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Caso 1: Área entre una función positiva y el eje de abscisas
Si la función es positiva en un intervalo 
entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1 Se calculan los puntos de corte con con el eje 
, haciendo 
y resolviendo la ecuación.
2 El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
Ejemplos
1 Calcular el área del recinto limitado por la curva 
y el eje .
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje para representar la curva y conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje 
, el área será igual al doble del área comprendida entre 
y 
.
2 Calcular el área limitada por la curva 
, el eje y las rectas: 
, 
.
3 Calcular el área del triángulo de vértices 
.
Ecuación de la recta que pasa por 
:
Ecuación de la recta que pasa por 
:
Caso 2: Área entre una función negativa y el eje de abscisas
Si la función es negativa en un intervalo entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Ejemplos
1 Calcular el área del recinto limitado por la curva 
y el eje .
2 Hallar el área limitada por la curva 
y el eje entre 
y 
.
Caso 3: La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1 Se calculan los puntos de corte con con el eje , haciendo 
y resolviendo la ecuación.
2 Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3 El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos
1 Hallar el área limitada por la recta 
, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a 
y 
.
2 Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo 
.
El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.