Esta integral se resuelve por el método de integración por partes, es decir,
.
Entonces elegimos 
y 
, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
.
Usando la fórmula de integración por partes, tenemos: 
Esta integral se resuelve por el método de integración por partes, es decir,.
Entonces elegimos 
y 
, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
.
Usando la fórmula de integración por partes, tenemos: 
Observemos que tenemos que volver a aplicar el método de integración por partes, tomamos como 
y 
Regresando al ejercicio y sustituyendo los valores,
Esta integral se resuelve por el método de integración por partes, es decir,.
Entonces elegimos 
y 
, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
.
Usando la fórmula de integración por partes, tenemos: 
Para la integral usamos un cambio de variable 
, transformando
Finalmente, sustituyendo el valor de esta integral terminaremos el ejercicio,
Esta integral se resuelve por el método de integración por partes, es decir,.
Entonces elegimos y 
, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
.
Usando la fórmula de integración por partes, tenemos: 
Observemos que ésta es una integral cíclica, es decir, que hemos regresado a la integral inicial, por tanto,
Finalmente, despejando la integral.
Esta es una integral por partes, entonces comenzamos por separar la fracción de la siguiente forma: 
Resolviendo la suma de fracciones del lado derecho, tenemos: 
Eliminamos mismos denominadores y agrupamos,
Construimos el siguiente sistema dee ecuaciones.
De la primera y última ecuación tenemos que 
y 
Sustituyéndolo en la segunda,
Entonces 
y 
Por tanto la integral inicial se puede separar como:
La primera integral es de tipo logarítmico y la segunda la tenemos que descomponer en dos, que serán de tipo logarítmico y tipo arcotangente.
Comenzamos por multiplicar por 2 la segunda integral y posteriormente separar de tal forma que obtengamos los dos tipos de integrales antes mencionados.
Finalmente, podemos aplicar las integrales de tipo logaritmo y para la última de tipo arcotangente.
Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.
Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.
Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.
Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por la raíz cuadrada de 4/3.
Finalmente, uniendo todas las partes la integral inicial es igual a:
Para esta integral buscamos separarla en una integral logarítmica y otra de la forma arcotangente. Sumamos y restamos 3 en el numerador, descomponemos en dos fracciones y en la primera sacamos factor común 3.
Multiplicamos y dividimos en la primera integral por 2.
Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.
Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.
Entonces sustituyéndolo en la integral y luego haciendo un cambio de variable 
Finalmente, la solución a la integral es,
En esta integral haremos un cambio de variable 
Regresando a la variable original obtenemos el resultado.
Comenzamos por hacer un cambio de variable trigonométrico 
Del cambio de variable despejamos t para regresar a nuestra variable original, es decir, 
Comenzamos por un cambio de variable 
, despejamos el valor de x,
Aplicaremos la integración por partes, es decir,. 
Entonces elegimos 
y 
, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
.Usando la fórmula de integración por partes, tenemos:
La última integral la resolvemos como una integral por partes, es decir,
Tenemos el siguiente sistema,
De la primer ecuación tenemos 
, sustituyéndolo en la segunda:
, entonces 
Regresando a la integral tenemos:
Regresando a la variable original, 
Sustituyendo tenemos,
Aplicando las propiedades de los logaritmos.
Comenzamos por hacer un cambio de variable 
Sustituyendo el cambio de variable tenemos,
Simplificamos y regresamos a la variable original. 
Hacemos el cambio de variable 
,
Simplificamos y regresamos a la variable original. 
Comenzamos por un cambio de variable trigonométrico, 
,
Finalmente simplificamos y regresamos a la variable original, 
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Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.