El volumen de un cuerpo de revolución engendrado al girar la curva {f(x)} alrededor del eje {OX} y limitado por {x=a} y {x=b}, viene dado por:\displaystyle V = \pi \int^b_a [f(x)]^2dx

Ejercicios propuestos:

1 Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas {y = \sin x, x = 0} y {x = \pi} dadas, al girar en torno al eje {OX}:

Aplicando la fórmula para calcular el volumen, además de utilizar la identidad trigonométrica {\sin^2x = 1-cos^2x} y que en este intervalo el coseno tiene área negativa\displaystyle \pi \int^\pi_0 \sin^2xdx = \pi \int^\pi_0(1-\cos^2x)dx}Usando la identidad trigonométrica \displaystyle cos^2x = \frac{1}{2}(1 + \cos(2x)) [latex]\displaystyle = \pi \int^\pi_0 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x))dx = \frac{\pi}{2} \int (1 - \cos(2x))dx [/latex]haciendo el cambio de variable {u = 2x \quad du = 2dx} para la segunda integral y aplicando las integrales inmediatas {\int dx = x \quad \int \cos xdx = \sin x}[latex]\displaystyle = \frac{\pi}{2}\left[x-\frac{1}{2}\sin(2x)\right]^\pi_0 = \frac{\pi}{2}[\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi) - 0 + \frac{1}{2}\sin 0][/latex]

\displaystyle = \frac{\pi^2}{2}u^3

2 Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas {y = 2, x = 1} y {x = 4}, y el eje {OX} al girar alrededor de este eje.

Aplicando la fórmula para calcular el volumen, tenemos:\displaystyle V = \pi \int^4_1 2^2dx = 4\pi\int^4_1dx = \4\pi\left[x\right]^4_1[latex]{4\pi(4-1) = 12\pi u^3}[/latex]

3 Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta {y = x + 2} y las coordenadas correspondientes a {x = 4} y {x = 10}, al girar alrededor de {OX}.

Comenzamos por aplicar la fórmula del volumen y desarrollamos el binomio, luego aplicaremos la integrales inmediatas {\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \int dx = x}[latex]\displaystyle V = \pi \int^{10}_4 (x+2)^2dx = \pi \int^{10}_4 (x^2+4x+4)dx[/latex]{\pi \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x\right]^{10}_4}[latex]{\pi \left(\frac{10^3}{3} + 2(10^2) +4(10) - \frac{4^3}{3} - 2(4^2) + 4(4)\right)}[/latex]{\pi\left(\frac{1000}{3} + 200 +40 -\frac{64}{3} -32 -16\right) = 504 \pi u^3}

4 Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje {OX} el recinto limitado por las gráficas de {y = 2x - x^2, y = -x + 2}.

Comenzamos por encontrar los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

{\left\{\begin{matrix} y = 2x - x^2\\ y = -x+2 \end{matrix}\right.}

Igualamos las funciones y encontramos el valor de x

{2x-x^2 = -x+2 \quad x^2 -3x + 2 = 0}

{(x - 2)(x - 1) =0 \quad x = 2 \quad x = 1}

Sustituyendo los valores de x para encontrar los de y en cualquiera de las dos ecuaciones, y obtener los puntos de intersección,

{y = 2(2) - 2^2 = 0 \quad (2,0)}

{y = 2(1) - 1^2 = 2 - 1 = 1 \quad (1,1)}

Volumen entre una parabola y una recta

 

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración, entonces al sustituir los valores en la fórmula del volumen, tenemos:

\displaystyle V = \pi \int^2_1 [(2x-x^2)^2-(-x+2)^2]dx = \pi \int^2_1(x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 4x -4)dx

\displaysytle \left[\frac{1}{5}x^5 - x^4 + x^3 + 2x^2 -4x\right]^2_1 = \frac{\pi}{5}u^3

5 Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola {\frac{1}{8}y^2 = x} y la recta {x = 2}, alrededor del eje {OY}.

Como gira alrededor del eje {OY}, aplicamos:

\displaystyle V = \pi \int^b_a[f(x)]^2dy

El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos {y = -4} e {y = 4}.

 

Volumen generado por una parábola

 

Como la parábola es simétrica con respecto al eje {OX}, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre {y = 0} e {y = 4}.

\displaystyle V = 2\pi \int^4_0 (2^2-(\frac{y^2}{8})^2)dy = 2\pi \int^4_0 (4 - \frac{y^4}{64})dy

\displaystyle = 2\pi \left[ 4y - \frac{y^5}{320}\right]^4_0 = \frac{128}{5} \pi u^3

6 Calcular el volumen de la esfera de radio r.

Partimos de la ecuación de la circunferencia {x^2 + y^2 = r^2}.

Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.

 

Volumen de una esfera

Entonces sustituimos los valores en la fórmula del volumen.

\displaystyle V = \pi \int^r_{-r} (\sqrt{r^2-x^2})^2dx = \pi \int^r_{-r}(r^2-x^2)dx

\displaystyle \pi \left[r^2x -\frac{x^3}{3}\right]^r_{-r} = \pi \left(\frac{2r^3}{3} + \frac{2r^3}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi r^3

7 Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse {16x^2 + 25y^2 = 400}, al girar:

a Alrededor de su eje mayor.

b Alrededor de su eje menor.

a Alrededor de su eje mayor.

 

Volumen de una elipse

 

Como la elipse es simétrica respecto de los dos ejes, el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

{16x^2+25y^2=400}

Despejamos el valor de {y^2} y encontrar los limites de integración.

{y^2 = \cfrac{400 -16x^2}{25} \quad (5,0)}

Y ahora sustituimos en la fórmula del volumen

\displaystyle V_1 = 2\pi\int^5_0 \left(\frac{400-16x^2}{25}\right)dx = 2\pi \left[16x - \frac{16}{75}x^3\right]^6_0 = \frac{320}{3}\pi u^3}

b Alrededor de su eje menor.

{16x^2+25y^2=400}

Despejamos el valor de {x^2} y encontrar los limites de integración.

{x^2 = \cfrac{400 -25y^2}{16} \quad (0,4)}

Y ahora sustituimos en la fórmula del volumen

\displaystyle V_2 = 2\pi\int^4_0 \left(\frac{400-25y^2}{16}\right)dy = 2\pi \left[25y - \frac{25}{48}y^3\right]^4_0 = \frac{400}{3}\pi u^3}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗