Área comprendida entre dos funciones
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
El área encerrada por dos funciones 
y 
viene determinada por la siguiente fórmula:
Donde los límites de integración 
y 
corresponden a los puntos de corte entre ambas funciones. Además debe ser mayor o igual que . Que una función sea mayor que otra significa que para el mismo rango de valores de 
, el valor de la función es mayor y por tanto su gráfica queda representada por encima en los ejes de coordenadas.
Ejemplos resueltos del área entre dos funciones
1 Calcular el área del recinto limitado por la parábola 
y la recta que pasa por los puntos 
y 
.
En primer lugar hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos indicados: Utilizaremos la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta, para esto encontraremos la pendiente con los puntos dados
Utilizando la forma punto-pendiente
Esto lo haremos al resolver la ecuación
es decir, igualando las funciones
Integrando
2 Hallar el área de la figura limitada por: 
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración:
entonces
De 
a 
, la recta queda por encima de la parábola
De a 
, la recta queda por debajo de la parábola
entonces
3 Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas 
y los ejes coordenados.
Calculamos el punto de corte de la curva y la recta 
El área es igual al área del rectángulo 
menos el área bajo la curva 
. Tenemos que el área de rectángulo es base por altura, entonces
El área bajo la curva es:
entonces
4 Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola 
y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Puntos de intersección con el eje :
de donde obtenemos que los puntos son 
y 
.
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto
de la forma punto-pendiente de la recta obtenemos que la ecuación es
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto
de la forma punto-pendiente de la recta obtenemos que la ecuación es
5 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 
, 
.
Calculamos los puntos de intersección
por tanto los puntos de intersección son 
y 
.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.