2: Potencias impares de seno y coseno
Caso 3: Con exponente par e impar
Caso 4: Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

Caso 1: Potencias pares de seno y coseno

Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad

${sen^{2}\, x= \displaystyle\frac{1-cos\, 2x}{2}, \ \ \ \ \ \ cos^{2}\, x= \displaystyle\frac{1+cos\, 2x}{2}}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int cos^{2}\, x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos^{2}\, x \, dx & = & \displaystyle\int \left( \sqrt{\frac{1+cos\, 2x}{2}}\right)^{2} dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int \frac{1+cos\, 2x}{2}\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}\int (1+cos\, 2x)\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{2}sen\, 2x \right)+C \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}sen\, 2x+C \end{array}}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int sen^{4}\, x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen^{4}\, x \, dx & = & \displaystyle\int \left( \frac{1-cos\, 2x}{2}\right)^{2} dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int \frac{1-2cos\, 2x + cos^{2} 2x}{4}\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{4}\int dx - \frac{2}{4}\int cos\, 2x \, dx +\frac{1}{4}\int cos^{2} 2x \, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}sen\, 2x + \frac{1}{4} \int \frac{1+cos\, 4x}{2}\,dx \\ && \\ &=&\displaystyle\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}sen\, 2x + \frac{1}{8}x + \frac{1}{32}sen\, 4x +C \\ && \\ &=&\displaystyle\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}sen\, 2x + \frac{1}{8}x + \frac{1}{32}sen\, 4x +C \end{array}}$

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Caso 2: Potencias impares de seno y coseno

Se relacionan con la identidad trigonométrica

${sen^{2} x + cos^{2} x = 1}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int sen^{3}\, x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen^{3}\, x \, dx & = & \displaystyle\int sen\, x \, sen^{2}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int sen\, x (1-cos^{2}x)\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left( sen\, x-cos^{2}x\, sen\, x\right) \, dx \\ && \\ &=& -cos\, x+\displaystyle\frac{1}{3}cos^{3}x+C \end{array}}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int cos^{3}\, x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos^{3}\, x \, dx & = & \displaystyle\int cos\, x \, cos^{2}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int cos\, x (1-sen^{2}x)\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left(cos\, x-sen^{2}x\, cos\, x\right) \, dx \\ && \\ &=& sen\, x-\displaystyle\frac{1}{3}sen^{3}x+C \end{array}}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int cos^{3}\, x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos^{5}\, x \, dx & = & \displaystyle\int cos\, x \, cos^{4}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int cos\, x (1-sen^{2}x)^{2}\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int cos\, x \, dx -2\int sen^{2}x\, cos\, x \, dx + \int sen^{4}x\, cos\, x\, dx \\ && \\ &=& sen\, x-\displaystyle\frac{2}{3}sen^{3}x+\frac{1}{5}sen^{5}x+C \end{array}}$

Caso 3: Con exponente par e impar

El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.

Ejemplo:

${\displaystyle\int sen^{5}x\, cos^{2}\, x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen^{5}x\, cos^{2} x \, dx & = & \displaystyle\int sen\, x \, sen^{4}x\, cos^{2}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int \left(1-cos^{2}x\right)^{2}\, sen\, x\, cos^{2} x \,dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left(1-2cos^{2} x+cos^{4}x\right)\, sen\, x \, cos^{2} x\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left(cos^{2} x\, sen\, x-2cos^{4}x\, sen\, x+cos^{6}x\, sen\, x\right)\, dx \\ && \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{3}cos^{3}x+\frac{2}{5}cos^{5}x-\frac{1}{7}cos^{7}x+C \end{array}}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int sen^{4}x\, cos\, x \, dx}$

${\displaystyle\int sen^{4}x\, cos\, x \, dx & = & \displaystyle\frac{1}{5} sen^{5} x+C}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int cos^{2}x\, sen^{3} x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos^{2}x\, sen^{3} x \, dx & = & \displaystyle\int cos^{2} x \, sen\, x\, sen^{2}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int cos^{2} x \, sen\, x\left(1-cos^{2}x\right) \,dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left(cos^{2} x \, sen\, x-cos^{4} x \, sen\, x\right)\, dx \\ && \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{3}cos^{3}x+\frac{1}{5}cos^{5}x+C \end{array}}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int \frac{sen^{3} x}{cos\, x} \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int \frac{sen^{3} x}{cos\, x} \, dx & = & \displaystyle\int \frac{sen\, x\, sen^{2} x}{cos\, x} \, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int \frac{sen\, x\, (1-cos^{2} x)}{cos\, x} \, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \frac{sen\, x}{cos\, x}\, dx - \int sen\,x \, cos\, x\, dx \\ && \\ &=& -ln(cos\, x)+\displaystyle\frac{1}{2}cos^{2}x+C \end{array}}$

Caso 4: Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

Se transforman los productos en sumas:

${sen\, A\cdot cos\, B=\displaystyle\int \frac{1}{2}[sen(A+B)+sen(A-B)]}$

${cos\, A\cdot sen\, B=\displaystyle\int \frac{1}{2}[sen(A+B)-sen(A-B)]}$

${cos\, A\cdot cos\, B=\displaystyle\int \frac{1}{2}[cos(A+B)+cos(A-B)]}$

${sen\, A\cdot sen\, B=\displaystyle\int \frac{1}{2}[cos(A+B)-cos(A-B)]}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int sen\, 3x\, cos\, 2x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen\, 3x\, cos\, 2x \, dx & = & \displaystyle\frac{1}{2}\int (sen\, 5x + sen\, x)\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}\left(-\frac{cos\, 5x}{5}-cos\, x\right)+C \end{array}}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int cos\, 5x\, sen\, 3x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos\, 5x\, sen\, 3x \, dx & = & \displaystyle\frac{1}{2}\int (sen\, 8x - sen\, 2x)\, dx \\ &&\\ &=& -\displaystyle\frac{1}{16}cos\, 8x+\frac{1}{4}cos\, 2x+C \end{array}}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int cos\, 4x\, cos\, 2x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos\, 4x\, cos\, 2x \, dx & = & \displaystyle\frac{1}{2}\int (cos\, 6x + cos\, 2x)\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\frac{1}{12}sen\, 6x+\frac{1}{4}sen\, 2x+C \end{array}}$

Ejemplo:

${\displaystyle\int sen\, 3x\, sen\, 7x \, dx}$

${\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen\, 3x\, sen\, 7x \, dx & = & -\displaystyle\frac{1}{2}\int (cos\, 10x - cos\, (-4x)\, dx \\ &&\\ &=& -\displaystyle\frac{1}{2}\int cos\, 10x\, dx+\frac{1}{2}\int cos\, 4x\, dx \\ &&\\ &=& -\displaystyle\frac{1}{20}sen\, 10x+\frac{1}{8}sen\, 4x +C \end{array}}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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MUÑOZ
Invité

21 Jun.

LO MÁXIMO,GRACIAS ME AYUDO MUCHO

Superprof
Administrateur

23 Jun.

¡Genial!

GARCÍA URQUIZA ALEJANDRO
Invité

16 Jul.

MIS RESPETOS PARA USTED MAESTRA…ES USTED EXCEPCIONAL.

Superprof
Administrateur

16 Jul.

¡Muchas gracias Alejandro! <3

Integrales trigonométricas

Caso 1: Potencias pares de seno y coseno

Caso 2: Potencias impares de seno y coseno

Caso 3: Con exponente par e impar

Caso 4: Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

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