1\displaystyle \int x^2\ln x dx

Esta integral se resuelve por el método de integración por partes, es decir,
\displaystyle \int udv = uv - \int vdu.
Entonces elegimos {u = \ln x} y {dv = x^2}, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
{du = \cfrac{1}{x}}
{v = \int x^2 dx = \cfrac{x^3}{3}}.
Usando la fórmula de integración por partes, tenemos: \displaystyle \int x^2\ln x dx = \frac{1}{3}x^3\ln x - \frac{1}{3}\int x^2dx = \frac{1}{3}x^3\ln x - \frac{1}{9}x^3 + \textup{C}
\displaystyle = \frac{1}{3}x^3(\ln x - \frac{1}{3}) + \textup{C}

2\displaystyle \int x^2\sin 3x dx

Esta integral se resuelve por el método de integración por partes, es decir,
\displaystyle \int udv = uv - \int vdu.
Entonces elegimos {u = x^2} y {dv = \sin 3x}, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
{du = 2x}
{v = \int \sin 3x dx = -\frac{1}{3}\cos 3x}.
Usando la fórmula de integración por partes, tenemos: \displaystyle \int x^2\sin 3x dx = -\frac{1}{3}x^2\cos 3x + \frac{2}{3}\int x\cos 3xdx
Observemos que tenemos que volver a aplicar el método de integración por partes, tomamos como {u = x \quad du = dx} y {dv = \cos 3x \quad v = \frac{1}{3}\sin 3x}
Regresando al ejercicio y sustituyendo los valores,
\displaystyle \int x^2\sin 3x dx = -\frac{1}{3}x^2\cos 3x + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x\sin 3x - \frac{1}{3}\int \sin 3xdx\right)
\displaystyle = -\frac{1}{3}x^2\cos 3x + \frac{2}{9}x\sin 3x + \frac{2}{27}\cos 3x + \textup{C}

3\displaystyle \int \arcsin xdx

Esta integral se resuelve por el método de integración por partes, es decir,
\displaystyle \int udv = uv - \int vdu.
Entonces elegimos {u = \arcsin x} y {dv = 1}, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
{du = \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
{v = \int dx = x}.
Usando la fórmula de integración por partes, tenemos: \displaystyle \int \arcsin x dx = x\arcsin x - \int \cfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx
Para la integral usamos un cambio de variable {u = 1-x^2 \quad du = -2x}, transformando
\displaystyle \int \cfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\frac{1}{2}\int \cfrac{du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{2}\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{1-x^2}
Finalmente, sustituyendo el valor de esta integral terminaremos el ejercicio,\displaystyle = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + \textup{C}

4\displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x}dx

Esta integral se resuelve por el método de integración por partes, es decir,
\displaystyle \int udv = uv - \int vdu.
Entonces elegimos {u = \ln x} y {dv = \frac{1}{x}}, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
{du = \frac{1}{x}}
{v = \int \frac{1}{x}dx = \ln x}.
Usando la fórmula de integración por partes, tenemos: \displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x} dx = \ln^2x - \int \dfrac{\ln x}{x}dx
Observemos que ésta es una integral cíclica, es decir, que hemos regresado a la integral inicial, por tanto,\displaystyle 2\int \dfrac{\ln x}{x}dx = \ln^2xFinalmente, despejando la integral.

\displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x} dx= \ln^2x + \textup{C}

5\displaystyle \int \cfrac{x}{(x+1)(x^2+x+1)}dx

Esta es una integral por partes, entonces comenzamos por separar la fracción de la siguiente forma: {\cfrac{x}{(x+1)(x^2+x+1)} = \cfrac{A}{(x+1)} + \cfrac{Mx + N}{x^2 + x + 1}}
Resolviendo la suma de fracciones del lado derecho, tenemos: {\cfrac{x}{(x+1)(x^2+x+1)} = \cfrac{A(x^2+x+1) + (Mx+N)(x+1)}{(x+1)(x^2 + x + 1)}}
Eliminamos mismos denominadores y agrupamos,{x = (A+M)x^2 + (A+M+N)x + A+N}

Construimos el siguiente sistema dee ecuaciones.

{\left\{ \begin{matrix} 0 & = & A & + & M & \\ 1 & = & A & + & M & + N\\ 0 & = & A & + & N & \end{matrix}\right.}

De la primera y última ecuación tenemos que {M = -A} y {N = -A}
Sustituyéndolo en la segunda,
{1 = A - A - A \quad 1 = -A \quad A = -1}

Entonces {M = 1} y {N = 1}

Por tanto la integral inicial se puede separar como:

\displaystyle \int \cfrac{x}{(x+1)(x^2+x+1)}dx = -\int \cfrac{dx}{x+1} + \int \cfrac{x+1}{x^2+x+1}dx

La primera integral es de tipo logarítmico y la segunda la tenemos que descomponer en dos, que serán de tipo logarítmico y tipo arcotangente.

Comenzamos por multiplicar por 2 la segunda integral y posteriormente separar de tal forma que obtengamos los dos tipos de integrales antes mencionados.

\displaystyle = -\int \cfrac{dx}{x+1} + \frac{1}{2}\int \cfrac{2(x+1)}{x^2+x+1}dx = -\int \cfrac{dx}{x+1} + \frac{1}{2} \int \cfrac{2x+2}{x^2+x+1}dx

\displaystyle = -\int \cfrac{dx}{x+1} + \frac{1}{2}\int \cfrac{2x+1+1}{x^2+x+1}dx = -\int \cfrac{dx}{x+1} + \frac{1}{2}\left(\int \cfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx + \int \cfrac{1}{x^2+x+1}dx\right)

Finalmente, podemos aplicar las integrales de tipo logaritmo y para la última de tipo arcotangente.

\displaystyle = -\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x^2+x+1) + \frac{1}{2}\int \cfrac{dx}{x^2+x+1}

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

\displaystyle \int \cfrac{dx}{x^2+x+1} = \int \cfrac{dx}{(x^2+x+\frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1}
\displaystyle = \int \cfrac{dx}{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.

Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por la raíz cuadrada de 4/3.

\displaystyle \int \cfrac{\frac{4}{3}}{[\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2})]^2 + 1}dx = \int \cfrac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}{[\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2})]^2 + 1}dx

\displaystyle = \cfrac{2}{\sqrt{3}} \int \cfrac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \left( \frac{2}{\sqrt{3}}\cfrac{2x+1}{2}\right)^2}dx = \frac{2}{\sqrt{3}}\int \cfrac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \left(\cfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}dx

\displaystyle = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \cfrac{2x+1}{\sqrt{3}} + \textup{C}

Finalmente, uniendo todas las partes la integral inicial es igual a:

\displaystyle \int \cfrac{x}{(x+1)(x^2+x+1)}dx = -\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x^2+x+1) + \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \cfrac{2x+1}{\sqrt{3}} + \textup{C}
\displaystyle = -\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x^2+x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \cfrac{2x+1}{\sqrt{3}} + \textup{C}

6\displaystyle \int \cfrac{3x-4}{x^2+2x+4} dx

Para esta integral buscamos separarla en una integral logarítmica y otra de la forma arcotangente. \displaystyle \int \cfrac{3x-4}{x^2+2x+4} dx

Sumamos y restamos 3 en el numerador, descomponemos en dos fracciones y en la primera sacamos factor común 3.

\displaystyle \int \cfrac{3x + 3 -3 - 4}{x^2+2x+4}dx = 3\int \cfrac{x+1}{x^2+2x+4}dx -7\int\cfrac{dx}{x^2+2x+4}

Multiplicamos y dividimos en la primera integral por 2.

\displaystyle \frac{3}{2}\int \cfrac{2x+2}{x^2+2x+4}dx - 7\int \cfrac{dx}{x^2+2x+4}dx
 = \frac{3}{2}\ln (x^2+2x+4) - 7\int \cfrac{dx}{x^2+2x+4}dx = \int \cfrac{dx}{x^2+2x+4}

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

x^2+2x+4 = x^2 + 2x + 1 + 3 = (x+1)^2 + 3 = 3[(\frac{x+1}{\sqrt{3}})^2 + 1]

Entonces sustituyéndolo en la integral y luego haciendo un cambio de variable {t = \frac{x+1}{\sqrt{3}} \quad dt = \cfrac{1}{\sqrt{3}}dx}

\displaystyle \int \cfrac{dx}{x^2+2x+4} = \frac{1}{3}\int \cfrac{dx}{(\frac{x+1}{\sqrt{3}})^2 + 1}
\displaystyle = \frac{1}{3}\int \cfrac{dx}{(\frac{x+1}{\sqrt{3}})^2 + 1} = \frac{1}{3}\int \cfrac{\sqrt{3}}{t^2 + 1} dt = \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan t + \textup{C}
\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan (\frac{x+1}{\sqrt{3}}) + \textup{C}

Finalmente, la solución a la integral es,

\displaystyle \int \cfrac{3x-4}{x^2+2x+4}dx = \frac{3}{2}\ln (x^2+2x+4) - \frac{7\sqrt{3}}{3}\arctan (\frac{x+1}{\sqrt{3}}) + \textup{C}

7\displaystyle \int \cfrac{3^x}{1+3^x}dx

En esta integral haremos un cambio de variable {t = 3^x \quad dt = 3^x\ln 3dx \quad dx = \frac{dt}{t\cdot \ln 3}} \displaysytle \int \cfrac{t}{1+t}\cfrac{dt}{t\cdot \ln 3} = \frac{1}{\ln 3}\int \cfrac{dt}{1+t} = \frac{1}{\ln 3}\ln (1+t) + \textup{C}
Regresando a la variable original obtenemos el resultado.\displaystyle \frac{1}{\ln 3}\ln (1+3^x) + \textup{C}

8\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{4-x^2}} dx

Comenzamos por hacer un cambio de variable trigonométrico {x = 2\sin t \quad dx = 2\cos tdt} \displaystyle \int \cfrac{2\cos tdt}{\sqrt{4 - 4\sin^2 t}} = \int \cfrac{2\cos tdt}{2\cos t} = \int dt = t + \textup{C}
Del cambio de variable despejamos t para regresar a nuestra variable original, es decir, {x = 2\sin t \quad t = \arcsin \frac{x}{2}}
\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \arcsin \frac{x}{2} + \textup{C}

9 \displaystyle \int \sqrt{\cfrac{x+2}{x-1}}dx

Comenzamos por un cambio de variable {t^2 = \cfrac{x+2}{x-1}}, despejamos el valor de x,
{x+2 = t^2x -t^2 \quad t^2x-x = t^2 + 2 \quad x(t^2 -1) = t^2 + 2 \quad x = \cfrac{t^2+2}{t^2-1}} {dx = \cfrac{2t(t^2-1) - 2t(t^2+2)}{(t^2-1)^2} = \cfrac{2t^3-2t-2t^3-4t}{(t^2-1)^2} = -\cfrac{6tdt}{(t^2-1)^2}}
Aplicaremos la integración por partes, es decir,
\displaystyle \int udv = uv - \int vdu. \displaystyle \int \sqrt{\cfrac{x+2}{x-1}}dx = \int \sqrt{t^2}\cfrac{-6tdt}{(t^2-1)^2} = \int \cfrac{-6t^2dt}{(t^2-1)^2}
Entonces elegimos {u = t} y {dv = \cfrac{-6t}{(t^2-1)^2}}, el primero lo derivamos y al segundo lo integramos, obteniendo:
{du = 1}
{v = \int \cfrac{-6t}{(t^2-1)^2}dx = \cfrac{3}{t^2-1}}.Usando la fórmula de integración por partes, tenemos:

\displaystyle \int \cfrac{-6t^2dt}{(t^2-1)^2} = \cfrac{3t}{t^2-1} - 3\int \cfrac{dt}{t^2-1}

La última integral la resolvemos como una integral por partes, es decir,

{\cfrac{1}{t^2-1} = \cfrac{A}{t-1} + \cfrac{B}{t+1}}
{1 = A(t+1) + B(t-1) = (A+B)t + A - B}
Tenemos el siguiente sistema,
{\left\{ \begin{matrix} 0 & = & A & + & B\\ 1 & = & A & - & B \end{matrix}\right.}

De la primer ecuación tenemos {A = -B}, sustituyéndolo en la segunda:
{1 = - B - B \quad B = -\frac{1}{2}}, entonces {A = \frac{1}{2}}

Regresando a la integral tenemos:
\displaystyle \int \cfrac{-6t^2dt}{(t^2-1)^2} = \cfrac{3t}{t^2-1} - \frac{3}{2}\left(\int \cfrac{dt}{t-1} - \int \cfrac{dt}{t+1}\right)

\displaystyle = \cfrac{3t}{t^2-1} - \frac{3}{2}\ln(t-1) + \frac{3}{2}\ln(t+1) + \textup{C}

Regresando a la variable original, {t^2 = \cfrac{x+2}{x-1} \quad t = \sqrt{\cfrac{x+2}{x-1}}}

Sustituyendo tenemos,

\displaystyle \int \sqrt{\cfrac{x+2}{x-1}}dx = \cfrac{3\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}}{\frac{x+2}{x-1} - 1} - \frac{3}{2}\left[\ln\left(\sqrt{\frac{x+2}{x-1}} - 1\right) - \ln\left(\sqrt{\frac{x+2}{x-1}+1}\right)\right] + \textup{C}

Aplicando las propiedades de los logaritmos.

\displaystyle = (x-1)\sqrt{\cfrac{x+2}{x-1}} - \frac{3}{2}\ln \left(\cfrac{\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}-1}{\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}+1}\right) + \textup{C}

10\displaystyle \int \cfrac{dx}{1+\sin x + \cos x} dx

Comenzamos por hacer un cambio de variable {x = \tan \frac{x}{2} \quad dt = \frac{2dt}{1+t^2}
Sustituyendo el cambio de variable tenemos,
\displaystyle \int \cfrac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \cfrac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2} = \int \cfrac{2dt}{2+2t}
Simplificamos y regresamos a la variable original. \displaystyle = \int \cfrac{dt}{1+t} = \ln(1+t) + \textup{C} = \ln(1+\tan\frac{x}{2}) + \textup{C}

11\displaystyle \int \cfrac{4e^{3x}}{1+e^{2x}} dx

Hacemos el cambio de variable {t = e^x \quad dt = e^xdx \quad dx = \frac{dt}{t}},\displaystyle \int \cfrac{4e^{3x}dx}{1+e^{2x}} = 4\int \cfrac{t^3dt}{(1+t^2)t} = 4\int \cfrac{t^2dt}{1+t^2} = 4\int \cfrac{t^2+1-1}{1+t^2}dt
Simplificamos y regresamos a la variable original. 4\left(\int dt - \int \cfrac{dt}{1+t^2}\right) = 4(t-\arctan t) + \textup{C}
{=4(e^x - \arctan e^x) + \textup{C}}

12\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\sin x \cos^3 x}}dx

Comenzamos por un cambio de variable trigonométrico, {t = \tan x \quad dx = \cfrac{dt}{1+t^2}},\displaystyle \int \cfrac{\frac{dt}{1+t^2}}{\sqrt{\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\cdot \frac{1}{(1+t^2)\sqrt{1+t^2}}}}} = \int \cfrac{\frac{dt}{1+t^2}}{\sqrt{\frac{t}{(1+t^2)^2}}} = \int \cfrac{\frac{dt}{1+t^2}}{\frac{\sqrt{t}}{1+t^2}}
Finalmente simplificamos y regresamos a la variable original, \displaystyle = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = 2\sqrt{t} + \textup{C} = 2\sqrt{\tan c} + \textup{C}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗