Caso 1: Potencias pares de seno y coseno

 

Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad

 

{sen^{2}\, x= \displaystyle\frac{1-cos\, 2x}{2}, \ \ \ \ \ \ cos^{2}\, x= \displaystyle\frac{1+cos\, 2x}{2}}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int cos^{2}\, x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos^{2}\, x \, dx & = & \displaystyle\int \left( \sqrt{\frac{1+cos\, 2x}{2}}\right)^{2} dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int \frac{1+cos\, 2x}{2}\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}\int (1+cos\, 2x)\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{2}sen\, 2x \right)+C \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}sen\, 2x+C \end{array}}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int sen^{4}\, x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen^{4}\, x \, dx & = & \displaystyle\int \left( \frac{1-cos\, 2x}{2}\right)^{2} dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int \frac{1-2cos\, 2x + cos^{2} 2x}{4}\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{4}\int  dx - \frac{2}{4}\int cos\, 2x  \, dx +\frac{1}{4}\int  cos^{2} 2x \, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}sen\, 2x + \frac{1}{4} \int \frac{1+cos\, 4x}{2}\,dx \\ && \\ &=&\displaystyle\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}sen\, 2x + \frac{1}{8}x + \frac{1}{32}sen\, 4x +C \\ && \\ &=&\displaystyle\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}sen\, 2x + \frac{1}{8}x + \frac{1}{32}sen\, 4x +C \end{array}}

 

Superprof

Caso 2: Potencias impares de seno y coseno

 

Se relacionan con la identidad trigonométrica

 

{sen^{2} x + cos^{2} x = 1}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int sen^{3}\, x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen^{3}\, x \, dx & = & \displaystyle\int sen\, x \, sen^{2}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int sen\, x (1-cos^{2}x)\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left( sen\, x-cos^{2}x\, sen\, x\right) \, dx \\ && \\ &=& -cos\, x+\displaystyle\frac{1}{3}cos^{3}x+C \end{array}}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int cos^{3}\, x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos^{3}\, x \, dx & = & \displaystyle\int cos\, x \, cos^{2}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int cos\, x (1-sen^{2}x)\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left(cos\, x-sen^{2}x\, cos\, x\right) \, dx \\ && \\ &=& sen\, x-\displaystyle\frac{1}{3}sen^{3}x+C \end{array}}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int cos^{3}\, x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos^{5}\, x \, dx & = & \displaystyle\int cos\, x \, cos^{4}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int cos\, x (1-sen^{2}x)^{2}\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int cos\, x \, dx -2\int sen^{2}x\, cos\, x \, dx + \int sen^{4}x\, cos\, x\, dx \\ && \\ &=& sen\, x-\displaystyle\frac{2}{3}sen^{3}x+\frac{1}{5}sen^{5}x+C \end{array}}

 

Caso 3: Con exponente par e impar

 

El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int sen^{5}x\, cos^{2}\, x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen^{5}x\, cos^{2} x \, dx & = & \displaystyle\int sen\, x \, sen^{4}x\, cos^{2}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int \left(1-cos^{2}x\right)^{2}\, sen\, x\, cos^{2} x \,dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left(1-2cos^{2} x+cos^{4}x\right)\, sen\, x \, cos^{2} x\, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left(cos^{2} x\, sen\, x-2cos^{4}x\, sen\, x+cos^{6}x\, sen\, x\right)\, dx \\ && \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{3}cos^{3}x+\frac{2}{5}cos^{5}x-\frac{1}{7}cos^{7}x+C \end{array}}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int sen^{4}x\, cos\, x \, dx}

 

{\displaystyle\int sen^{4}x\, cos\, x \, dx & = & \displaystyle\frac{1}{5} sen^{5} x+C}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int cos^{2}x\, sen^{3} x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos^{2}x\, sen^{3} x \, dx & = & \displaystyle\int cos^{2} x \, sen\, x\, sen^{2}x\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int cos^{2} x \, sen\, x\left(1-cos^{2}x\right) \,dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \left(cos^{2} x \, sen\, x-cos^{4} x \, sen\, x\right)\, dx \\ && \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{3}cos^{3}x+\frac{1}{5}cos^{5}x+C \end{array}}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int \frac{sen^{3} x}{cos\, x} \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int \frac{sen^{3} x}{cos\, x} \, dx & = & \displaystyle\int \frac{sen\, x\, sen^{2} x}{cos\, x} \, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\int \frac{sen\, x\, (1-cos^{2} x)}{cos\, x} \, dx \\ && \\ &=& \displaystyle\int \frac{sen\, x}{cos\, x}\, dx - \int sen\,x \, cos\, x\, dx \\ && \\ &=& -ln(cos\, x)+\displaystyle\frac{1}{2}cos^{2}x+C \end{array}}

 

Caso 4: Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

 

Se transforman los productos en sumas:

 

{sen\, A\cdot cos\, B=\displaystyle\int \frac{1}{2}[sen(A+B)+sen(A-B)]}

 

{cos\, A\cdot sen\, B=\displaystyle\int \frac{1}{2}[sen(A+B)-sen(A-B)]}

 

{cos\, A\cdot cos\, B=\displaystyle\int \frac{1}{2}[cos(A+B)+cos(A-B)]}

 

{sen\, A\cdot sen\, B=\displaystyle\int \frac{1}{2}[cos(A+B)-cos(A-B)]}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int sen\, 3x\, cos\, 2x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen\, 3x\, cos\, 2x \, dx & = & \displaystyle\frac{1}{2}\int (sen\, 5x + sen\, x)\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}\left(-\frac{cos\, 5x}{5}-cos\, x\right)+C \end{array}}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int cos\, 5x\, sen\, 3x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos\, 5x\, sen\, 3x \, dx & = & \displaystyle\frac{1}{2}\int (sen\, 8x - sen\, 2x)\, dx \\ &&\\ &=& -\displaystyle\frac{1}{16}cos\, 8x+\frac{1}{4}cos\, 2x+C \end{array}}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int cos\, 4x\, cos\, 2x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int cos\, 4x\, cos\, 2x \, dx & = & \displaystyle\frac{1}{2}\int (cos\, 6x + cos\, 2x)\, dx \\ &&\\ &=& \displaystyle\frac{1}{12}sen\, 6x+\frac{1}{4}sen\, 2x+C \end{array}}

 

Ejemplo:

 

{\displaystyle\int sen\, 3x\, sen\, 7x \, dx}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int sen\, 3x\, sen\, 7x \, dx & = & -\displaystyle\frac{1}{2}\int (cos\, 10x - cos\, (-4x)\, dx \\ &&\\ &=& -\displaystyle\frac{1}{2}\int cos\, 10x\, dx+\frac{1}{2}\int cos\, 4x\, dx \\ &&\\ &=& -\displaystyle\frac{1}{20}sen\, 10x+\frac{1}{8}sen\, 4x +C \end{array}}

 

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Marta

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MUÑOZ
MUÑOZ
Invité
21 Jun.

LO MÁXIMO,GRACIAS ME AYUDO MUCHO

Superprof
Superprof
Administrateur
23 Jun.

¡Genial!

GARCÍA URQUIZA ALEJANDRO
GARCÍA URQUIZA ALEJANDRO
Invité
16 Jul.

MIS RESPETOS PARA USTED MAESTRA…ES USTED EXCEPCIONAL.

Superprof
Superprof
Administrateur
16 Jul.

¡Muchas gracias Alejandro! <3