3 febrero 2020
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Caso 1: Área entre una función positiva y el eje de abscisas
Si la función es positiva en un intervalo ![\left [ a,b \right ]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb0b1947188eb39076800e0fa71f5e10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1 Se calculan los puntos de corte con con el eje 
, haciendo 
y resolviendo la ecuación.
2 El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
Ejemplos
1 Calcular el área del recinto limitado por la curva 
y el eje .
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje para representar la curva y conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje 
, el área será igual al doble del área comprendida entre 
y 
.
![\displaystyle A=\int_{-3}^{3}(9-x^{2})\, dx=2\int_{0}^{3}(9-x^{2})\, dx=2\left [ 9x-\cfrac{x^{3}}{3} \right ]_{0}^{3}=36\, u^{2}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d72f2a6dfc2dce24177411c76c00655c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2 Calcular el área limitada por la curva 
, el eje y las rectas: 
, 
.
·
![\displaystyle\int_{6}^{12}\cfrac{36}{x}\, dx=\left [ 36\ln x \right ]_{6}^{12}=36\ln 2 \, u^{2}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c99303c76cea2d3e9b87895ed04c213_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3 Calcular el área del triángulo de vértices 
.
Ecuación de la recta que pasa por 
:
Ecuación de la recta que pasa por 
:
![\displaystyle A=\int _{3}^{6}(x-3)\, dx+\int_{6}^{8}\left [ -\frac{3}{2}(x-8) \right ]dx](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5568edb8781d14bb269ec8fe90a8bc49_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![=\left [ \frac{x^{2}}{2}-3x \right ]_{3}^{6}+\left [ -\frac{3}{4}x^{2}+12x \right ]_{6}^{8}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aff34465439d30e3167be029283fd6df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Si la función es negativa en un intervalo entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Ejemplos
1 Calcular el área del recinto limitado por la curva 
y el eje .
![\displaystyle A=\int_{0}^{4}(x^{2}-4x)\, dx=\left [ \frac{x^{3}}{3}-2x^{2} \right ]_{0}^{4}=-\frac{32}{3}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d62835b87ed66fcb3191e471f621bbbe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2 Hallar el área limitada por la curva 
y el eje entre 
y 
.
![\displaystyle A=\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\cos x\, dx=\left [ \sin x \right ]_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}=\sin \frac{3\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{2}=-1-1=-2](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05d95efdf71adcde83b600a23dc8d053_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Caso 3: La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1 Se calculan los puntos de corte con con el eje , haciendo 
y resolviendo la ecuación.
2 Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3 El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos
1 Hallar el área limitada por la recta 
, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a 
y 
.
![\displaystyle A_{1}=\int_{0}^{2}\left ( \frac{3x-6}{2} \right )dx=\frac{1}{2}\left [ \frac{3}{2}x^{2}-6x \right ]_{0}^{2}=\frac{1}{2}(6-12)=-3](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b67b0f77d9d88e153f0a9b7db2278d5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\displaystyle A_{2}=\int_{2}^{4}\left ( \frac{3x-6}{2} \right )dx=\frac{1}{2}\left [ \frac{3}{2}x^{2}-6x \right ]_{2}^{4}=\frac{1}{2}\left [ (24-24)-(6-12) \right ]=3](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f9501a2ab9f95328f07c89cf3ef47e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2 Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo 
.
El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
![\displaystyle \int 9\cos^{2}t\, dt=9\int \cos^{2}t\, dt=9\int \frac{1+\cos 2t}{2}dt=9\left [ \frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin^{2}2t \right ]+\textup{C}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-981f2854ae96a648ecaa9233e7dbea29_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hallamos los nuevos límites de integración.
![A_{1}=9\left [ \cfrac{t}{2}+\cfrac{1}{4}\sin^{2}2t \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=9\left ( \cfrac{\pi }{4}-0 \right )=\cfrac{9}{4}\, \pi](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05148716f3457099e0a09d7d4b35128c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
no me ayudo en mi problema, pero gracias por lo menos por esto, 🙁
Hola, ¿qué estabas buscando?
Calcular en área el area aproximada bajo la curva desde a hasta b, insertando 5 rectángulos en cada caso
Construye los rectángulos por debajo de la gráfica de la función
Hola nececito ayuda para calcular el area de la funcion f(x)=x-2
hallar el área del terreno delimitado por la gráfica de la función f(x)=x3 , el eje de adscisas y las rectas x=1 y x=3
tampoco me ayudo😥😭
Hola buena tarde, busco como formular la integral de f(x)=cos x, podrian aapoyarme
esta tocaando dos punto pi/2 eje de las x y 1 eje de las y formando una curva
Hola Araceli.
La integral de
es 
.
Saludos.
Hola, me ayudarían con este punto?
a)Determinar analíticamente el área encerrada entre las curvas correspondiente a las graficas de:
f(x)=x^2-x-1
g(x)=-x-1
b)Graficar
Hola buenos días.
Me podrían ayudar en el siguiente ejercicio, utilizando el teorema del valor medio. Integral a= -1,b=1, (tan x/1+x^2+x^4)dx
gracias.
Holaa me podrían ayudar a resolver esta operación por favor 🙂
Es expresar en lenguaje algebraico: una tabla de nueve metros es cortada en 2 pedazos, 1 pedazo es de 3 metros más largo que otro ¿Cuál es la longitud de cada pedazo?
por favor
9 = Longitud de la tabla
() = Pedazos en los que se partió la tabla
x = Medida de cada pedazo
9=(3x)+(x)
Excelente información, no encuentro palabras para agradecer su tiempo y su trabajo….
Muchas Gracias¡¡¡
<3
hola alguien me ayuda con este ejercicio
Encontrar la longitud de la Curva (L) y el Area debajo de ella (A), con la funcion y=8-2x^2 entre los puntos -2 ≤ o ≤ 2
Se le pidió a Chioma encontrar \displaystyle\int (18x^2+3)(6x^3+3x)^6\,dx∫(18x
2
+3)(6x
3
+3x)
6
dxintegral, left parenthesis, 18, x, squared, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 6, x, cubed, plus, 3, x, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, d, x por medio del método de sustitución.
¿Cómo debe Chioma definir uuu?
usando el método de casquetes para hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por
y = 2x ,y = x / 2 y x =1, alrededor del eje y.