Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

El área encerrada por dos funciones f(x) y g(x) viene determinada por la siguiente fórmula:

     \[ \int^b_a f(x)- \int^b_a g(x) dx = \int^b_a[f(x)-g(x)]dx \]

Donde los límites de integración a y b corresponden a los puntos de corte entre ambas funciones. Además f(x) debe ser mayor o igual que g(x). Que una función sea mayor que otra significa que para el mismo rango de valores de x, el valor de la función es mayor y por tanto su gráfica queda representada por encima en los ejes de coordenadas.

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Vamos

Ejemplos resueltos del área entre dos funciones

1 Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x^2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (-1, 0) y (1, 4).

En primer lugar hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos indicados: Utilizaremos la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta, para esto encontraremos la pendiente con los puntos dados

     \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4-0}{1-(-1)} = \frac{4}{2} = 2 \]

Utilizando la forma punto-pendiente

     \[ y - y_1 = m(x - x_1) \quad \Rightarrow \quad y - 0 = 2(x-1) \quad \Rightarrow \quad y = 2x-2. \]

 

Grafica ejemplo 1

 

Esto lo haremos al resolver la ecuación

     \[ x^2 + 2 = 2x-2 \]

es decir, igualando las funciones

     \[\left\{\begin{array}{l} y=x^{2}+2 \\ y=2 x+2 \end{array} \quad \Rightarrow \quad x_{1}=0 \quad x_{2}=2\right.\]

Integrando

    \[ \int_{0}^{2}\left(2 x+2-x^{2}-2\right) d x=\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3} u^{2}\]

 

2 Hallar el área de la figura limitada por:  y = x^2, y = x, x = 0, x = 2

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración:

    \[\left\{\begin{array}{l} y=x^{2} \\ y=x \end{array}\right.\]

entonces

     \[ x^2 = x \quad \Rightarrow \quad x = 0, \quad x = 1 \]

 

Grafica ejemplo 2

 

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola

     \[ A_{1}=\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right) d x=\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{6} u^{2} \]

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola

     \[ A_{2}=\int_{1}^{2}\left(x^{2}-x\right) d x=\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{5}{6} u^{2} \]

entonces

     \[ A=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1 u^{2} \]

 

3 Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = \ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2

     \[ \ln x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = e^2 \]

 

Grafica ejemplo 3

 

El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = \ln x . Tenemos que el área de rectángulo es base por altura, entonces

     \[ A_{1}=e^{2} \cdot 2 = 2 e^{2} u^{2} \]

El área bajo la curva y = \ln x es:

     \[ A_{2}=\int_{1}^{e^{2}} \ln x d x=[x \ln x-x]_{1}^{e^{2}}=2 e^{2}-e^{2}+1=\left(e^{2}+1\right) u^{2} \]

entonces

     \[ A = A_1 - A_2 = 2 e^{2} - \left(e^{2}+1\right) = 2 e^{2}-e^{2}-1=\left(e^{2}-1\right) u^{2} \]

 

4 Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x - x^2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Puntos de intersección con el eje x:

     \[ 4x - x^{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x(4-x) = 0 \]

de donde obtenemos que los puntos son (0,0) y (4,0).

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0,0)

     \[ y' = 4 - 2 x \quad \Rightarrow \quad m=f'(0) = 4 \]

de la forma punto-pendiente de la recta obtenemos que la ecuación es

    \[ y - 0 = 4(x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = 4x \]

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4,0)

     \[ y' = 4 - 2 x \quad \Rightarrow \quad m = f'(4) = -4 \]

de la forma punto-pendiente de la recta obtenemos que la ecuación es

     \[ y-0 = 4(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = -4x + 16 \]

 

Grafica ejemplo 4

 

    \begin{align*} A &=\int_{0}^{2}\left[4 x-\left(4 x-x^{2}\right)\right] d x+\int_{2}^{4}\left[(-4 x+16)-\left(4 x-x^{2}\right)\right] dx \\ &=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}+\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{8 x^{2}}{2}+16 x\right]_{2}^{4}=\frac{16}{3} u^{2} \end{align*}

 

5 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y^2 = 4x,  y = x^2 .

Calculamos los puntos de intersección

    \[ \left\{\begin{array}{ll} y^{2}=4 x \\ y=x^{2} \end{array} \quad \Rightarrow \quad \left(x^{2}\right)^{2}=4 x \quad \Rightarrow \quad x^{4}-4 x=0 \quad \Rightarrow \quad x\left(x^{3}-4\right)=0\right. \]

por tanto los puntos de intersección son x= 0 y x = \sqrt[3]{4} .

 

Grafica ejemplo 5

 

     \[ A=\int_{0}^{\sqrt[3]{4}}\left(2 \sqrt{x}-x^{2}\right) d x=\left[\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt[3]{4}}=\frac{4}{3} u^{2} \]

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗