Name: ¿Como calcular el area de funciones?
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Caso 1: Área entre una función positiva y el eje de abscisas
Caso 2: Área entre una función negativa y el eje de abscisas
Caso 3: La función toma valores positivos y negativos

Caso 1: Área entre una función positiva y el eje de abscisas

Si la función es positiva en un intervalo $\left [ a,b \right ]$ entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

$\displaystyle A=\int_{a}^{b}f(x)\, dx$

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1 Se calculan los puntos de corte con con el eje $OX$ , haciendo $f(x)=0$ y resolviendo la ecuación.

2 El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1 Calcular el área del recinto limitado por la curva $y=9-x^{2}$ y el eje $OX$ .

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje $OX$ para representar la curva y conocer los límites de integración.

$0=9-x^{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x_{1}=3\; \; \; x_{2}=-3$

Área debajo de una función cuadrática representación gráfica

Como la parábola es simétrica respecto al eje $OY$ , el área será igual al doble del área comprendida entre $x=0$ y $x=3$ .

$\displaystyle A=\int_{-3}^{3}(9-x^{2})\, dx=2\int_{0}^{3}(9-x^{2})\, dx=2\left [ 9x-\cfrac{x^{3}}{3} \right ]_{0}^{3}=36\, u^{2}$

2 Calcular el área limitada por la curva $xy=36$ , el eje $OX$ y las rectas: $x = 6$ , $x = 12$ .

Área entre una función racional y el eje de las abscisas representación gráfica ·

$\displaystyle\int_{6}^{12}\cfrac{36}{x}\, dx=\left [ 36\ln x \right ]_{6}^{12}=36\ln 2 \, u^{2}$

3 Calcular el área del triángulo de vértices $A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0)$ .

Ecuación de la recta que pasa por $AB$ :

$\cfrac{x-3}{6-3}=\cfrac{y-0}{3-0}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=x-3$

Ecuación de la recta que pasa por $BC$ :

$\cfrac{x-8}{6-8}=\cfrac{y-0}{3-0}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=-\cfrac{3}{2}\, (x-8)$

Área delimitada entre dos rectas y el eje X representación gráfica

$\displaystyle A=\int _{3}^{6}(x-3)\, dx+\int_{6}^{8}\left [ -\frac{3}{2}(x-8) \right ]dx$

$=\left [ \frac{x^{2}}{2}-3x \right ]_{3}^{6}+\left [ -\frac{3}{4}x^{2}+12x \right ]_{6}^{8}$

$=\left ( 18-18-\frac{9}{2}+9 \right )+\left ( -48+96+27-72 \right )=\frac{15}{2}\, u^{2}$

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Caso 2: Área entre una función negativa y el eje de abscisas

Si la función es negativa en un intervalo $\left [ a,b \right ]$ entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

$\displaystyle A=-\int_{a}^{b}f(x)\, dx\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; A=\left | \int _{a}^{b}f(x)\, dx \right |$

Ejemplos

1 Calcular el área del recinto limitado por la curva $y=x^{2}-4x$ y el eje $OX$ .

$0=x^{2}-4x\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x_{1}=0\; \; \; x_{2}=4$

Área entre una función cuadrática y el eje X representación gráfica

$\displaystyle A=\int_{0}^{4}(x^{2}-4x)\, dx=\left [ \frac{x^{3}}{3}-2x^{2} \right ]_{0}^{4}=-\frac{32}{3}$

$\left | A \right |=\frac{32}{3}\, u^{2}$

2 Hallar el área limitada por la curva $y=\cos x$ y el eje $OX$ entre $\frac{\pi }{2}$ y $\frac{3\pi }{2}$ .

Área entre la función coseno y el eje X representación gráfica

$\displaystyle A=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\cos x\, dx=\left [ \sin x \right ]_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}=\sin \frac{3\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{2}=-1-1=-2$

$\left | A \right |=2\, u^{2}$

Caso 3: La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

1 Se calculan los puntos de corte con con el eje $OX$ , haciendo $f(x) = 0$ y resolviendo la ecuación.

2 Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

3 El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1 Hallar el área limitada por la recta $y=\frac{3x-6}{2}$ , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a $x = 0$ y $x = 4$ .

Área delimitada entre una recta y el eje X representación gráfica

$\displaystyle A_{1}=\int_{0}^{2}\left ( \frac{3x-6}{2} \right )dx=\frac{1}{2}\left [ \frac{3}{2}x^{2}-6x \right ]_{0}^{2}=\frac{1}{2}(6-12)=-3$

$\displaystyle A_{2}=\int_{2}^{4}\left ( \frac{3x-6}{2} \right )dx=\frac{1}{2}\left [ \frac{3}{2}x^{2}-6x \right ]_{2}^{4}=\frac{1}{2}\left [ (24-24)-(6-12) \right ]=3$

$A=\left | A_{1} \right |+\left | A_{2} \right |=\left | -3 \right |+3=6\, u^{2}$

2 Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo $x^{2}+y^{2}=9$ .

Área de un circulo en el plano cartesiano representación gráfica

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

$\displaystyle \int \sqrt{9-x^{2}}\, dx$

$x=3\sin t$

$dx=3\cos t\, dt$

$\displaystyle \int_{0}^{r}\sqrt{9-x^{2}}=\int \sqrt{9-9\sin^{2}t}\cdot 3\cos t \, dt=\int \sqrt{9(1-\sin^{2}t)}\cdot 3\cos t\, dt$

$\displaystyle \int 9\cos^{2}t\, dt=9\int \cos^{2}t\, dt=9\int \frac{1+\cos 2t}{2}dt=9\left [ \frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin^{2}2t \right ]+\textup{C}$

Hallamos los nuevos límites de integración.

$\begin{matrix} x=0 & & 0=r\sin t & & \sin t =0 & & t=0 \\ & & & & & & \\ x=3 & & 3=3\sin t & & \sin t =1 & & t=\cfrac{\pi }{2} \end{matrix}$

$A_{1}=9\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\sin^{2}2t \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=9\left ( \cfrac{\pi }{4}-0 \right )=\cfrac{9}{4}\, \pi$

$A=4A_{1}=9\pi\, u^{2}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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