En esta clase de integrales realizaremos un cambio de variable dependiendo si nos encontramos ante una función par o no es par, veamos que cambios se realizan en cada caso.

Función par

Si la función  R(\textrm{sen}, \cos x) es par, es decir

     \[ R(\textrm{sen} x, \cos x) = R(-\textrm{sen} x, -\cos x) \]

o haya producto de ambos, entonces el cambio de variable que se realiza es  t = \tan x , de modo que las raíces de los denominadores desaparecen y, en general, toda función racional de \tan x .

Cuando tengamos este cambio de variable, entonces tambien obtendremos las siguientes sustituciones

     \begin{align*} \textrm{sen} x \quad &\Rightarrow \quad \frac{t}{\sqrt{1+ t^2}} \\ \cos x \quad &\Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{1+ t^2}} \\ dx \quad &\Rightarrow \quad \frac{dt}{1 + t^2} \end{align*}

esto lo obtenemos de la siguiente manera:

Sabemos que

     \[ \tan x = \frac{\textrm{sen} x}{ \cos x} \]

realizando el cambio de variable  t = \tan x tendremos

     \begin{align*} & \quad \quad t = \frac{\textrm{sen} x}{ \cos x}\\ & \Rightarrow \quad \textrm{sen} x = t \cos x \\ & \Rightarrow \quad \textrm{sen} x = t \sqrt{1 - \textrm{sen}^2 x} \\ & \Rightarrow \quad \operatorname{sen}^{2} x=t^{2}\left(1-\operatorname{sen}^{2} x\right) \\ & \Rightarrow \quad \operatorname{sen}^{2} x+t^{2} \operatorname{sen}^{2} x=t^{2} \\ & \Rightarrow \quad \operatorname{sen}^{2} x \left(1+t^{2}\right)=t^{2} \\ & \Rightarrow \quad \operatorname{sen} x=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} . \end{align*}

Considerando lo anterior

     \begin{align*} \tan x = \frac{\textrm{sen} x}{ \cos x} \quad &\Rightarrow \quad t = \frac{\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}}{\cos} \\ & \Rightarrow \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} . \end{align*}

Finalmente,

     \[ x = \arctan x \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{dt}{1 + t^2}. \]

 

Ejemplo

Integrar  \int \frac{dx}{\cos^4 x}

Tomando  t = \tan x entonces  dx = \frac{dt}{1 + t^2} y

     \begin{align*} \int \frac{dx}{\cos^4 x} & = \int \frac{\frac{dt}{1 + t^2}}{\frac{1}{(1 + t^2)^2}} \\ & = \int (1 + t^2) dt\\ & = t + \frac{1}{3}t^3 + C \\ & = \tan x + \frac{1}{3}\tan^3 x + C \end{align*}

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Función no par

Si la función  R(\textrm{sen}, \cos x) no es par, se realiza el cambio de variable

     \[ t = \tan \frac{x}{2} \]

En este caso, tendremos tambien las siguientes sustituciones

     \begin{align*} \textrm{sen} x \quad &\Rightarrow \quad \frac{2t}{1+ t^2} \\ \cos x \quad &\Rightarrow \quad \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ \tan x \quad &\Rightarrow \quad \frac{2t}{1 - t^2} \\ dx \quad &\Rightarrow \quad \frac{2dt}{1 + t^2} \end{align*}

Esto lo obtenemos de la siguiente manera, primero para la función seno

     \begin{align*} \textrm{sen} x &= 2 \operatorname{sen} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\ &= \frac{2 \operatorname{sen} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}} \\ &= \frac{\frac{2 \operatorname{sen} \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}+\frac{\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}} \\ &= \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}}\\ &= \frac{2t}{1+t^{2}}, \end{align*}

continuamos con la función coseno

    \begin{align*} \cos x &= \cos ^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2} \\ &= \frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}} \\ &= \frac{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}-\frac{\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}{\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}+\frac{\operatorname{sen}^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}}}\\ &= \frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}}\\ &= \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \end{align*}

y finalmente

     \[ \tan x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2t}{1- t^2} \]

     \[ \frac{x}{2} = \arctan x \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{2dt}{1 + t^2} \]

 

Ejemplo

Integrar  \int \frac{dx}{1 + \texrm{sen} x + \cos x}

Tomamos  t = \tan \frac{x}{2} entonces  dt = \frac{2dt}{1 + t^2} y obtenemos

     \begin{align*} \int \frac{dx}{1 + \texrm{sen} x + \cos x} &= \int \frac{\frac{2 dt}{1+t^{2}}}{1+\frac{2 t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}} \\ & = \int \frac{2}{1+t^{2}+2 t+1-t^{2}} dt \\ & = \int \frac{2}{2+2 t} dt \\ & = \int \frac{1}{1+t} dt \\ & = \ln (1+t)+C \\ & = \ln \left(1+\operatorname{tg} \frac{x}{2}\right) + C \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗